feat: 增加级数敛散性判别与反常积分审敛法（含错题与比值审敛证明）
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d744d4605b
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## 错题记录
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### 题目 01
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若反常积分
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$$\int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)\,x^{1-p}}\,dx$$
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收敛，则 $p$ 的取值范围是？
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### 错误原因
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忽视该积分是**混合型反常积分**（$x=0$ 为瑕点且有 $+\infty$ 上限），只分析了某一端的敛散条件，未同时考虑两端的约束取交集。
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### 正确答案
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$$0 < p < 1$$
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**解法（比较判别法的极限形式）**：
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将被积函数改写为
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$$f(x) = \frac{\ln x}{(1+x)\,x^{1-p}} = \frac{x^{p-1}\ln x}{1+x}$$
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由于 $\ln x$ 在 $x=0$ 和 $x=+\infty$ 处均为奇点，需分别构造比较函数，利用极限形式比较判别法（$\displaystyle\lim \frac{f}{g} = l$）判定敛散。
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**（1）$x \to 0^+$ 端（瑕积分）**
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取比较函数
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$$g_1(x) = -x^{p-1}\ln x \quad (> 0 \text{ for } x \in (0,1))$$
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求比值极限：
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$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{g_1(x)}
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= \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{p-1}\ln x}{(1+x)} \cdot \frac{1}{-x^{p-1}\ln x}
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= \lim_{x \to 0^+} \frac{-1}{1+x} = -1$$
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由于 $0 < \left| -1 \right| < +\infty$，由极限形式比较判别法，$f$ 与 $g_1$ 在 $x=0$ 处**同敛散**。
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现判 $g_1$ 的敛散性（分部积分）：
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$$\int_0 -x^{p-1}\ln x\,dx = -\frac{x^p}{p}\ln x \Big|_0 + \frac{1}{p}\int_0 x^{p-1}dx
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= -\frac{x^p}{p}\ln x \Big|_0 + \frac{x^p}{p^2}\Big|_0$$
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当 $p > 0$ 时 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^p\ln x = 0$，积分收敛；
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当 $p \le 0$ 时 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^p\ln x = -\infty$（或不存在），积分发散。
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故 $x \to 0^+$ 端收敛当且仅当
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$$p > 0$$
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**（2）$x \to +\infty$ 端（无穷限积分）**
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取比较函数
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$$g_2(x) = \frac{\ln x}{x^{2-p}} \quad (> 0 \text{ for } x > 1)$$
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求比值极限：
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$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g_2(x)}
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= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{p-1}\ln x}{1+x} \cdot \frac{x^{2-p}}{\ln x}
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= \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1+x} = 1$$
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由于 $0 < 1 < +\infty$，由极限形式比较判别法，$f$ 与 $g_2$ 在 $x=+\infty$ 处**同敛散**。
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现判 $g_2$ 的敛散性（分部积分）：
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$$\int^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2-p}}\,dx
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= -\frac{\ln x}{(1-p)x^{1-p}}\Big|^{+\infty} + \frac{1}{1-p}\int^{+\infty} \frac{dx}{x^{2-p}}$$
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当 $p < 1$（即 $1-p > 0$）时：
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- $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^{1-p}} = 0$（幂次 $1-p > 0$ 支配对数），第一项趋于 $0$
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- $\displaystyle\int^{+\infty} \frac{dx}{x^{2-p}}$ 收敛（$2-p > 1$），第二项收敛
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当 $p \ge 1$ 时积分发散。
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故 $x \to +\infty$ 端收敛当且仅当
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$$p < 1$$
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**（3）综合**
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取两端的交集：
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$$\boxed{0 < p < 1}$$
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#### ε-δ 严格证明（比值审敛思路）
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核心思路：对两端分别取 $\ln x$ 的「消去因子」$\varepsilon_1, \varepsilon_2 > 0$，用不等式放缩将 $f$ 夹在可积的幂函数之间，以比值审敛的本质完成严格证明。
