feat: 新增变限积分章节（要点11-15，含Leibniz公式/绝对值处理/奇偶性）

subjects/math/04_积分.md

@@ -23,6 +23,7 @@ $$
 - [04_积分_换元与分部.md](./04_积分_换元与分部.md) — 换元积分法、分部积分法
 - [04_积分_有理分式.md](./04_积分_有理分式.md) — 有理分式积分
 - [04_积分_反常积分.md](./04_积分_反常积分.md) — 反常积分的定义与比较判别法
+- [04_积分_变限积分.md](./04_积分_变限积分.md) — 变限积分求导、含参变量积分、奇偶性
 
 ### 知识点
 - 定积分的定义
@@ -40,3 +41,8 @@ $$
 - 反常积分的定义与分类（无穷限 + 瑕积分）
 - 反常积分的比较判别法（一般形式与极限形式）
 - 常用反常积分比较基准：$\int \frac{1}{x^p}\,dx$
+- 变限积分求导公式（基本形式 + Leibniz 公式）
+- 含参变量变限积分：先换元分离 $x$，再求导
+- 变限积分中的绝对值处理（$\sqrt{x^2}=|x|$）
+- 变限积分与无穷小阶数判定（积分中值定理）
+- 变限积分的奇偶性（$f$ 奇 $\Rightarrow$ $F$ 偶，$f$ 偶 $\Rightarrow$ $F$ 奇）

subjects/math/04_积分_变限积分.md

@@ -0,0 +1,178 @@
+## 笔记记录
+
+### 要点 11 - 变限积分求导公式（基本形式）
+
+设 $f(t)$ 连续，$a(x), b(x)$ 可导，则：
+
+$$
+\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f\big(b(x)\big)\,b'(x) - f\big(a(x)\big)\,a'(x)
+$$
+
+**特例**：
+
+| 情况 | 公式 |
+|------|------|
+| 下限为常数 $a$ | $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^{b(x)} f(t)\,dt = f(b(x))\,b'(x)$ |
+| 上限为常数 $b$ | $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^b f(t)\,dt = -f(a(x))\,a'(x)$ |
+| 上下限均为常数 | $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^b f(t)\,dt = 0$ |
+
+**推导思路**：设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的原函数，则：
+
+$$
+\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = F(b(x)) - F(a(x))
+$$
+
+两边求导即得公式。
+
+---
+
+### 要点 12 - 含参变量的变限积分求导（Leibniz 公式）
+
+当被积函数也含有 $x$ 时，需使用 **Leibniz 公式**：
+
+$$
+\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} F(x,t)\,dt
+= F\big(x,b(x)\big)\,b'(x) - F\big(x,a(x)\big)\,a'(x)
++ \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial F(x,t)}{\partial x}\,dt
+$$
+
+**关键策略：先换元，再求导**
+
+若 $F(x,t) = f(x + g(t))$ 这类形式，直接求导容易漏掉 $\frac{\partial F}{\partial x}$ 项。推荐做法：
+
+1. 先换元将 $x$ 从被积函数中分离
+2. 使被积函数仅含积分变量，不再含 $x$
+3. 再用基本变限积分求导公式
+
+**典例**：设 $g(x) = \displaystyle\int_0^{2x} f\!\left(x + \dfrac{t}{2}\right) dt$，求 $g'(x)$。
+
+**解**：令 $u = x + \dfrac{t}{2}$，则 $dt = 2\,du$，
+
+$$
+t = 0 \Rightarrow u = x,\qquad t = 2x \Rightarrow u = 2x
+$$
+
+$$
+g(x) = \int_0^{2x} f\!\left(x + \frac{t}{2}\right) dt
+      = \int_x^{2x} f(u) \cdot 2\,du
+      = 2\int_x^{2x} f(u)\,du
+$$
+
+此时被积函数不含 $x$，直接用基本公式：
+
+$$
+g'(x) = 2\bigl[ f(2x)\cdot 2 - f(x)\cdot 1 \bigr]
+      = 4f(2x) - 2f(x)
+$$
+
+**易错点**：若直接用 Leibniz 公式，容易漏掉第三项 $\int \frac{\partial F}{\partial x} dt$。
+
+---
+
+### 要点 13 - 变限积分中的绝对值处理
+
+当变限积分上限/下限或被积函数中出现 $\sqrt{x^2}$ 等含绝对值表达式时，需分段讨论。
+
+**核心等式**：$\sqrt{x^2} = |x|$
+
+**典例**：设 $y(x) = \displaystyle\int_2^{x^2} e^{-\sqrt{t}}\,dt$，求 $y''(-1)$。
+
+**解**：
+
+由基本公式：
+
+$$
+y'(x) = e^{-\sqrt{x^2}} \cdot (x^2)' = 2x\,e^{-|x|}
+$$
+
+在 $x = -1$ 的邻域内 $x < 0$，故 $|x| = -x$，$e^{-|x|} = e^x$：
+
+$$
+y'(x) = 2x\,e^x \qquad (x < 0)
+$$
+
+再求导：
+
+$$
+y''(x) = 2e^x + 2x e^x = 2e^x(1 + x)
+$$
+
+代入 $x = -1$：
+
+$$
+y''(-1) = 2e^{-1}(1 - 1) = 0
+$$
+
+**易错点**：直接写 $e^{-\sqrt{x^2}} = e^{-x}$ 而忽略 $|x|$，导致 $y''(-1) = 4e$（错误）。
+
+---
+
+### 要点 14 - 变限积分与无穷小阶数的判定
+
+变限积分常与极限问题结合，判定无穷小阶数时常用技巧：
+
+**1. 直接使用变限积分求导 + 洛必达法则**
+
+当 $x \to 0$ 时 $\int_0^x f(t)\,dt \sim f(0)\,x$（若 $f(0) \neq 0$），利用此等价关系快速判定阶数。
+
+**2. 积分中值定理**
+
+若 $\xi$ 介于积分上下限之间：
+
+$$
+\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f(\xi)\big(b(x) - a(x)\big)
+$$
+
+当 $a(x) \to 0, b(x) \to 0$ 时 $\xi \to 0$，$f(\xi) \to f(0)$（$f$ 连续）。
+
+**典例**：$g(x) = 2\displaystyle\int_x^{2x} f(u)\,du$，判定 $x \to 0^+$ 时 $g(x)$ 与 $\sqrt{x}$ 的阶数关系。
+
+$$
+g(x) = 2f(\xi)(2x - x) = 2x f(\xi), \quad \xi \in [x, 2x]
+$$
+
+$$
+\lim_{x\to 0^+} \frac{g(x)}{\sqrt{x}} = \lim_{x\to 0^+} 2\sqrt{x}\,f(\xi) = 0
+$$
+
+故 $g(x)$ 是 $\sqrt{x}$ 的高阶无穷小。
+
+---
+
+### 要点 15 - 变限积分的奇偶性
+
+设 $f(x)$ 为连续函数，利用变量代换判断含参积分的奇偶性。
+
+**基本结论**：
+
+| $f(x)$ 的奇偶性 | $F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ 的奇偶性 |
+|:---:|:---:|
+| $f$ 为奇函数 | $F$ 为偶函数 |
+| $f$ 为偶函数 | $F$ 为奇函数（当 $F(0)=0$） |
+
+**含绝对值的含参积分**：作代换 $t \to -t$ 检验。
+
+**典例**：$g(x) = \displaystyle\int_{-a}^a |x - t|\,f(t)\,dt$，$f$ 为偶函数，判定 $g(x)$ 的奇偶性。
+
+$$
+\begin{aligned}
+g(-x) &= \int_{-a}^a |-x - t|\,f(t)\,dt \\
+      &= \int_{a}^{-a} |-x + u|\,f(-u)\,(-du) \quad (u = -t) \\
+      &= \int_{-a}^a |u - x|\,f(u)\,du \quad (f(-u)=f(u)) \\
+      &= g(x)
+\end{aligned}
+$$
+
+故 $g(x)$ 为偶函数。
+
+---
+
+### 知识点
+- 变限积分求导基本公式：$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)$
+- Leibniz 公式：被积函数含 $x$ 时须加 $\int \frac{\partial F}{\partial x} dt$ 项
+- 含参变量变限积分的求导策略：先换元分离 $x$，再求导
+- $\sqrt{x^2} = |x|$，分段处理绝对值
+- 变限积分与无穷小阶数判定（洛必达 / 积分中值定理）
+- $\displaystyle\int_0^x f(t)dt \sim f(0)\,x$（$x \to 0$，$f$ 连续）
+- 变限积分奇偶性：$f$ 奇 $\Rightarrow$ $F$ 偶；$f$ 偶 $\Rightarrow$ $F$ 奇
+- 变量代换法判断含绝对值含参积分的奇偶性

