## 笔记记录

### 要点 11 - 变限积分求导公式（基本形式）

设 $f(t)$ 连续，$a(x), b(x)$ 可导，则：

$$
\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f\big(b(x)\big)\,b'(x) - f\big(a(x)\big)\,a'(x)
$$

**特例**：

| 情况 | 公式 |
|------|------|
| 下限为常数 $a$ | $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^{b(x)} f(t)\,dt = f(b(x))\,b'(x)$ |
| 上限为常数 $b$ | $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^b f(t)\,dt = -f(a(x))\,a'(x)$ |
| 上下限均为常数 | $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^b f(t)\,dt = 0$ |

**推导思路**：设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的原函数，则：

$$
\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = F(b(x)) - F(a(x))
$$

两边求导即得公式。

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### 要点 12 - 含参变量的变限积分求导（Leibniz 公式）

当被积函数也含有 $x$ 时，需使用 **Leibniz 公式**：

$$
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} F(x,t)\,dt
= F\big(x,b(x)\big)\,b'(x) - F\big(x,a(x)\big)\,a'(x)
+ \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial F(x,t)}{\partial x}\,dt
$$

**关键策略：先换元，再求导**

若 $F(x,t) = f(x + g(t))$ 这类形式，直接求导容易漏掉 $\frac{\partial F}{\partial x}$ 项。推荐做法：

1. 先换元将 $x$ 从被积函数中分离
2. 使被积函数仅含积分变量，不再含 $x$
3. 再用基本变限积分求导公式

**典例**：设 $g(x) = \displaystyle\int_0^{2x} f\!\left(x + \dfrac{t}{2}\right) dt$，求 $g'(x)$。

**解**：令 $u = x + \dfrac{t}{2}$，则 $dt = 2\,du$，

$$
t = 0 \Rightarrow u = x,\qquad t = 2x \Rightarrow u = 2x
$$

$$
g(x) = \int_0^{2x} f\!\left(x + \frac{t}{2}\right) dt
      = \int_x^{2x} f(u) \cdot 2\,du
      = 2\int_x^{2x} f(u)\,du
$$

此时被积函数不含 $x$，直接用基本公式：

$$
g'(x) = 2\bigl[ f(2x)\cdot 2 - f(x)\cdot 1 \bigr]
      = 4f(2x) - 2f(x)
$$

**易错点**：若直接用 Leibniz 公式，容易漏掉第三项 $\int \frac{\partial F}{\partial x} dt$。

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### 要点 13 - 变限积分中的绝对值处理

当变限积分上限/下限或被积函数中出现 $\sqrt{x^2}$ 等含绝对值表达式时，需分段讨论。

**核心等式**：$\sqrt{x^2} = |x|$

**典例**：设 $y(x) = \displaystyle\int_2^{x^2} e^{-\sqrt{t}}\,dt$，求 $y''(-1)$。

**解**：

由基本公式：

$$
y'(x) = e^{-\sqrt{x^2}} \cdot (x^2)' = 2x\,e^{-|x|}
$$

在 $x = -1$ 的邻域内 $x < 0$，故 $|x| = -x$，$e^{-|x|} = e^x$：

$$
y'(x) = 2x\,e^x \qquad (x < 0)
$$

再求导：

$$
y''(x) = 2e^x + 2x e^x = 2e^x(1 + x)
$$

代入 $x = -1$：

$$
y''(-1) = 2e^{-1}(1 - 1) = 0
$$

**易错点**：直接写 $e^{-\sqrt{x^2}} = e^{-x}$ 而忽略 $|x|$，导致 $y''(-1) = 4e$（错误）。

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### 要点 14 - 变限积分与无穷小阶数的判定

变限积分常与极限问题结合，判定无穷小阶数时常用技巧：

**1. 直接使用变限积分求导 + 洛必达法则**

当 $x \to 0$ 时 $\int_0^x f(t)\,dt \sim f(0)\,x$（若 $f(0) \neq 0$），利用此等价关系快速判定阶数。

**2. 积分中值定理**

若 $\xi$ 介于积分上下限之间：

$$
\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f(\xi)\big(b(x) - a(x)\big)
$$

当 $a(x) \to 0, b(x) \to 0$ 时 $\xi \to 0$，$f(\xi) \to f(0)$（$f$ 连续）。

**典例**：$g(x) = 2\displaystyle\int_x^{2x} f(u)\,du$，判定 $x \to 0^+$ 时 $g(x)$ 与 $\sqrt{x}$ 的阶数关系。

$$
g(x) = 2f(\xi)(2x - x) = 2x f(\xi), \quad \xi \in [x, 2x]
$$

$$
\lim_{x\to 0^+} \frac{g(x)}{\sqrt{x}} = \lim_{x\to 0^+} 2\sqrt{x}\,f(\xi) = 0
$$

故 $g(x)$ 是 $\sqrt{x}$ 的高阶无穷小。

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### 要点 15 - 变限积分的奇偶性

设 $f(x)$ 为连续函数，利用变量代换判断含参积分的奇偶性。

**基本结论**：

| $f(x)$ 的奇偶性 | $F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ 的奇偶性 |
|:---:|:---:|
| $f$ 为奇函数 | $F$ 为偶函数 |
| $f$ 为偶函数 | $F$ 为奇函数（当 $F(0)=0$） |

**含绝对值的含参积分**：作代换 $t \to -t$ 检验。

**典例**：$g(x) = \displaystyle\int_{-a}^a |x - t|\,f(t)\,dt$，$f$ 为偶函数，判定 $g(x)$ 的奇偶性。

$$
\begin{aligned}
g(-x) &= \int_{-a}^a |-x - t|\,f(t)\,dt \\
      &= \int_{a}^{-a} |-x + u|\,f(-u)\,(-du) \quad (u = -t) \\
      &= \int_{-a}^a |u - x|\,f(u)\,du \quad (f(-u)=f(u)) \\
      &= g(x)
\end{aligned}
$$

故 $g(x)$ 为偶函数。

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### 知识点
- 变限积分求导基本公式：$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)$
- Leibniz 公式：被积函数含 $x$ 时须加 $\int \frac{\partial F}{\partial x} dt$ 项
- 含参变量变限积分的求导策略：先换元分离 $x$，再求导
- $\sqrt{x^2} = |x|$，分段处理绝对值
- 变限积分与无穷小阶数判定（洛必达 / 积分中值定理）
- $\displaystyle\int_0^x f(t)dt \sim f(0)\,x$（$x \to 0$，$f$ 连续）
- 变限积分奇偶性：$f$ 奇 $\Rightarrow$ $F$ 偶；$f$ 偶 $\Rightarrow$ $F$ 奇
- 变量代换法判断含绝对值含参积分的奇偶性