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设 $0 < p < 1$。令 $p$ 满足条件的两个正数：
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$$\varepsilon_1 = \frac{p}{2} > 0, \qquad \varepsilon_2 = \frac{1-p}{2} > 0$$
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将积分分拆为两段：
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$$I = \int_0^{+\infty} f(x)dx = \underbrace{\int_0^1 f(x)dx}_{I_1} + \underbrace{\int_1^{+\infty} f(x)dx}_{I_2}$$
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**（A）$I_1$ 的收敛性（$x \to 0^+$）**
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由 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^{\varepsilon_1} \ln x = 0$，存在 $\delta \in (0, 1]$，使得当 $0 < x < \delta$ 时：
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$$|x^{\varepsilon_1} \ln x| < 1 \quad\Longrightarrow\quad |\ln x| < x^{-\varepsilon_1}$$
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对 $x \in (0, \delta)$，有 $1+x \ge 1$，故 $\dfrac{1}{1+x} \le 1$，从而：
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$$|f(x)| = \frac{|\ln x| \cdot x^{p-1}}{1+x}
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\le |\ln x| \cdot x^{p-1}
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< x^{-\varepsilon_1} \cdot x^{p-1}
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= x^{p-1-\varepsilon_1}$$
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由于 $\varepsilon_1 = \dfrac{p}{2}$，故 $p-1-\varepsilon_1 = \dfrac{p}{2} - 1$。
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因为 $p > 0$，有 $\dfrac{p}{2} - 1 > -1$，故 $\displaystyle\int_0^{\delta} x^{p/2-1}\,dx$ 收敛。由比较判别法，$|f(x)|$ 在 $(0, \delta)$ 上可积，即 $I_1$ 绝对收敛。
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**（B）$I_2$ 的收敛性（$x \to +\infty$）**
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由 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^{\varepsilon_2}} = 0$，存在 $M > 1$，使得当 $x > M$ 时：
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$$\left|\frac{\ln x}{x^{\varepsilon_2}}\right| < 1 \quad\Longrightarrow\quad |\ln x| < x^{\varepsilon_2}$$
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对 $x > M \ge 1$，有 $1+x \ge x$，故 $\dfrac{1}{1+x} \le \dfrac{1}{x}$，从而：
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$$|f(x)| = \frac{|\ln x| \cdot x^{p-1}}{1+x}
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\le \frac{|\ln x| \cdot x^{p-1}}{x}
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= |\ln x| \cdot x^{p-2}
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< x^{\varepsilon_2} \cdot x^{p-2}
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= x^{p-2+\varepsilon_2}$$
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由于 $\varepsilon_2 = \dfrac{1-p}{2}$，故 $p-2+\varepsilon_2 = p-2 + \dfrac{1-p}{2} = \dfrac{p-3}{2}$。
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为验证 $\displaystyle\int_M^{+\infty} x^{p-2+\varepsilon_2}\,dx$ 收敛，需 $p-2+\varepsilon_2 < -1$：
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$$p - 2 + \frac{1-p}{2} < -1
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\;\Longrightarrow\; \frac{2p-4+1-p}{2} < -1
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\;\Longrightarrow\; \frac{p-3}{2} < -1
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\;\Longrightarrow\; p < 1$$
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由 $p < 1 \,\checkmark$，故 $\displaystyle\int_M^{+\infty} x^{p-2+\varepsilon_2}\,dx$ 收敛。由比较判别法，$|f(x)|$ 在 $(M, +\infty)$ 上可积，即 $I_2$ 绝对收敛。
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**（C）结论**
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$I_1$ 与 $I_2$ 均绝对收敛 $\;\Longrightarrow\;$ 原积分 $I$ 收敛。
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综上，反常积分收敛当且仅当 $\boxed{0 < p < 1}$。
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### 知识点
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- 反常积分的极限形式比较判别法（比值审敛）：选取 $g(x)$ 使 $\displaystyle\lim \frac{f}{g}$ 为非零有限值，转化为 $g$ 的敛散判定
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- 混合型反常积分的分段审敛思路
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- 瑕积分审敛：$x \to 0^+$ 时比较基准 $\displaystyle\int_0 \frac{1}{x^q}dx$（$q < 1$ 收敛）
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- 无穷限积分审敛：$x \to +\infty$ 时比较基准 $\displaystyle\int^{+\infty} \frac{1}{x^q}dx$（$q > 1$ 收敛）
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- $\ln x$ 因子不改变积分敛散性的临界值，但在 $=$ 临界值时会导致发散
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@ -97,6 +97,7 @@ mistakes/math/
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| 02_导数与微分 | [题目01 - 函数单调性](02_导数与微分.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
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| 03_中值定理 | [题目01 - 罗尔定理与辅助函数](03_中值定理.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
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| 03_中值定理 | [题目02 - 拉格朗日中值定理](03_中值定理.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
