## 笔记记录

### 要点 01 - 二重积分的积分次序交换

二重积分交换次序的核心步骤：

1. **画出积分区域**：根据原积分限写出不等式，在坐标系中标出区域 $D$
2. **反解不等式**：将"先 $t$ 后 $y$"的不等式组改写为"先 $y$ 后 $t$"的形式
3. **确定新限**：写出交换后的累次积分

**示例**：设原积分为 $\displaystyle\int_a^b dy \int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(y,t)\,dt$，交换后为 $\displaystyle\int_c^d dt \int_{\psi_1(t)}^{\psi_2(t)} f(y,t)\,dy$。

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### 要点 02 - 由不等式反解积分限

给定 $a \le y \le b,\; \varphi_1(y) \le t \le \varphi_2(y)$：

- 从 $\varphi_1(y) \le t \le \varphi_2(y)$ 解出 $y$ 的范围：$\psi_1(t) \le y \le \psi_2(t)$
- $t$ 的范围为 $[c,d] = [\min \varphi_1(y), \max \varphi_2(y)]$（$y \in [a,b]$）

**常见反解关系**：

| 原关系 | 反解 |
|--------|------|
| $y \le t$ | $y \le t$ |
| $t \le \sqrt{y}$ | $y \ge t^2$ |
| $t \le y^2$ | $y \ge \sqrt{t}$ |
| $t \ge y^2$ | $y \le \sqrt{t}$ |

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### 要点 03 - 分段处理（$\min$/$\max$ 切换）

交换次序后，若上限/下限含 $\min$ 或 $\max$，需在切换点处拆分为多段积分。

设 $y \in [t^2, \min(t, x^2)]$，切换点为 $t = x^2$：

- 当 $0 \le t \le x^2$ 时：$\min(t, x^2) = t$，故 $y \in [t^2, t]$
- 当 $x^2 \le t \le x$ 时：$\min(t, x^2) = x^2$，故 $y \in [t^2, x^2]$

积分拆为两段：
$$\int_0^{x^2} dt \int_{t^2}^t f\,dy + \int_{x^2}^x dt \int_{t^2}^{x^2} f\,dy$$

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### 要点 04 - 内层积分时外层变量视为常数

计算累次积分 $\displaystyle\int dt \int g(y, t)\,dy$ 时：

- 先对 $y$ 积分，此时 $t$ 视为**常数**
- 原函数中的 $t$（来自被积函数或换元）**不参与代入上下限**
- 只有含 $y$ 的部分受上下限影响

**❌ 常见错误**：$\displaystyle\int_{t^2}^t t \cdot h(y,t)\,dy$ 代入时把系数 $t$ 也随 $y$ 限代值，写成 $t \cdot h(t,t) - t^2 \cdot h(t^2,t)$ 之类。

**✅ 正确做法**：系数 $t$ 提出积分号或保持不动：
$$\int_{t^2}^t t \cdot h(y,t)\,dy = t \int_{t^2}^t h(y,t)\,dy$$

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### 要点 05 - 二重积分的变量代换

对 $\displaystyle\iint_D f(y,t)\,dy\,dt$，作代换 $(y,t) \to (u,v)$：

$$
\iint_D f(y,t)\,dy\,dt = \iint_{D'} f\big(y(u,v), t(u,v)\big) \cdot |J| \, du\,dv
$$

其中 Jacobi 行列式 $J = \dfrac{\partial(y,t)}{\partial(u,v)}$。

**常用代换**：
- 极坐标：$y = r\cos\theta,\; t = r\sin\theta$，$|J| = r$
- 线性代换：$u = ay + bt,\; v = cy + dt$，$|J| = |ad - bc|^{-1}$

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### 知识点

- 二重积分交换次序：画出区域 → 反解不等式 → 写出新积分限
- $\min/\max$ 型边界需分段处理
- 累次积分中，内层积分时外层变量为常数，不可随内层限代值
- 变量代换的 Jacobi 行列式
- 极坐标变换：$dx\,dy \to r\,dr\,d\theta$