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笔记记录

要点 01 - 二重积分的积分次序交换

二重积分交换次序的核心步骤：

1. 画出积分区域：根据原积分限写出不等式，在坐标系中标出区域 D
2. 反解不等式：将"先 t 后 $y$"的不等式组改写为"先 y 后 $t$"的形式
3. 确定新限：写出交换后的累次积分

示例：设原积分为 $\displaystyle\int_a^b dy \int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(y,t),dt$，交换后为 $\displaystyle\int_c^d dt \int_{\psi_1(t)}^{\psi_2(t)} f(y,t),dy$。

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要点 02 - 由不等式反解积分限

给定 $a \le y \le b,; \varphi_1(y) \le t \le \varphi_2(y)$：

• 从 \varphi_1(y) \le t \le \varphi_2(y) 解出 y 的范围：\psi_1(t) \le y \le \psi_2(t)
• t 的范围为 $[c,d] = [\min \varphi_1(y), \max \varphi_2(y)]$（$y \in [a,b]$）

常见反解关系：

原关系	反解
y \le t	y \le t
t \le \sqrt{y}	y \ge t^2
t \le y^2	y \ge \sqrt{t}
t \ge y^2	y \le \sqrt{t}

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要点 03 - 分段处理（$\min$/\max 切换）

交换次序后，若上限/下限含 \min 或 $\max$，需在切换点处拆分为多段积分。

设 $y \in [t^2, \min(t, x^2)]$，切换点为 $t = x^2$：

• 当 0 \le t \le x^2 时：$\min(t, x^2) = t$，故 y \in [t^2, t]
• 当 x^2 \le t \le x 时：$\min(t, x^2) = x^2$，故 y \in [t^2, x^2]

积分拆为两段：

\int_0^{x^2} dt \int_{t^2}^t f\,dy + \int_{x^2}^x dt \int_{t^2}^{x^2} f\,dy

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要点 04 - 内层积分时外层变量视为常数

计算累次积分 \displaystyle\int dt \int g(y, t)\,dy 时：

• 先对 y 积分，此时 t 视为常数
• 原函数中的 $t$（来自被积函数或换元）不参与代入上下限
• 只有含 y 的部分受上下限影响

❌ 常见错误：\displaystyle\int_{t^2}^t t \cdot h(y,t)\,dy 代入时把系数 t 也随 y 限代值，写成 t \cdot h(t,t) - t^2 \cdot h(t^2,t) 之类。

✅ 正确做法：系数 t 提出积分号或保持不动：

\int_{t^2}^t t \cdot h(y,t)\,dy = t \int_{t^2}^t h(y,t)\,dy

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要点 05 - 二重积分的变量代换

对 $\displaystyle\iint_D f(y,t),dy,dt$，作代换 $(y,t) \to (u,v)$：

\iint_D f(y,t)\,dy\,dt = \iint_{D'} f\big(y(u,v), t(u,v)\big) \cdot |J| \, du\,dv

其中 Jacobi 行列式 $J = \dfrac{\partial(y,t)}{\partial(u,v)}$。

常用代换：

• 极坐标：$y = r\cos\theta,; t = r\sin\theta$，|J| = r
• 线性代换：$u = ay + bt,; v = cy + dt$，|J| = |ad - bc|^{-1}

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知识点

• 二重积分交换次序：画出区域 → 反解不等式 → 写出新积分限
• \min/\max 型边界需分段处理
• 累次积分中，内层积分时外层变量为常数，不可随内层限代值
• 变量代换的 Jacobi 行列式
• 极坐标变换：dx\,dy \to r\,dr\,d\theta