subjects/math/README.md

@@ -29,6 +29,11 @@
 - [要点 08 - 有理分式积分](./04_积分_有理分式.md#要点-08---有理分式积分)
 - [要点 09 - 反常积分的定义与分类](./04_积分_反常积分.md#要点-09---反常积分的定义与分类)
 - [要点 10 - 反常积分的比较判别法](./04_积分_反常积分.md#要点-10---反常积分的比较判别法)
+- [要点 11 - 变限积分求导公式（基本形式）](./04_积分_变限积分.md#要点-11---变限积分求导公式基本形式)
+- [要点 12 - 含参变量的变限积分求导（Leibniz 公式）](./04_积分_变限积分.md#要点-12---含参变量的变限积分求导leibniz-公式)
+- [要点 13 - 变限积分中的绝对值处理](./04_积分_变限积分.md#要点-13---变限积分中的绝对值处理)
+- [要点 14 - 变限积分与无穷小阶数的判定](./04_积分_变限积分.md#要点-14---变限积分与无穷小阶数的判定)
+- [要点 15 - 变限积分的奇偶性](./04_积分_变限积分.md#要点-15---变限积分的奇偶性)
 
 ### [05_微分方程.md](./05_微分方程.md)
 - [要点 01 - 一阶可分离变量方程](./05_微分方程.md#要点-01---一阶可分离变量方程)
@@ -71,10 +76,10 @@
 | 01 极限 | 等价无穷小、泰勒展开 | 1 |
 | 02 导数与微分 | 莱布尼兹公式、隐函数求导、曲率 | 3 |
 | 03 中值定理 | 罗尔/拉格朗日/柯西中值定理、泰勒公式、辅助函数构造 | 6 |
-| 04 积分 | 分式/根号/三角/换元/分部/有理分式/反常积分 | 10（分 5 子章节） |
+| 04 积分 | 分式/根号/三角/换元/分部/有理分式/反常积分/变限积分 | 15（分 6 子章节） |
 | 05 微分方程 | 一阶/高阶方程、常系数、欧拉方程 | 8 |
 | 09 级数 | 数列不动点、正项级数审敛 | 8 |
 | e01 常用公式速查 | 乘/指/对/数列/不等式/韦达定理 | — |
 | e02 三角函数 | 奇变偶不变、和差化积、sec/csc/cot、积分递推 | — |
 
-**总计：36 个要点（04 积分拆为 5 子章节）+ 2 篇杂项**
+**总计：41 个要点（04 积分拆为 6 子章节）+ 2 篇杂项**