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笔记记录

要点 05 - 三角函数积分

降幂公式

\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}

\cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}

基本积分

\int \sin x \, dx = -\cos x + C

\int \cos x \, dx = \sin x + C

\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C

\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C

\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C

\int \csc x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C

\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C

\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C

\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C

\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C

万能代换

令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则：

\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2 \, dt}{1 + t^2}

适用类型：$R(\sin x, \cos x)$（有理函数形式）

万能代换判别式分析

对于 $\displaystyle\int \frac{dx}{a + b\cos x}$，令 $t = \tan\frac{x}{2}$，代入万能代换公式得：

\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \int \frac{2\,dt}{(a+b) + (a-b)t^2}

记 $A = a + b$，$B = a - b$，则积分化为

2\int \frac{dt}{A + B t^2}

其判别式为 $D = AB = (a+b)(a-b) = a^2 - b^2$。

D 的符号	A,B 关系	分母 A+Bt^2	积分结果类型
$D > 0$（$a^2 > b^2$）	A,B 同号	恒正/恒负，无奇点	\arctan 型
$D = 0$（$a^2 = b^2$）	A 或 B = 0	退化为常数或 t^2	$\tan$/多项式
$D < 0$（$a^2 < b^2$）	A,B 异号	A+Bt^2 可为零	\operatorname{artanh} / \ln 型

直观理解：原分母 a + b\cos x 在实数域上是否恒不为零：

• 若 $|a| > |b|$：$|b\cos x| \le |b| < |a|$，a + b\cos x 永不等于零，积分处处有限 → \arctan
• 若 $|a| < |b|$：存在 x 使 $\cos x = -a/b$，分母为零 → 积分出现奇点 → 结果为 \ln / \operatorname{artanh}

公式：

$D > 0$（$a^2 > b^2$）：

\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \arctan\!\left( \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\;\tan\frac{x}{2} \right) + C

$D < 0$（$a^2 < b^2$）：

\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{1}{\sqrt{b^2 - a^2}} \ln\left| \frac{\sqrt{b+a} + \sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{b+a} - \sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}} \right| + C

核心结论：万能代换虽然能把所有三角有理式化为有理分式，但结果的 形式（\arctan vs $\ln$）由判别式 a^2 - b^2 正负决定。不区分 |a| 与 |b| 大小直接套公式会写出不成立的结果。

常用结论

\int \sin^n x \, dx = -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2} x \, dx

\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2} x \, dx

sinⁿ 递推公式推导（分部积分法）

设

I_n = \int \sin^n x \, dx, \quad n \ge 2.

取

u = \sin^{n-1}x, \quad dv = \sin x \, dx,

则

du = (n-1)\sin^{n-2}x \cos x \, dx, \quad v = -\cos x.

分部积分：

\begin{aligned}
I_n &= uv - \int v \, du \\
    &= -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)\int \sin^{n-2}x \cos^2 x \, dx.
\end{aligned}

利用 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$：

\int \sin^{n-2}x \cos^2 x \, dx = \int \sin^{n-2}x \, dx - \int \sin^n x \, dx = I_{n-2} - I_n.

代入得

I_n = -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)(I_{n-2} - I_n).

整理含 I_n 的项：

\begin{aligned}
I_n + (n-1)I_n &= -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)I_{n-2}, \\
n I_n &= -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)I_{n-2}.
\end{aligned}

于是

\boxed{I_n = -\frac{\sin^{n-1}x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} I_{n-2}},\quad n\ge 2.

需要两个初始条件：

• I_0 = \int dx = x + C
• I_1 = \int \sin x \, dx = -\cos x + C

cosⁿ 递推公式推导

类似地，设 $J_n = \int \cos^n x , dx$，取 $u = \cos^{n-1}x$，$dv = \cos x , dx$，利用 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，可得：

\boxed{J_n = \frac{\cos^{n-1}x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} J_{n-2}},\quad n\ge 2

需要两个初始条件：

• J_0 = \int dx = x + C
• J_1 = \int \cos x \, dx = \sin x + C

点火公式（Wallis 公式）

利用 \sin^n 递推公式在 [0, \frac{\pi}{2}] 上积分，边界项为零：

J_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \frac{n-1}{n} J_{n-2}

递推过程：

\begin{aligned}
J_n &= \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx
      = \left[-\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n}\right]_0^{\pi/2} + \frac{n-1}{n} J_{n-2} \\
    &= \frac{n-1}{n} J_{n-2}
\end{aligned}

同理 $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos^n x , dx = J_n$（对称性）。

