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笔记记录

要点 01 - 积分与极限求和式的转化

根据公式

\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x

对于均匀矩形分割的情况，实际上只用分离出 \frac{1}{n}

\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f\left(a + \frac{(b-a) i}{n}\right) \frac{b-a}{n}

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子章节

• 04_积分_分式与根号型.md — 分式型积分、根号分式型积分、根号二次型积分
• 04_积分_三角函数.md — 三角函数积分、Wallis 公式、递推公式
• 04_积分_换元与分部.md — 换元积分法、分部积分法
• 04_积分_有理分式.md — 有理分式积分
• 04_积分_反常积分.md — 反常积分的定义与比较判别法
• 04_积分_变限积分.md — 变限积分求导、含参变量积分、奇偶性

知识点

• 定积分的定义
• 黎曼和与积分的关系
• 均匀分割技巧
• \frac{1}{a^2 x^2 + b^2} 型积分公式
• \frac{1}{\sqrt{a^2 x^2 \pm b^2}} 型积分公式
• \sqrt{a^2 x^2 \pm b^2} 型积分公式
• 三角函数积分（降幂、万能代换、积化和差）
• 第一类换元法（凑微分法）
• 第二类换元法（变量代换法：三角/双曲/根式/倒代换）
• 分部积分法（LIATE 优先序）
• 循环分部与移项求解
• 有理分式积分（部分分式分解法）
• 反常积分的定义与分类（无穷限 + 瑕积分）
• 反常积分的比较判别法（一般形式与极限形式）
• 常用反常积分比较基准：\int \frac{1}{x^p}\,dx
• 变限积分求导公式（基本形式 + Leibniz 公式）
• 含参变量变限积分：先换元分离 $x$，再求导
• 变限积分中的绝对值处理（$\sqrt{x^2}=|x|$）
• 变限积分与无穷小阶数判定（积分中值定理）
• 变限积分的奇偶性（f 奇 \Rightarrow F 偶，f 偶 \Rightarrow F 奇）