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| 04_积分 | [题目01 - 反常积分敛散性判别](04_积分.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
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@ -22,6 +22,7 @@ $$
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- [04_积分_三角函数.md](./04_积分_三角函数.md) — 三角函数积分、Wallis 公式、递推公式
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- [04_积分_换元与分部.md](./04_积分_换元与分部.md) — 换元积分法、分部积分法
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- [04_积分_有理分式.md](./04_积分_有理分式.md) — 有理分式积分
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- [04_积分_反常积分.md](./04_积分_反常积分.md) — 反常积分的定义与比较判别法
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### 知识点
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- 定积分的定义
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@ -36,3 +37,6 @@ $$
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- 分部积分法（LIATE 优先序）
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- 循环分部与移项求解
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- 有理分式积分（部分分式分解法）
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- 反常积分的定义与分类（无穷限 + 瑕积分）
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- 反常积分的比较判别法（一般形式与极限形式）
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- 常用反常积分比较基准：$\int \frac{1}{x^p}\,dx$
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@ -0,0 +1,96 @@
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## 笔记记录
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### 要点 09 - 反常积分的定义与分类
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#### 两种类型
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| 类型 | 定义 | 记号 |
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| **无穷限反常积分** | 积分区间无界 | $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx,\ \int_{-\infty}^b f(x)dx,\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$ |
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| **瑕积分** | 被积函数无界 | $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$，其中 $f(x)$ 在 $x \to a^+$（或 $x \to b^-$）时无界 |
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#### 无穷限反常积分的定义
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设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续：
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$$\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x)dx$$
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若该极限存在，则称积分**收敛**；否则**发散**。
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#### 瑕积分的定义
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设 $a$ 为瑕点（$f(x)$ 在 $x \to a^+$ 时无界）：
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$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)dx$$
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若该极限存在，则称积分**收敛**；否则**发散**。
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### 要点 10 - 反常积分的比较判别法
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#### 定理形式（无穷限积分）
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设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上非负连续：
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**一般形式：** 若存在 $M > 0$，当 $x$ 充分大时 $0 \le f(x) \le M \cdot g(x)$，则：
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- $\displaystyle\int_a^{+\infty} g(x)dx$ 收敛 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 收敛
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- $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 发散 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{+\infty} g(x)dx$ 发散
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**极限形式：** 设 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = l$：
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| $l$ 的取值 | 结论 |
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|------------|------|
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| $0 < l < +\infty$ | $\int f$ 与 $\int g$ 同敛散 |
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| $l = 0$ | $\int g$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int f$ 收敛 |
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| $l = +\infty$ | $\int g$ 发散 $\Rightarrow$ $\int f$ 发散 |
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#### 定理形式（瑕积分）
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设 $f(x), g(x)$ 在 $(a, b]$ 上非负连续，$a$ 为瑕点：
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**一般形式：** 若存在 $M > 0$，当 $x \to a^+$ 时 $0 \le f(x) \le M \cdot g(x)$，则：
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- $\displaystyle\int_a^{b} g(x)dx$ 收敛 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{b} f(x)dx$ 收敛
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- $\displaystyle\int_a^{b} f(x)dx$ 发散 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{b} g(x)dx$ 发散
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**极限形式类同无穷限情形**，区别在于极限取 $x \to a^+$。
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#### 常用比较基准
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| 积分类型 | 被积函数 | 收敛条件 |
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|----------|----------|----------|