常见值：

J_2 = \frac{\pi}{4},\quad J_3 = \frac{2}{3},\quad J_4 = \frac{3\pi}{16},\quad J_5 = \frac{8}{15}

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\int \sec^n x \, dx = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2} x \, dx \quad (n \neq 1)

\int \csc^n x \, dx = -\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2} x \, dx \quad (n \neq 1)

secⁿ 递推公式推导（分部积分法）：

设 $I_n = \int \sec^n x , dx$，改写为 $\int \sec^{n-2} x \cdot \sec^2 x , dx$。

令 $u = \sec^{n-2} x$，$dv = \sec^2 x , dx$，则：

du = (n-2)\sec^{n-2} x \tan x \, dx,\quad v = \tan x

代入分部积分公式 $\int u , dv = uv - \int v , du$：

\begin{aligned}
I_n &= \sec^{n-2} x \tan x - \int \tan x \cdot (n-2)\sec^{n-2} x \tan x \, dx \\
    &= \sec^{n-2} x \tan x - (n-2)\int \sec^{n-2} x \tan^2 x \, dx
\end{aligned}

利用 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$：

I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2)\int \sec^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx

I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2) I_n + (n-2) I_{n-2}

移项合并 I_n 项：

(n-1) I_n = \sec^{n-2} x \tan x + (n-2) I_{n-2}

\boxed{I_n = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} I_{n-2}}

需要两个初始条件：

• I_1 = \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C
• I_2 = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C

cscⁿ 递推公式推导类似，利用 $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$。

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递推式的完全展开

递推公式重复代入即可展开为有限项和（初等函数的闭式表达）。

sinⁿ / cosⁿ 的完全展开（不定积分，设 $I_n = \int \sin^n x , dx$）：

边界条件 I_0 = x + C,\; I_1 = -\cos x + C

\begin{aligned}
I_n &= -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n}
      + \frac{n-1}{n} \left(-\frac{\sin^{n-3} x \cos x}{n-2}\right)
      + \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2} \left(-\frac{\sin^{n-5} x \cos x}{n-4}\right) + \cdots \\[4pt]
    &= -\cos x \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!!}{(n-k)!!} \cdot \frac{\sin^{n-k} x}{(n-k+1)!!} \quad \text{（示意模式）}
\end{aligned}

更清晰地，按奇偶展开：

n 为偶数（$n=2m$）：

\begin{aligned}
\int \sin^{2m} x \, dx &= -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2k+2)}
                        \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+1} + C
\end{aligned}

其中 C 为常数项（来自 $I_0$）。

n 为奇数（$n=2m+1$）：

\begin{aligned}
\int \sin^{2m+1} x \, dx &= -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)}{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}
                        \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+2} + C
\end{aligned}

其中 C 来自 I_1 = -\cos x 项。

实际记忆：通常直接用递推公式比记忆展开式更实用，考试中一般只需求特定 n 的值或用到递推关系。

secⁿ 的完全展开（设 $I_n = \int \sec^n x , dx$）：

递推式同样可展开，以奇数/偶数分界：

n 为偶数（$n=2m$，终止于 $I_2 = \tan x + C$）：

I_{2m} = \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2k+2)}{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)} \cdot \frac{\sec^{2m-2k} x \tan x}{2m-2k+1} + C

例如：

\begin{aligned}
I_2 &= \tan x + C \\[2pt]
I_4 &= \frac{1}{3}\sec^2 x \tan x + \frac{2}{3}\tan x + C \\[2pt]
I_6 &= \frac{1}{5}\sec^4 x \tan x + \frac{4}{15}\sec^2 x \tan x + \frac{8}{15}\tan x + C
\end{aligned}

n 为奇数（$n=2m+1$，终止于 $I_1 = \ln|\sec x + \tan x| + C$）：

\begin{aligned}
I_{2m+1} &= \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)} \cdot \frac{\sec^{2m-2k+1} x \tan x}{2m-2k+2}
           + \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \ln|\sec x + \tan x| + C
\end{aligned}

例如：

\begin{aligned}
I_1 &= \ln|\sec x + \tan x| + C \\[2pt]
I_3 &= \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C \\[2pt]
I_5 &= \frac{1}{4}\sec^3 x \tan x + \frac{3}{8}\sec x \tan x + \frac{3}{8}\ln|\sec x + \tan x| + C
\end{aligned}

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积化和差

\sin A \cos B = \frac{1}{2}\sin(A+B) + \frac{1}{2}\sin(A-B)

\cos A \cos B = \frac{1}{2}\cos(A+B) + \frac{1}{2}\cos(A-B)

\sin A \sin B = \frac{1}{2}\cos(A-B) - \frac{1}{2}\cos(A+B)