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错题记录

题目 01

若反常积分

\int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)\,x^{1-p}}\,dx

收敛，则 p 的取值范围是？

错误原因

忽视该积分是混合型反常积分（x=0 为瑕点且有 +\infty 上限），只分析了某一端的敛散条件，未同时考虑两端的约束取交集。

正确答案

0 < p < 1

解法（比较判别法的极限形式）：

将被积函数改写为

f(x) = \frac{\ln x}{(1+x)\,x^{1-p}} = \frac{x^{p-1}\ln x}{1+x}

由于 \ln x 在 x=0 和 x=+\infty 处均为奇点，需分别构造比较函数，利用极限形式比较判别法（$\displaystyle\lim \frac{f}{g} = l$）判定敛散。

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（1）x \to 0^+ 端（瑕积分）

取比较函数

g_1(x) = -x^{p-1}\ln x \quad (> 0 \text{ for } x \in (0,1))

求比值极限：

\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{g_1(x)} 
= \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{p-1}\ln x}{(1+x)} \cdot \frac{1}{-x^{p-1}\ln x}
= \lim_{x \to 0^+} \frac{-1}{1+x} = -1$$

由于 $0 < \left| -1 \right| < +\infty$，由极限形式比较判别法，$f$ 与 $g_1$ 在 $x=0$ 处**同敛散**。

现判 $g_1$ 的敛散性（分部积分）：

$$\int_0 -x^{p-1}\ln x\,dx = -\frac{x^p}{p}\ln x \Big|_0 + \frac{1}{p}\int_0 x^{p-1}dx
= -\frac{x^p}{p}\ln x \Big|_0 + \frac{x^p}{p^2}\Big|_0$$

当 $p > 0$ 时 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^p\ln x = 0$，积分收敛；

当 $p \le 0$ 时 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^p\ln x = -\infty$（或不存在），积分发散。

故 $x \to 0^+$ 端收敛当且仅当

$$p > 0$$

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**（2）$x \to +\infty$ 端（无穷限积分）**

取比较函数

$$g_2(x) = \frac{\ln x}{x^{2-p}} \quad (> 0 \text{ for } x > 1)$$

求比值极限：

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g_2(x)}
= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{p-1}\ln x}{1+x} \cdot \frac{x^{2-p}}{\ln x}
= \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1+x} = 1$$

由于 $0 < 1 < +\infty$，由极限形式比较判别法，$f$ 与 $g_2$ 在 $x=+\infty$ 处**同敛散**。

现判 $g_2$ 的敛散性（分部积分）：

$$\int^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2-p}}\,dx 
= -\frac{\ln x}{(1-p)x^{1-p}}\Big|^{+\infty} + \frac{1}{1-p}\int^{+\infty} \frac{dx}{x^{2-p}}$$

当 $p < 1$（即 $1-p > 0$）时：

- $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^{1-p}} = 0$（幂次 $1-p > 0$ 支配对数），第一项趋于 $0$
- $\displaystyle\int^{+\infty} \frac{dx}{x^{2-p}}$ 收敛（$2-p > 1$），第二项收敛

当 $p \ge 1$ 时积分发散。

故 $x \to +\infty$ 端收敛当且仅当

$$p < 1$$

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**（3）综合**

取两端的交集：

$$\boxed{0 < p < 1}$$

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#### ε-δ 严格证明（比值审敛思路）

核心思路：对两端分别取 $\ln x$ 的「消去因子」$\varepsilon_1, \varepsilon_2 > 0$，用不等式放缩将 $f$ 夹在可积的幂函数之间，以比值审敛的本质完成严格证明。

设 $0 < p < 1$。令 $p$ 满足条件的两个正数：

$$\varepsilon_1 = \frac{p}{2} > 0, \qquad \varepsilon_2 = \frac{1-p}{2} > 0$$

将积分分拆为两段：

$$I = \int_0^{+\infty} f(x)dx = \underbrace{\int_0^1 f(x)dx}_{I_1} + \underbrace{\int_1^{+\infty} f(x)dx}_{I_2}$$

