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笔记记录
要点 11 - 变限积分求导公式（基本形式）
设 f(t) 连续，a(x), b(x) 可导，则：
\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f\big(b(x)\big)\,b'(x) - f\big(a(x)\big)\,a'(x)
特例：
| 情况 | 公式 |
|---|---|
下限为常数 a |
\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^{b(x)} f(t)\,dt = f(b(x))\,b'(x) |
上限为常数 b |
\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^b f(t)\,dt = -f(a(x))\,a'(x) |
| 上下限均为常数 | \displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^b f(t)\,dt = 0 |
推导思路：设 F(x) 为 f(x) 的原函数，则：
\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = F(b(x)) - F(a(x))
两边求导即得公式。
要点 12 - 含参变量的变限积分求导（Leibniz 公式）
当被积函数也含有 x 时，需使用 Leibniz 公式：
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} F(x,t)\,dt
= F\big(x,b(x)\big)\,b'(x) - F\big(x,a(x)\big)\,a'(x)
+ \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial F(x,t)}{\partial x}\,dt
关键策略：先换元，再求导
若 F(x,t) = f(x + g(t)) 这类形式，直接求导容易漏掉 \frac{\partial F}{\partial x} 项。推荐做法：
- 先换元将
x从被积函数中分离 - 使被积函数仅含积分变量，不再含
x - 再用基本变限积分求导公式
典例：设 $g(x) = \displaystyle\int_0^{2x} f!\left(x + \dfrac{t}{2}\right) dt$，求 $g'(x)$。
解：令 $u = x + \dfrac{t}{2}$，则 $dt = 2,du$，
t = 0 \Rightarrow u = x,\qquad t = 2x \Rightarrow u = 2x
g(x) = \int_0^{2x} f\!\left(x + \frac{t}{2}\right) dt
= \int_x^{2x} f(u) \cdot 2\,du
= 2\int_x^{2x} f(u)\,du
此时被积函数不含 $x$，直接用基本公式：
g'(x) = 2\bigl[ f(2x)\cdot 2 - f(x)\cdot 1 \bigr]
= 4f(2x) - 2f(x)
易错点：若直接用 Leibniz 公式，容易漏掉第三项 $\int \frac{\partial F}{\partial x} dt$。
要点 13 - 变限积分中的绝对值处理
当变限积分上限/下限或被积函数中出现 \sqrt{x^2} 等含绝对值表达式时，需分段讨论。
核心等式：\sqrt{x^2} = |x|
典例：设 $y(x) = \displaystyle\int_2^{x^2} e^{-\sqrt{t}},dt$，求 $y''(-1)$。
解：
由基本公式：
y'(x) = e^{-\sqrt{x^2}} \cdot (x^2)' = 2x\,e^{-|x|}
在 x = -1 的邻域内 $x < 0$，故 $|x| = -x$，$e^{-|x|} = e^x$：
y'(x) = 2x\,e^x \qquad (x < 0)
再求导：
y''(x) = 2e^x + 2x e^x = 2e^x(1 + x)
代入 $x = -1$：
y''(-1) = 2e^{-1}(1 - 1) = 0
易错点：直接写 e^{-\sqrt{x^2}} = e^{-x} 而忽略 $|x|$，导致 $y''(-1) = 4e$（错误）。
要点 14 - 变限积分与无穷小阶数的判定
变限积分常与极限问题结合，判定无穷小阶数时常用技巧：
1. 直接使用变限积分求导 + 洛必达法则
当 x \to 0 时 $\int_0^x f(t),dt \sim f(0),x$（若 $f(0) \neq 0$），利用此等价关系快速判定阶数。
2. 积分中值定理
若 \xi 介于积分上下限之间：
\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f(\xi)\big(b(x) - a(x)\big)
当 a(x) \to 0, b(x) \to 0 时 $\xi \to 0$，$f(\xi) \to f(0)$（f 连续）。
典例：$g(x) = 2\displaystyle\int_x^{2x} f(u),du$，判定 x \to 0^+ 时 g(x) 与 \sqrt{x} 的阶数关系。
g(x) = 2f(\xi)(2x - x) = 2x f(\xi), \quad \xi \in [x, 2x]
\lim_{x\to 0^+} \frac{g(x)}{\sqrt{x}} = \lim_{x\to 0^+} 2\sqrt{x}\,f(\xi) = 0
故 g(x) 是 \sqrt{x} 的高阶无穷小。
要点 15 - 变限积分的奇偶性
设 f(x) 为连续函数，利用变量代换判断含参积分的奇偶性。
基本结论：
f(x) 的奇偶性 |
F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,dt 的奇偶性 |
|---|---|
f 为奇函数 |
F 为偶函数 |
f 为偶函数 |
F 为奇函数（当 $F(0)=0$） |
含绝对值的含参积分：作代换 t \to -t 检验。
典例：$g(x) = \displaystyle\int_{-a}^a |x - t|,f(t),dt$，f 为偶函数，判定 g(x) 的奇偶性。
\begin{aligned}
g(-x) &= \int_{-a}^a |-x - t|\,f(t)\,dt \\
&= \int_{a}^{-a} |-x + u|\,f(-u)\,(-du) \quad (u = -t) \\
&= \int_{-a}^a |u - x|\,f(u)\,du \quad (f(-u)=f(u)) \\
&= g(x)
\end{aligned}
故 g(x) 为偶函数。
知识点
- 变限积分求导基本公式：
\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x) - Leibniz 公式：被积函数含
x时须加\int \frac{\partial F}{\partial x} dt项 - 含参变量变限积分的求导策略：先换元分离 $x$，再求导
- $\sqrt{x^2} = |x|$，分段处理绝对值
- 变限积分与无穷小阶数判定（洛必达 / 积分中值定理）
- $\displaystyle\int_0^x f(t)dt \sim f(0),x$（$x \to 0$，
f连续） - 变限积分奇偶性：
f奇\RightarrowF偶；f偶\RightarrowF奇 - 变量代换法判断含绝对值含参积分的奇偶性