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| 无穷限 | $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^p}\,dx$ | $p > 1$ 收敛；$p \le 1$ 发散 |
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| 瑕积分 | $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{x^p}\,dx$ | $p < 1$ 收敛；$p \ge 1$ 发散 |
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| 瑕积分（$a$ 为瑕点） | $\displaystyle\int_a^b \dfrac{1}{(x-a)^p}\,dx$ | $p < 1$ 收敛；$p \ge 1$ 发散 |
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#### 记忆口诀
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- 无穷限：$p > 1$ 收（分母次数要够大，无穷远处衰减快）
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- 瑕积分：$p < 1$ 收（分母次数要够小，瑕点附近不炸穿）
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#### 解题思路
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1. 判断反常积分类型（无穷限 / 瑕积分 / 混合型）
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2. 对被积函数取**等价无穷小**找出 $\dfrac{1}{x^p}$（$x \to +\infty$ 或 $x \to a^+$）
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3. 根据 $p$ 值与比较判别法的极限形式判定敛散性
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#### 典例
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判别 $\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\arctan x}{x^p}\,dx$ 的敛散性：
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- 当 $x \to 0^+$ 时，$\arctan x \sim x$，$\dfrac{\arctan x}{x^p} \sim \dfrac{1}{x^{p-1}}$（瑕积分，$x=0$ 为瑕点）→ 需 $p-1 < 1$，即 $p < 2$
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- 当 $x \to +\infty$ 时，$\arctan x \to \dfrac{\pi}{2}$，$\dfrac{\arctan x}{x^p} \sim \dfrac{\pi}{2x^p}$（无穷限）→ 需 $p > 1$
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综合：$1 < p < 2$ 时收敛。
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### 知识点
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- 反常积分的定义（无穷限 + 瑕积分）
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- 无穷限反常积分的比较判别法（一般形式与极限形式）
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- 瑕积分的比较判别法（一般形式与极限形式）
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- 常用比较基准：$\displaystyle\int \frac{1}{x^p}\,dx$
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- 等价无穷小在反常积分审敛中的应用
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- 混合型反常积分的分段处理
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@ -32,9 +32,179 @@ $$
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$U$ 是完备度量空间（闭区间），$T: U \to U$ 是压缩映射。由 **Banach 不动点定理**，$T$ 在 $U$ 内有唯一不动点 $x^*$，且对任意 $x_0 \in U$，迭代 $x_{n+1}=T(x_n)$ 收敛到 $x^*$。
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### 要点 02 - 正项级数收敛的充要条件
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#### 定义
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若对任意 $n$，$u_n \ge 0$，则称 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为**正项级数**。
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#### 充要条件
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正项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 $\iff$ 部分和数列 $\{S_n\}$ 有上界。
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#### 常见比较基准
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| 级数 | 形式 | 收敛性 |
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|------|------|--------|
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| $p$ 级数 | $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^p}$ | $p > 1$ 收敛；$p \le 1$ 发散 |
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| 几何级数 | $\displaystyle\sum aq^{n-1}$ | $\|q\| < 1$ 收敛；$\|q\| \ge 1$ 发散 |
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| 调和级数 | $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n}$ | 发散（$p=1$ 特例） |
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### 要点 03 - 比较判别法
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#### 一般形式
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设 $\displaystyle\sum u_n$ 和 $\displaystyle\sum v_n$ 均为正项级数，且存在 $N$，当 $n > N$ 时 $u_n \le v_n$，则：
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- 若 $\displaystyle\sum v_n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum u_n$ 收敛
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- 若 $\displaystyle\sum u_n$ 发散，则 $\displaystyle\sum v_n$ 发散
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#### 极限形式
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设 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{u_n}{v_n} = l$（$0 \le l \le +\infty$）：
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| $l$ 的取值 | 结论 |
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|------------|------|
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| $0 < l < +\infty$ | $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 同敛散 |
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| $l = 0$ | 若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛 |
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| $l = +\infty$ | 若 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散 |
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#### 常用技巧
