diff --git a/mistakes/math/04_积分.md b/mistakes/math/04_积分.md new file mode 100644 index 0000000..a9af1e8 --- /dev/null +++ b/mistakes/math/04_积分.md @@ -0,0 +1,171 @@ +## 错题记录 + +### 题目 01 + +若反常积分 + +$$\int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)\,x^{1-p}}\,dx$$ + +收敛，则 $p$ 的取值范围是？ + +### 错误原因 + +忽视该积分是**混合型反常积分**（$x=0$ 为瑕点且有 $+\infty$ 上限），只分析了某一端的敛散条件，未同时考虑两端的约束取交集。 + +### 正确答案 + +$$0 < p < 1$$ + +**解法（比较判别法的极限形式）**： + +将被积函数改写为 + +$$f(x) = \frac{\ln x}{(1+x)\,x^{1-p}} = \frac{x^{p-1}\ln x}{1+x}$$ + +由于 $\ln x$ 在 $x=0$ 和 $x=+\infty$ 处均为奇点，需分别构造比较函数，利用极限形式比较判别法（$\displaystyle\lim \frac{f}{g} = l$）判定敛散。 + +--- + +**（1）$x \to 0^+$ 端（瑕积分）** + +取比较函数 + +$$g_1(x) = -x^{p-1}\ln x \quad (> 0 \text{ for } x \in (0,1))$$ + +求比值极限： + +$$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{g_1(x)} += \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{p-1}\ln x}{(1+x)} \cdot \frac{1}{-x^{p-1}\ln x} += \lim_{x \to 0^+} \frac{-1}{1+x} = -1$$ + +由于 $0 < \left| -1 \right| < +\infty$，由极限形式比较判别法，$f$ 与 $g_1$ 在 $x=0$ 处**同敛散**。 + +现判 $g_1$ 的敛散性（分部积分）： + +$$\int_0 -x^{p-1}\ln x\,dx = -\frac{x^p}{p}\ln x \Big|_0 + \frac{1}{p}\int_0 x^{p-1}dx += -\frac{x^p}{p}\ln x \Big|_0 + \frac{x^p}{p^2}\Big|_0$$ + +当 $p > 0$ 时 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^p\ln x = 0$，积分收敛； + +当 $p \le 0$ 时 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^p\ln x = -\infty$（或不存在），积分发散。 + +故 $x \to 0^+$ 端收敛当且仅当 + +$$p > 0$$ + +--- + +**（2）$x \to +\infty$ 端（无穷限积分）** + +取比较函数 + +$$g_2(x) = \frac{\ln x}{x^{2-p}} \quad (> 0 \text{ for } x > 1)$$ + +求比值极限： + +$$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g_2(x)} += \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{p-1}\ln x}{1+x} \cdot \frac{x^{2-p}}{\ln x} += \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1+x} = 1$$ + +由于 $0 < 1 < +\infty$，由极限形式比较判别法，$f$ 与 $g_2$ 在 $x=+\infty$ 处**同敛散**。 + +现判 $g_2$ 的敛散性（分部积分）： + +$$\int^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2-p}}\,dx += -\frac{\ln x}{(1-p)x^{1-p}}\Big|^{+\infty} + \frac{1}{1-p}\int^{+\infty} \frac{dx}{x^{2-p}}$$ + +当 $p < 1$（即 $1-p > 0$）时： + +- $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^{1-p}} = 0$（幂次 $1-p > 0$ 支配对数），第一项趋于 $0$ +- $\displaystyle\int^{+\infty} \frac{dx}{x^{2-p}}$ 收敛（$2-p > 1$），第二项收敛 + +当 $p \ge 1$ 时积分发散。 + +故 $x \to +\infty$ 端收敛当且仅当 + +$$p < 1$$ + +--- + +**（3）综合** + +取两端的交集： + +$$\boxed{0 < p < 1}$$ + +--- + +#### ε-δ 严格证明（比值审敛思路） + +核心思路：对两端分别取 $\ln x$ 的「消去因子」$\varepsilon_1, \varepsilon_2 > 0$，用不等式放缩将 $f$ 夹在可积的幂函数之间，以比值审敛的本质完成严格证明。 + +设 $0 < p < 1$。令 $p$ 满足条件的两个正数： + +$$\varepsilon_1 = \frac{p}{2} > 0, \qquad \varepsilon_2 = \frac{1-p}{2} > 0$$ + +将积分分拆为两段： + +$$I = \int_0^{+\infty} f(x)dx = \underbrace{\int_0^1 f(x)dx}_{I_1} + \underbrace{\int_1^{+\infty} f(x)dx}_{I_2}$$ + +--- + +**（A）$I_1$ 的收敛性（$x \to 0^+$）** + +由 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^{\varepsilon_1} \ln x = 0$，存在 $\delta \in (0, 1]$，使得当 $0 < x < \delta$ 时： + +$$|x^{\varepsilon_1} \ln x| < 1 \quad\Longrightarrow\quad |\ln x| < x^{-\varepsilon_1}$$ + +对 $x \in (0, \delta)$，有 $1+x \ge 1$，故 $\dfrac{1}{1+x} \le 1$，从而： + +$$|f(x)| = \frac{|\ln x| \cdot x^{p-1}}{1+x} +\le |\ln x| \cdot x^{p-1} +< x^{-\varepsilon_1} \cdot x^{p-1} += x^{p-1-\varepsilon_1}$$ + +由于 $\varepsilon_1 = \dfrac{p}{2}$，故 $p-1-\varepsilon_1 = \dfrac{p}{2} - 1$。 + +因为 $p > 0$，有 $\dfrac{p}{2} - 1 > -1$，故 $\displaystyle\int_0^{\delta} x^{p/2-1}\,dx$ 收敛。由比较判别法，$|f(x)|$ 在 $(0, \delta)$ 上可积，即 $I_1$ 绝对收敛。 + +--- + +**（B）$I_2$ 的收敛性（$x \to +\infty$）** + +由 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^{\varepsilon_2}} = 0$，存在 $M > 1$，使得当 $x > M$ 时： + +$$\left|\frac{\ln x}{x^{\varepsilon_2}}\right| < 1 \quad\Longrightarrow\quad |\ln x| < x^{\varepsilon_2}$$ + +对 $x > M \ge 1$，有 $1+x \ge x$，故 $\dfrac{1}{1+x} \le \dfrac{1}{x}$，从而： + +$$|f(x)| = \frac{|\ln x| \cdot x^{p-1}}{1+x} +\le \frac{|\ln x| \cdot x^{p-1}}{x} += |\ln x| \cdot x^{p-2} +< x^{\varepsilon_2} \cdot x^{p-2} += x^{p-2+\varepsilon_2}$$ + +由于 $\varepsilon_2 = \dfrac{1-p}{2}$，故 $p-2+\varepsilon_2 = p-2 + \dfrac{1-p}{2} = \dfrac{p-3}{2}$。 + +为验证 $\displaystyle\int_M^{+\infty} x^{p-2+\varepsilon_2}\,dx$ 收敛，需 $p-2+\varepsilon_2 < -1$： + +$$p - 2 + \frac{1-p}{2} < -1 +\;\Longrightarrow\; \frac{2p-4+1-p}{2} < -1 +\;\Longrightarrow\; \frac{p-3}{2} < -1 +\;\Longrightarrow\; p < 1$$ + +由 $p < 1 \,\checkmark$，故 $\displaystyle\int_M^{+\infty} x^{p-2+\varepsilon_2}\,dx$ 收敛。由比较判别法，$|f(x)|$ 在 $(M, +\infty)$ 上可积，即 $I_2$ 绝对收敛。 + +--- + +**（C）结论** + +$I_1$ 与 $I_2$ 均绝对收敛 $\;\Longrightarrow\;$ 原积分 $I$ 收敛。 + +综上，反常积分收敛当且仅当 $\boxed{0 < p < 1}$。 + +--- + +### 知识点 +- 反常积分的极限形式比较判别法（比值审敛）：选取 $g(x)$ 使 $\displaystyle\lim \frac{f}{g}$ 为非零有限值，转化为 $g$ 的敛散判定 +- 混合型反常积分的分段审敛思路 +- 瑕积分审敛：$x \to 0^+$ 时比较基准 $\displaystyle\int_0 \frac{1}{x^q}dx$（$q < 1$ 收敛） +- 无穷限积分审敛：$x \to +\infty$ 时比较基准 $\displaystyle\int^{+\infty} \frac{1}{x^q}dx$（$q > 1$ 收敛） +- $\ln x$ 因子不改变积分敛散性的临界值，但在 $=$ 临界值时会导致发散 diff --git a/mistakes/math/README.md b/mistakes/math/README.md index 72b001e..cae5738 100644 --- a/mistakes/math/README.md +++ b/mistakes/math/README.md @@ -97,6 +97,7 @@ mistakes/math/ | 02_导数与微分 | [题目01 - 函数单调性](02_导数与微分.