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笔记记录

要点 11 - 变限积分求导公式（基本形式）

设 f(t) 连续，a(x), b(x) 可导，则：


\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f\big(b(x)\big)\,b'(x) - f\big(a(x)\big)\,a'(x)

特例：

情况	公式
下限为常数 `a`	`\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^{b(x)} f(t)\,dt = f(b(x))\,b'(x)`
上限为常数 `b`	`\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^b f(t)\,dt = -f(a(x))\,a'(x)`
上下限均为常数	`\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^b f(t)\,dt = 0`

推导思路：设 F(x) 为 f(x) 的原函数，则：


\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = F(b(x)) - F(a(x))

两边求导即得公式。

要点 12 - 含参变量的变限积分求导（Leibniz 公式）

当被积函数也含有 x 时，需使用 Leibniz 公式：


\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} F(x,t)\,dt
= F\big(x,b(x)\big)\,b'(x) - F\big(x,a(x)\big)\,a'(x)
+ \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial F(x,t)}{\partial x}\,dt

关键策略：先换元，再求导

若 F(x,t) = f(x + g(t)) 这类形式，直接求导容易漏掉 \frac{\partial F}{\partial x} 项。推荐做法：

先换元将 x 从被积函数中分离
使被积函数仅含积分变量，不再含 x
再用基本变限积分求导公式

典例：设 $g(x) = \displaystyle\int_0^{2x} f!\left(x + \dfrac{t}{2}\right) dt$，求 $g'(x)$。

解：令 $u = x + \dfrac{t}{2}$，则 $dt = 2,du$，


t = 0 \Rightarrow u = x,\qquad t = 2x \Rightarrow u = 2x


g(x) = \int_0^{2x} f\!\left(x + \frac{t}{2}\right) dt
      = \int_x^{2x} f(u) \cdot 2\,du
      = 2\int_x^{2x} f(u)\,du

此时被积函数不含 $x$，直接用基本公式：


g'(x) = 2\bigl[ f(2x)\cdot 2 - f(x)\cdot 1 \bigr]
      = 4f(2x) - 2f(x)

易错点：若直接用 Leibniz 公式，容易漏掉第三项 $\int \frac{\partial F}{\partial x} dt$。

要点 13 - 变限积分中的绝对值处理

当变限积分上限/下限或被积函数中出现 \sqrt{x^2} 等含绝对值表达式时，需分段讨论。

核心等式：\sqrt{x^2} = |x|

典例：设 $y(x) = \displaystyle\int_2^{x^2} e^{-\sqrt{t}},dt$，求 $y''(-1)$。

解：

由基本公式：


y'(x) = e^{-\sqrt{x^2}} \cdot (x^2)' = 2x\,e^{-|x|}

在 x = -1 的邻域内 $x < 0$，故 $|x| = -x$，$e^{-|x|} = e^x$：


y'(x) = 2x\,e^x \qquad (x < 0)

再求导：


y''(x) = 2e^x + 2x e^x = 2e^x(1 + x)

代入 $x = -1$：


y''(-1) = 2e^{-1}(1 - 1) = 0

易错点：直接写 e^{-\sqrt{x^2}} = e^{-x} 而忽略 $|x|$，导致 $y''(-1) = 4e$（错误）。

要点 14 - 变限积分与无穷小阶数的判定

变限积分常与极限问题结合，判定无穷小阶数时常用技巧：

1. 直接使用变限积分求导 + 洛必达法则

当 x \to 0 时 $\int_0^x f(t),dt \sim f(0),x$（若 $f(0) \neq 0$），利用此等价关系快速判定阶数。

2. 积分中值定理

若 \xi 介于积分上下限之间：


\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f(\xi)\big(b(x) - a(x)\big)

当 a(x) \to 0, b(x) \to 0 时 $\xi \to 0$，$f(\xi) \to f(0)$（f 连续）。

典例：$g(x) = 2\displaystyle\int_x^{2x} f(u),du$，判定 x \to 0^+ 时 g(x) 与 \sqrt{x} 的阶数关系。


g(x) = 2f(\xi)(2x - x) = 2x f(\xi), \quad \xi \in [x, 2x]


\lim_{x\to 0^+} \frac{g(x)}{\sqrt{x}} = \lim_{x\to 0^+} 2\sqrt{x}\,f(\xi) = 0

故 g(x) 是 \sqrt{x} 的高阶无穷小。

要点 15 - 变限积分的奇偶性

设 f(x) 为连续函数，利用变量代换判断含参积分的奇偶性。

基本结论：

`f(x)` 的奇偶性	`F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,dt` 的奇偶性
`f` 为奇函数	`F` 为偶函数
`f` 为偶函数	`F` 为奇函数（当 $F(0)=0$）

含绝对值的含参积分：作代换 t \to -t 检验。

典例：$g(x) = \displaystyle\int_{-a}^a |x - t|,f(t),dt$，f 为偶函数，判定 g(x) 的奇偶性。


\begin{aligned}
g(-x) &= \int_{-a}^a |-x - t|\,f(t)\,dt \\
      &= \int_{a}^{-a} |-x + u|\,f(-u)\,(-du) \quad (u = -t) \\
      &= \int_{-a}^a |u - x|\,f(u)\,du \quad (f(-u)=f(u)) \\
      &= g(x)
\end{aligned}

故 g(x) 为偶函数。

知识点

变限积分求导基本公式：\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)
Leibniz 公式：被积函数含 x 时须加 \int \frac{\partial F}{\partial x} dt 项
含参变量变限积分的求导策略：先换元分离 $x$，再求导
$\sqrt{x^2} = |x|$，分段处理绝对值
变限积分与无穷小阶数判定（洛必达 / 积分中值定理）
$\displaystyle\int_0^x f(t)dt \sim f(0),x$（$x \to 0$，f 连续）
变限积分奇偶性：f 奇 \Rightarrow F 偶；f 偶 \Rightarrow F 奇
变量代换法判断含绝对值含参积分的奇偶性

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