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$$u_n \sim \frac{1}{n^p} \quad (n \to \infty)$$
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通过等价无穷小找出 $p$，根据 $p > 1$ 还是 $p \le 1$ 判断敛散性。
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### 要点 04 - 比值判别法（达朗贝尔判别法）
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设 $\displaystyle\sum u_n$ 为正项级数，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$：
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| $\rho$ 的取值 | 结论 |
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|---------------|------|
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| $\rho < 1$ | 级数收敛 |
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| $\rho > 1$ | 级数发散 |
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| $\rho = 1$ | 判别法失效，需用其他方法 |
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#### 适用场景
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- $u_n$ 中含有 $n!$、$a^n$、$n^n$ 等因式时优先考虑
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- 阶乘型、指数型级数最为适用
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### 要点 05 - 根值判别法（柯西判别法）
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设 $\displaystyle\sum u_n$ 为正项级数，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$：
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| $\rho$ 的取值 | 结论 |
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|---------------|------|
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| $\rho < 1$ | 级数收敛 |
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| $\rho > 1$ | 级数发散 |
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| $\rho = 1$ | 判别法失效，需用其他方法 |
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#### 适用场景
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- $u_n$ 中含有 $n$ 次方（如 $a^{n^2}$、$(f(n))^n$）时优先考虑
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#### 重要极限
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$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1, \qquad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \;(a>0)$$
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### 要点 06 - 积分判别法（柯西积分判别法）
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设 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上非负单调递减，$u_n = f(n)$，则：
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$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n \text{ 与 } \int_1^{+\infty} f(x)\,dx \text{ 同敛散}$$
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#### 典例：$p$ 级数的证明
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$f(x) = \dfrac{1}{x^p}$ 单调递减：
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$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛}, & p > 1 \\ \text{发散}, & p \le 1 \end{cases}$$
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#### 适用场景
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- 通项 $u_n$ 可以看作某单调递减函数 $f(x)$ 在 $x=n$ 处的值
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- 常用于 $u_n = \dfrac{1}{n \ln^p n}$ 等不易用比值/根值法判断的情形
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### 要点 07 - 交错级数与莱布尼兹判别法
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#### 定义
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形如 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$（$u_n > 0$）的级数称为**交错级数**。
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#### 莱布尼兹判别法
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若交错级数 $\displaystyle\sum (-1)^{n-1} u_n$ 满足：
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1. $u_n \ge u_{n+1} > 0$（$\{u_n\}$ 单调递减）
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2. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
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则级数收敛，且余项 $\|R_n\| \le u_{n+1}$。
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#### 余项估计
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$$\|S - S_n\| = \|R_n\| \le u_{n+1}$$
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即用部分和近似级数和时，误差不超过被截断的首项绝对值。
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### 要点 08 - 绝对收敛与条件收敛
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#### 定义
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对任意项级数 $\displaystyle\sum u_n$（$u_n$ 可正可负）：
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| 类型 | 定义 | 关系 |
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|------|------|------|
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| 绝对收敛 | $\displaystyle\sum \|u_n\|$ 收敛 | 绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛 |
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| 条件收敛 | $\displaystyle\sum u_n$ 收敛，但 $\sum \|u_n\|$ 发散 | 条件收敛级数重排可改变和值 |
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#### 判别流程
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```mermaid
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flowchart TD
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A[任意项级数 Σu_n] --> B{检查绝对收敛}
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B -->|Σ|u_n| 收敛| C[原级数绝对收敛 ✓]