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ | | 03_中值定理 | [题目01 - 罗尔定理与辅助函数](03_中值定理.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ | | 03_中值定理 | [题目02 - 拉格朗日中值定理](03_中值定理.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ | +| 04_积分 | [题目01 - 反常积分敛散性判别](04_积分.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ | --- diff --git a/subjects/math/04_积分.md b/subjects/math/04_积分.md index bcb0ed2..3a19226 100644 --- a/subjects/math/04_积分.md +++ b/subjects/math/04_积分.md @@ -22,6 +22,7 @@ $$ - [04_积分_三角函数.md](./04_积分_三角函数.md) — 三角函数积分、Wallis 公式、递推公式 - [04_积分_换元与分部.md](./04_积分_换元与分部.md) — 换元积分法、分部积分法 - [04_积分_有理分式.md](./04_积分_有理分式.md) — 有理分式积分 +- [04_积分_反常积分.md](./04_积分_反常积分.md) — 反常积分的定义与比较判别法 ### 知识点 - 定积分的定义 @@ -36,3 +37,6 @@ $$ - 分部积分法（LIATE 优先序） - 循环分部与移项求解 - 有理分式积分（部分分式分解法） +- 反常积分的定义与分类（无穷限 + 瑕积分） +- 反常积分的比较判别法（一般形式与极限形式） +- 常用反常积分比较基准：$\int \frac{1}{x^p}\,dx$ diff --git a/subjects/math/04_积分_反常积分.md b/subjects/math/04_积分_反常积分.md new file mode 100644 index 0000000..87e1210 --- /dev/null +++ b/subjects/math/04_积分_反常积分.md @@ -0,0 +1,96 @@ +## 笔记记录 + +### 要点 09 - 反常积分的定义与分类 + +#### 两种类型 + +| 类型 | 定义 | 记号 | +|------|------|------| +| **无穷限反常积分** | 积分区间无界 | $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx,\ \int_{-\infty}^b f(x)dx,\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$ | +| **瑕积分** | 被积函数无界 | $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$，其中 $f(x)$ 在 $x \to a^+$（或 $x \to b^-$）时无界 | + +#### 无穷限反常积分的定义 + +设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续： + +$$\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x)dx$$ + +若该极限存在，则称积分**收敛**；否则**发散**。 + +#### 瑕积分的定义 + +设 $a$ 为瑕点（$f(x)$ 在 $x \to a^+$ 时无界）： + +$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)dx$$ + +若该极限存在，则称积分**收敛**；否则**发散**。 + +--- + +### 要点 10 - 反常积分的比较判别法 + +#### 定理形式（无穷限积分） + +设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上非负连续： + +**一般形式：** 若存在 $M > 0$，当 $x$ 充分大时 $0 \le f(x) \le M \cdot g(x)$，则： + +- $\displaystyle\int_a^{+\infty} g(x)dx$ 收敛 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 收敛 +- $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 发散 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{+\infty} g(x)dx$ 发散 + +**极限形式：** 设 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = l$： + +| $l$ 的取值 | 结论 | +|------------|------| +| $0 < l < +\infty$ | $\int f$ 与 $\int g$ 同敛散 | +| $l = 0$ | $\int g$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int f$ 收敛 | +| $l = +\infty$ | $\int g$ 发散 $\Rightarrow$ $\int f$ 发散 | + +#### 定理形式（瑕积分） + +设 $f(x), g(x)$ 在 $(a, b]$ 上非负连续，$a$ 为瑕点： + +**一般形式：** 若存在 $M > 0$，当 $x \to a^+$ 时 $0 \le f(x) \le M \cdot g(x)$，则： + +- $\displaystyle\int_a^{b} g(x)dx$ 收敛 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{b} f(x)dx$ 收敛 +- $\displaystyle\int_a^{b} f(x)dx$ 发散 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{b} g(x)dx$ 发散 + +**极限形式类同无穷限情形**，区别在于极限取 $x \to a^+$。 + +#### 常用比较基准 + +| 积分类型 | 被积函数 | 收敛条件 | +|----------|----------|----------| +| 无穷限 | $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^p}\,dx$ | $p > 1$ 收敛；$p \le 1$ 发散 | +| 瑕积分 | $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{x^p}\,dx$ | $p < 1$ 收敛；$p \ge 1$ 发散 | +| 瑕积分（$a$ 为瑕点） | $\displaystyle\int_a^b \dfrac{1}{(x-a)^p}\,dx$ | $p < 1$ 收敛；$p \ge 1$ 发散 | + +#### 记忆口诀 + +- 无穷限：$p > 1$ 收（分母次数要够大，无穷远处衰减快） +- 瑕积分：$p < 1$ 收（分母次数要够小，瑕点附近不炸穿） + +#### 解题思路 + +1. 判断反常积分类型（无穷限 / 瑕积分 / 混合型） +2. 对被积函数取**等价无穷小**找出 $\dfrac{1}{x^p}$（$x \to +\infty$ 或 $x \to a^+$） +3. 根据 $p$ 值与比较判别法的极限形式判定敛散性 + +#### 典例 + +判别 $\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\arctan x}{x^p}\,dx$ 的敛散性： + +- 当 $x \to 0^+$ 时，$\arctan x \sim x$，$\dfrac{\arctan x}{x^p} \sim \dfrac{1}{x^{p-1}}$（瑕积分，$x=0$ 为瑕点）→ 需 $p-1 < 1$，即 $p < 2$ +- 当 $x \to +\infty$ 时，$\arctan x \to \dfrac{\pi}{2}$，$\dfrac{\arctan x}{x^p} \sim \dfrac{\pi}{2x^p}$（无穷限）→ 需 $p > 1$ + +综合：$1 < p < 2$ 时收敛。 + +--- + +### 知识点 +- 反常积分的定义（无穷限 + 瑕积分） +- 无穷限反常积分的比较判别法（一般形式与极限形式） +- 瑕积分的比较判别法（一般形式与极限形式） +- 常用比较基准：$\displaystyle\int \frac{1}{x^p}\,dx$ +- 等价无穷小在反常积分审敛中的应用 +- 混合型反常积分的分段处理 diff --git a/subjects/math/09_级数.md b/subjects/math/09_级数.md index 9399f61..f17ca8e 100644 --- a/subjects/math/09_级数.md +++ b/subjects/math/09_级数.md @@ -32,9 +32,179 @@ $$ $U$ 是完备度量空间（闭区间），$T: U \to U$ 是压缩映射。由 **Banach 不动点定理**，$T$ 在 $U$ 内有唯一不动点 $x^*$，且对任意 $x_0 \in U$，迭代 $x_{n+1}=T(x_n)$ 收敛到 $x^*$。 +--- + +### 要点 02 - 正项级数收敛的充要条件 + +#### 定义 + +若对任意 $n$，$u_n \ge 0$，则称 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为**正项级数**。 + +#### 充要条件 + +正项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 $\iff$ 部分和数列 $\{S_n\}$ 有上界。 + +#### 常见比较基准 + +| 级数 | 形式 | 收敛性 | +|------|------|--------| +| $p$ 级数 | $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^p}$ | $p > 1$ 收敛；$p \le 1$ 发散 | +| 几何级数 | $\displaystyle\sum aq^{n-1}$ | $\|q\| < 1$ 收敛；$\|q\| \ge 1$ 发散 | +| 调和级数 | $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n}$ | 发散（$p=1$ 特例） | + +--- + +### 要点 03 - 比较判别法 + +#### 一般形式 + +设 $\displaystyle\sum u_n$ 和 $\displaystyle\sum v_n$ 均为正项级数，且存在 $N$，当 $n > N$ 时 $u_n \le v_n$，则： + +- 若 $\displaystyle\sum v_n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum u_n$ 收敛 +- 若 $\displaystyle\sum u_n$ 发散，则 $\displaystyle\sum v_n$ 发散 + +#### 极限形式 + +设 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{u_n}{v_n} = l$（$0 \le l \le +\infty$）： + +| $l$ 的取值 | 结论 | +|------------|------| +| $0 < l < +\infty$ | $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 同敛散 | +| $l = 0$ | 若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛 | +| $l = +\infty$ | 若 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散 | + +#### 常用技巧 + +$$u_n \sim \frac{1}{n^p} \quad (n \to \infty)$$ + +通过等价无穷小找出 $p$，根据 $p > 1$ 还是 $p \le 1$ 判断敛散性。 + +--- + +### 要点 04 - 比值判别法（达朗贝尔判别法） + +设 $\displaystyle\sum u_n$ 为正项级数，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$： + +| $\rho$ 的取值 | 结论 | +|---------------|------| +| $\rho < 1$ | 级数收敛 | +| $\rho > 1$ | 级数发散 | +| $\rho = 1$ | 判别法失效，需用其他方法 | + +#### 适用场景 + +- $u_n$ 中含有 $n!$、$a^n$、$n^n$ 等因式时优先考虑 +- 阶乘型、指数型级数最为适用 + +--- + +### 要点 05 - 根值判别法（柯西判别法） + +设 $\displaystyle\sum u_n$ 为正项级数，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$： + +| $\rho$ 的取值 | 结论 | +|---------------|------| +| $\rho < 1$ | 级数收敛 | +| $\rho > 1$ | 级数发散 | +| $\rho = 1$ | 判别法失效，需用其他方法 | + +#### 适用场景 + +- $u_n$ 中含有 $n$ 次方（如 $a^{n^2}$、$(f(n))^n$）时优先考虑 + +#### 重要极限 + +$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1, \qquad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \;(a>0)$$ + +--- + +### 要点 06 - 积分判别法（柯西积分判别法） + +设 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上非负单调递减，$u_n = f(n)$，则： + +$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n \text{ 与 } \int_1^{+\infty} f(x)\,dx \text{ 同敛散}$$ + +#### 典例：$p$ 级数的证明 + +$f(x) = \dfrac{1}{x^p}$ 单调递减： + +$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛}, & p > 1 \\ \text{发散}, & p \le 1 \end{cases}$$ + +#### 适用场景 + +- 通项 $u_n$ 可以看作某单调递减函数 $f(x)$ 在 $x=n$ 处的值 +- 常用于 $u_n = \dfrac{1}{n \ln^p n}$ 等不易用比值/根值法判断的情形 + +--- + +### 要点 07 - 交错级数与莱布尼兹判别法 + +#### 定义 + +形如 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$（$u_n > 0$）的级数称为**交错级数**。 + +#### 莱布尼兹判别法 + +若交错级数 $\displaystyle\sum (-1)^{n-1} u_n$ 满足： + +1. $u_n \ge u_{n+1} > 0$（$\{u_n\}$ 单调递减） +2. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ + +则级数收敛，且余项 $\|R_n\| \le u_{n+1}$。 + +#### 余项估计 + +$$\|S - S_n\| = \|R_n\| \le u_{n+1}$$ + +即用部分和近似级数和时，误差不超过被截断的首项绝对值。 + +--- + +### 要点 08 - 绝对收敛与条件收敛 + +#### 定义 + +对任意项级数 $\displaystyle\sum u_n$（$u_n$ 可正可负）： + +| 类型 | 定义 | 关系 | +|------|------|------| +| 绝对收敛 | $\displaystyle\sum \|u_n\|$ 收敛 | 绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛 | +| 条件收敛 | $\displaystyle\sum u_n$ 收敛，但 $\sum \|u_n\|$ 发散 | 条件收敛级数重排可改变和值 | + +#### 判别流程 + +```mermaid +flowchart TD + A[任意项级数 Σu_n] --> B{检查绝对收敛} + B -->|Σ|u_n| 收敛| C[原级数绝对收敛 ✓] + B -->|Σ|u_n| 发散| D{是否交错级数?} + D -->|是| E{莱布尼兹判别法} + E -->|满足| F[条件收敛] + E -->|不满足| G{用其他方法} + D -->|否| G + G -->|收敛| F + G -->|发散| H[原级数发散 ✗] +``` + +#### 绝对收敛的性质 + +- 绝对收敛级数任意重排后和不变 +- 绝对收敛级数的乘积（柯西乘积）仍绝对收敛 + +--- + ### 知识点 - 不动点的定义 - 压缩映射原理 - Banach 不动点定理 - 微分中值定理 - 迭代收敛性 +- 正项级数的定义与充要条件 +- $p$ 级数与几何级数 +- 比较判别法（一般形式与极限形式） +- 比值判别法（达朗贝尔判别法） +- 根值判别法（柯西判别法） +- 积分判别法（柯西积分判别法） +- 交错级数与莱布尼兹判别法 +- 绝对收敛与条件收敛 +- 级数余项估计 diff --git a/subjects/math/README.md b/subjects/math/README.md index eeeb94a..4714057 100644 --- a/subjects/math/README.md +++ b/subjects/math/README.md @@ -27,6 +27,8 @@ - [要点 06 - 换元积分法](./04_积分_换元与分部.md#要点-06---换元积分法) - [要点 07 - 分部积分法](./04_积分_换元与分部.md#要点-07---分部积分法) - [要点 08 - 有理分式积分](./04_积分_有理分式.md#要点-08---有理分式积分) +- [要点 09 - 反常积分的定义与分类](./04_积分_反常积分.md#要点-09---反常积分的定义与分类) +- [要点 10 - 反常积分的比较判别法](./04_积分_反常积分.md#要点-10---反常积分的比较判别法) ### [05_微分方程.md](./05_微分方程.md) - [要点 01 - 一阶可分离变量方程](./05_微分方程.md#要点-01---一阶可分离变量方程) @@ -40,6 +42,13 @@ ### [09_级数.md](./09_级数.md) - [要点 01 - 数列不动点问题](./09_级数.md#要点-01---数列不动点问题) +- [要点 02 - 正项级数收敛的充要条件](./09_级数.md#要点-02---正项级数收敛的充要条件) +- [要点 03 - 比较判别法](./09_级数.md#要点-03---比较判别法) +- [要点 04 - 比值判别法（达朗贝尔判别法）](./09_级数.md#要点-04---比值判别法达朗贝尔判别法) +- [要点 05 - 根值判别法（柯西判别法）](./09_级数.md#要点-05---根值判别法柯西判别法) +- [要点 06 - 积分判别法（柯西积分判别法）](./09_级数.md#要点-06---积分判别法柯西积分判别法) +- [要点 07 - 交错级数与莱布尼兹判别法](./09_级数.md#要点-07---交错级数与莱布尼兹判别法) +- [要点 08 - 绝对收敛与条件收敛](./09_级数.md#要点-08---绝对收敛与条件收敛) ### [e01-常用公式速查.md](./e01-常用公式速查.md) - 乘法公式 / 指数运算 / 对数运算 @@ -62,10 +71,10 @@ | 01 极限 | 等价无穷小、泰勒展开 | 1 | | 02 导数与微分 | 莱布尼兹公式、隐函数求导、曲率 | 3 | | 03 中值定理 | 罗尔/拉格朗日/柯西中值定理、泰勒公式、辅助函数构造 | 6 | -| 04 积分 | 分式/根号/三角/换元/分部/有理分式 | 8（分 4 子章节） | +| 04 积分 | 分式/根号/三角/换元/分部/有理分式/反常积分 | 10（分 5 子章节） | | 05 微分方程 | 一阶/高阶方程、常系数、欧拉方程 | 8 | -| 09 级数 | 数列不动点 | 1 | +| 09 级数 | 数列不动点、正项级数审敛 | 8 | | e01 常用公式速查 | 乘/指/对/数列/不等式/韦达定理 | — | | e02 三角函数 | 奇变偶不变、和差化积、sec/csc/cot、积分递推 | — | -**总计：27 个要点（04 积分拆为 4 子章节）+ 2 篇杂项** +**总计：36 个要点（04 积分拆为 5 子章节）+ 2 篇杂项**