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**（A）$I_1$ 的收敛性（$x \to 0^+$）**

由 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^{\varepsilon_1} \ln x = 0$，存在 $\delta \in (0, 1]$，使得当 $0 < x < \delta$ 时：

$$|x^{\varepsilon_1} \ln x| < 1 \quad\Longrightarrow\quad |\ln x| < x^{-\varepsilon_1}$$

对 $x \in (0, \delta)$，有 $1+x \ge 1$，故 $\dfrac{1}{1+x} \le 1$，从而：

$$|f(x)| = \frac{|\ln x| \cdot x^{p-1}}{1+x}
\le |\ln x| \cdot x^{p-1}
< x^{-\varepsilon_1} \cdot x^{p-1}
= x^{p-1-\varepsilon_1}$$

由于 $\varepsilon_1 = \dfrac{p}{2}$，故 $p-1-\varepsilon_1 = \dfrac{p}{2} - 1$。

因为 $p > 0$，有 $\dfrac{p}{2} - 1 > -1$，故 $\displaystyle\int_0^{\delta} x^{p/2-1}\,dx$ 收敛。由比较判别法，$|f(x)|$ 在 $(0, \delta)$ 上可积，即 $I_1$ 绝对收敛。

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**（B）$I_2$ 的收敛性（$x \to +\infty$）**

由 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^{\varepsilon_2}} = 0$，存在 $M > 1$，使得当 $x > M$ 时：

$$\left|\frac{\ln x}{x^{\varepsilon_2}}\right| < 1 \quad\Longrightarrow\quad |\ln x| < x^{\varepsilon_2}$$

对 $x > M \ge 1$，有 $1+x \ge x$，故 $\dfrac{1}{1+x} \le \dfrac{1}{x}$，从而：

$$|f(x)| = \frac{|\ln x| \cdot x^{p-1}}{1+x}
\le \frac{|\ln x| \cdot x^{p-1}}{x}
= |\ln x| \cdot x^{p-2}
< x^{\varepsilon_2} \cdot x^{p-2}
= x^{p-2+\varepsilon_2}$$

由于 $\varepsilon_2 = \dfrac{1-p}{2}$，故 $p-2+\varepsilon_2 = p-2 + \dfrac{1-p}{2} = \dfrac{p-3}{2}$。

为验证 $\displaystyle\int_M^{+\infty} x^{p-2+\varepsilon_2}\,dx$ 收敛，需 $p-2+\varepsilon_2 < -1$：

$$p - 2 + \frac{1-p}{2} < -1
\;\Longrightarrow\; \frac{2p-4+1-p}{2} < -1
\;\Longrightarrow\; \frac{p-3}{2} < -1
\;\Longrightarrow\; p < 1$$

由 $p < 1 \,\checkmark$，故 $\displaystyle\int_M^{+\infty} x^{p-2+\varepsilon_2}\,dx$ 收敛。由比较判别法，$|f(x)|$ 在 $(M, +\infty)$ 上可积，即 $I_2$ 绝对收敛。

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**（C）结论**

$I_1$ 与 $I_2$ 均绝对收敛 $\;\Longrightarrow\;$ 原积分 $I$ 收敛。

综上，反常积分收敛当且仅当 $\boxed{0 < p < 1}$。

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### 知识点
- 反常积分的极限形式比较判别法（比值审敛）：选取 $g(x)$ 使 $\displaystyle\lim \frac{f}{g}$ 为非零有限值，转化为 $g$ 的敛散判定
- 混合型反常积分的分段审敛思路
- 瑕积分审敛：$x \to 0^+$ 时比较基准 $\displaystyle\int_0 \frac{1}{x^q}dx$（$q < 1$ 收敛）
- 无穷限积分审敛：$x \to +\infty$ 时比较基准 $\displaystyle\int^{+\infty} \frac{1}{x^q}dx$（$q > 1$ 收敛）
- $\ln x$ 因子不改变积分敛散性的临界值，但在 $=$ 临界值时会导致发散