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B -->|Σ|u_n| 发散| D{是否交错级数?}
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D -->|是| E{莱布尼兹判别法}
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E -->|满足| F[条件收敛]
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E -->|不满足| G{用其他方法}
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D -->|否| G
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G -->|收敛| F
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G -->|发散| H[原级数发散 ✗]
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```
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#### 绝对收敛的性质
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- 绝对收敛级数任意重排后和不变
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- 绝对收敛级数的乘积（柯西乘积）仍绝对收敛
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### 知识点
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- 不动点的定义
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- 压缩映射原理
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- Banach 不动点定理
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- 微分中值定理
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- 迭代收敛性
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- 正项级数的定义与充要条件
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- $p$ 级数与几何级数
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- 比较判别法（一般形式与极限形式）
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- 比值判别法（达朗贝尔判别法）
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- 根值判别法（柯西判别法）
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- 积分判别法（柯西积分判别法）
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- 交错级数与莱布尼兹判别法
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- 绝对收敛与条件收敛
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- 级数余项估计
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@ -27,6 +27,8 @@
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- [要点 06 - 换元积分法](./04_积分_换元与分部.md#要点-06---换元积分法)
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- [要点 07 - 分部积分法](./04_积分_换元与分部.md#要点-07---分部积分法)
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- [要点 08 - 有理分式积分](./04_积分_有理分式.md#要点-08---有理分式积分)
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||||
- [要点 09 - 反常积分的定义与分类](./04_积分_反常积分.md#要点-09---反常积分的定义与分类)
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- [要点 10 - 反常积分的比较判别法](./04_积分_反常积分.md#要点-10---反常积分的比较判别法)
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### [05_微分方程.md](./05_微分方程.md)
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- [要点 01 - 一阶可分离变量方程](./05_微分方程.md#要点-01---一阶可分离变量方程)
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@ -40,6 +42,13 @@
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### [09_级数.md](./09_级数.md)
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- [要点 01 - 数列不动点问题](./09_级数.md#要点-01---数列不动点问题)
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- [要点 02 - 正项级数收敛的充要条件](./09_级数.md#要点-02---正项级数收敛的充要条件)
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- [要点 03 - 比较判别法](./09_级数.md#要点-03---比较判别法)
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- [要点 04 - 比值判别法（达朗贝尔判别法）](./09_级数.md#要点-04---比值判别法达朗贝尔判别法)
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- [要点 05 - 根值判别法（柯西判别法）](./09_级数.md#要点-05---根值判别法柯西判别法)
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- [要点 06 - 积分判别法（柯西积分判别法）](./09_级数.md#要点-06---积分判别法柯西积分判别法)
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- [要点 07 - 交错级数与莱布尼兹判别法](./09_级数.md#要点-07---交错级数与莱布尼兹判别法)
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- [要点 08 - 绝对收敛与条件收敛](./09_级数.md#要点-08---绝对收敛与条件收敛)
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### [e01-常用公式速查.md](./e01-常用公式速查.md)
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- 乘法公式 / 指数运算 / 对数运算
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@ -62,10 +71,10 @@
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| 01 极限 | 等价无穷小、泰勒展开 | 1 |
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| 02 导数与微分 | 莱布尼兹公式、隐函数求导、曲率 | 3 |
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| 03 中值定理 | 罗尔/拉格朗日/柯西中值定理、泰勒公式、辅助函数构造 | 6 |
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| 04 积分 | 分式/根号/三角/换元/分部/有理分式 | 8（分 4 子章节） |
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| 04 积分 | 分式/根号/三角/换元/分部/有理分式/反常积分 | 10（分 5 子章节） |
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| 05 微分方程 | 一阶/高阶方程、常系数、欧拉方程 | 8 |
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| 09 级数 | 数列不动点 | 1 |
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| 09 级数 | 数列不动点、正项级数审敛 | 8 |
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| e01 常用公式速查 | 乘/指/对/数列/不等式/韦达定理 | — |
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| e02 三角函数 | 奇变偶不变、和差化积、sec/csc/cot、积分递推 | — |
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**总计：27 个要点（04 积分拆为 4 子章节）+ 2 篇杂项**
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**总计：36 个要点（04 积分拆为 5 子章节）+ 2 篇杂项**
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