From 9a990bf9429087d594e778c890ec91b1bb6f6290 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ViperEkura <3081035982@qq.com> Date: Sun, 24 May 2026 15:33:10 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?feat:=20=E6=96=B0=E5=A2=9E=E5=8F=98=E9=99=90?= =?UTF-8?q?=E7=A7=AF=E5=88=86=E7=AB=A0=E8=8A=82=EF=BC=88=E8=A6=81=E7=82=B9?= =?UTF-8?q?11-15=EF=BC=8C=E5=90=ABLeibniz=E5=85=AC=E5=BC=8F/=E7=BB=9D?= =?UTF-8?q?=E5=AF=B9=E5=80=BC=E5=A4=84=E7=90=86/=E5=A5=87=E5=81=B6?= =?UTF-8?q?=E6=80=A7=EF=BC=89?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- subjects/math/04_积分.md | 6 + subjects/math/04_积分_变限积分.md | 178 ++++++++++++++++++++++++++++++ subjects/math/README.md | 9 +- 3 files changed, 191 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 subjects/math/04_积分_变限积分.md diff --git a/subjects/math/04_积分.md b/subjects/math/04_积分.md index 3a19226..77d72bc 100644 --- a/subjects/math/04_积分.md +++ b/subjects/math/04_积分.md @@ -23,6 +23,7 @@ $$ - [04_积分_换元与分部.md](./04_积分_换元与分部.md) — 换元积分法、分部积分法 - [04_积分_有理分式.md](./04_积分_有理分式.md) — 有理分式积分 - [04_积分_反常积分.md](./04_积分_反常积分.md) — 反常积分的定义与比较判别法 +- [04_积分_变限积分.md](./04_积分_变限积分.md) — 变限积分求导、含参变量积分、奇偶性 ### 知识点 - 定积分的定义 @@ -40,3 +41,8 @@ $$ - 反常积分的定义与分类（无穷限 + 瑕积分） - 反常积分的比较判别法（一般形式与极限形式） - 常用反常积分比较基准：$\int \frac{1}{x^p}\,dx$ +- 变限积分求导公式（基本形式 + Leibniz 公式） +- 含参变量变限积分：先换元分离 $x$，再求导 +- 变限积分中的绝对值处理（$\sqrt{x^2}=|x|$） +- 变限积分与无穷小阶数判定（积分中值定理） +- 变限积分的奇偶性（$f$ 奇 $\Rightarrow$ $F$ 偶，$f$ 偶 $\Rightarrow$ $F$ 奇） diff --git a/subjects/math/04_积分_变限积分.md b/subjects/math/04_积分_变限积分.md new file mode 100644 index 0000000..0b0bbcc --- /dev/null +++ b/subjects/math/04_积分_变限积分.md @@ -0,0 +1,178 @@ +## 笔记记录 + +### 要点 11 - 变限积分求导公式（基本形式） + +设 $f(t)$ 连续，$a(x), b(x)$ 可导，则： + +$$ +\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f\big(b(x)\big)\,b'(x) - f\big(a(x)\big)\,a'(x) +$$ + +**特例**： + +| 情况 | 公式 | +|------|------| +| 下限为常数 $a$ | $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^{b(x)} f(t)\,dt = f(b(x))\,b'(x)$ | +| 上限为常数 $b$ | $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^b f(t)\,dt = -f(a(x))\,a'(x)$ | +| 上下限均为常数 | $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^b f(t)\,dt = 0$ | + +**推导思路**：设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的原函数，则： + +$$ +\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = F(b(x)) - F(a(x)) +$$ + +两边求导即得公式。 + +--- + +### 要点 12 - 含参变量的变限积分求导（Leibniz 公式） + +当被积函数也含有 $x$ 时，需使用 **Leibniz 公式**： + +$$ +\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} F(x,t)\,dt += F\big(x,b(x)\big)\,b'(x) - F\big(x,a(x)\big)\,a'(x) ++ \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial F(x,t)}{\partial x}\,dt +$$ + +**关键策略：先换元，再求导** + +若 $F(x,t) = f(x + g(t))$ 这类形式，直接求导容易漏掉 $\frac{\partial F}{\partial x}$ 项。推荐做法： + +1. 先换元将 $x$ 从被积函数中分离 +2. 使被积函数仅含积分变量，不再含 $x$ +3. 再用基本变限积分求导公式 + +**典例**：设 $g(x) = \displaystyle\int_0^{2x} f\!\left(x + \dfrac{t}{2}\right) dt$，求 $g'(x)$。 + +**解**：令 $u = x + \dfrac{t}{2}$，则 $dt = 2\,du$， + +$$ +t = 0 \Rightarrow u = x,\qquad t = 2x \Rightarrow u = 2x +$$ + +$$ +g(x) = \int_0^{2x} f\!\left(x + \frac{t}{2}\right) dt + = \int_x^{2x} f(u) \cdot 2\,du + = 2\int_x^{2x} f(u)\,du +$$ + +此时被积函数不含 $x$，直接用基本公式： + +$$ +g'(x) = 2\bigl[ f(2x)\cdot 2 - f(x)\cdot 1 \bigr] + = 4f(2x) - 2f(x) +$$ + +**易错点**：若直接用 Leibniz 公式，容易漏掉第三项 $\int \frac{\partial F}{\partial x} dt$。 + +--- + +### 要点 13 - 变限积分中的绝对值处理 + +当变限积分上限/下限或被积函数中出现 $\sqrt{x^2}$ 等含绝对值表达式时，需分段讨论。 + +**核心等式**：$\sqrt{x^2} = |x|$ + +**典例**：设 $y(x) = \displaystyle\int_2^{x^2} e^{-\sqrt{t}}\,dt$，求 $y''(-1)$。 + +**解**： + +由基本公式： + +$$ +y'(x) = e^{-\sqrt{x^2}} \cdot (x^2)' = 2x\,e^{-|x|} +$$ + +在 $x = -1$ 的邻域内 $x < 0$，故 $|x| = -x$，$e^{-|x|} = e^x$： + +$$ +y'(x) = 2x\,e^x \qquad (x < 0) +$$ + +再求导： + +$$ +y''(x) = 2e^x + 2x e^x = 2e^x(1 + x) +$$ + +代入 $x = -1$： + +$$ +y''(-1) = 2e^{-1}(1 - 1) = 0 +$$ + +**易错点**：直接写 $e^{-\sqrt{x^2}} = e^{-x}$ 而忽略 $|x|$，导致 $y''(-1) = 4e$（错误）。 + +--- + +### 要点 14 - 变限积分与无穷小阶数的判定 + +变限积分常与极限问题结合，判定无穷小阶数时常用技巧： + +**1. 直接使用变限积分求导 + 洛必达法则** + +当 $x \to 0$ 时 $\int_0^x f(t)\,dt \sim f(0)\,x$（若 $f(0) \neq 0$），利用此等价关系快速判定阶数。 + +**2. 积分中值定理** + +若 $\xi$ 介于积分上下限之间： + +$$ +\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f(\xi)\big(b(x) - a(x)\big) +$$ + +当 $a(x) \to 0, b(x) \to 0$ 时 $\xi \to 0$，$f(\xi) \to f(0)$（$f$ 连续）。 + +**典例**：$g(x) = 2\displaystyle\int_x^{2x} f(u)\,du$，判定 $x \to 0^+$ 时 $g(x)$ 与 $\sqrt{x}$ 的阶数关系。 + +$$ +g(x) = 2f(\xi)(2x - x) = 2x f(\xi), \quad \xi \in [x, 2x] +$$ + +$$ +\lim_{x\to 0^+} \frac{g(x)}{\sqrt{x}} = \lim_{x\to 0^+} 2\sqrt{x}\,f(\xi) = 0 +$$ + +故 $g(x)$ 是 $\sqrt{x}$ 的高阶无穷小。 + +--- + +### 要点 15 - 变限积分的奇偶性 + +设 $f(x)$ 为连续函数，利用变量代换判断含参积分的奇偶性。 + +**基本结论**： + +| $f(x)$ 的奇偶性 | $F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ 的奇偶性 | +|:---:|:---:| +| $f$ 为奇函数 | $F$ 为偶函数 | +| $f$ 为偶函数 | $F$ 为奇函数（当 $F(0)=0$） | + +**含绝对值的含参积分**：作代换 $t \to -t$ 检验。 + +**典例**：$g(x) = \displaystyle\int_{-a}^a |x - t|\,f(t)\,dt$，$f$ 为偶函数，判定 $g(x)$ 的奇偶性。 + +$$ +\begin{aligned} +g(-x) &= \int_{-a}^a |-x - t|\,f(t)\,dt \\ + &= \int_{a}^{-a} |-x + u|\,f(-u)\,(-du) \quad (u = -t) \\ + &= \int_{-a}^a |u - x|\,f(u)\,du \quad (f(-u)=f(u)) \\ + &= g(x) +\end{aligned} +$$ + +故 $g(x)$ 为偶函数。 + +--- + +### 知识点 +- 变限积分求导基本公式：$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)$ +- Leibniz 公式：被积函数含 $x$ 时须加 $\int \frac{\partial F}{\partial x} dt$ 项 +- 含参变量变限积分的求导策略：先换元分离 $x$，再求导 +- $\sqrt{x^2} = |x|$，分段处理绝对值 +- 变限积分与无穷小阶数判定（洛必达 / 积分中值定理） +- $\displaystyle\int_0^x f(t)dt \sim f(0)\,x$（$x \to 0$，$f$ 连续） +- 变限积分奇偶性：$f$ 奇 $\Rightarrow$ $F$ 偶；$f$ 偶 $\Rightarrow$ $F$ 奇 +- 变量代换法判断含绝对值含参积分的奇偶性 diff --git a/subjects/math/README.md b/subjects/math/README.md index 4714057..8d77104 100644 --- a/subjects/math/README.md +++ b/subjects/math/README.md @@ -29,6 +29,11 @@ - [要点 08 - 有理分式积分](./04_积分_有理分式.md#要点-08---有理分式积分) - [要点 09 - 反常积分的定义与分类](./04_积分_反常积分.md#要点-09---反常积分的定义与分类) - [要点 10 - 反常积分的比较判别法](./04_积分_反常积分.md#要点-10---反常积分的比较判别法) +- [要点 11 - 变限积分求导公式（基本形式）](./04_积分_变限积分.md#要点-11---变限积分求导公式基本形式) +- [要点 12 - 含参变量的变限积分求导（Leibniz 公式）](./04_积分_变限积分.md#要点-12---含参变量的变限积分求导leibniz-公式) +- [要点 13 - 变限积分中的绝对值处理](./04_积分_变限积分.md#要点-13---变限积分中的绝对值处理) +- [要点 14 - 变限积分与无穷小阶数的判定](./04_积分_变限积分.md#要点-14---变限积分与无穷小阶数的判定) +- [要点 15 - 变限积分的奇偶性](./04_积分_变限积分.md#要点-15---变限积分的奇偶性) ### [05_微分方程.md](./05_微分方程.md) - [要点 01 - 一阶可分离变量方程](./05_微分方程.md#要点-01---一阶可分离变量方程) @@ -71,10 +76,10 @@ | 01 极限 | 等价无穷小、泰勒展开 | 1 | | 02 导数与微分 | 莱布尼兹公式、隐函数求导、曲率 | 3 | | 03 中值定理 | 罗尔/拉格朗日/柯西中值定理、泰勒公式、辅助函数构造 | 6 | -| 04 积分 | 分式/根号/三角/换元/分部/有理分式/反常积分 | 10（分 5 子章节） | +| 04 积分 | 分式/根号/三角/换元/分部/有理分式/反常积分/变限积分 | 15（分 6 子章节） | | 05 微分方程 | 一阶/高阶方程、常系数、欧拉方程 | 8 | | 09 级数 | 数列不动点、正项级数审敛 | 8 | | e01 常用公式速查 | 乘/指/对/数列/不等式/韦达定理 | — | | e02 三角函数 | 奇变偶不变、和差化积、sec/csc/cot、积分递推 | — | -**总计：36 个要点（04 积分拆为 5 子章节）+ 2 篇杂项** +**总计：41 个要点（04 积分拆为 6 子章节）+ 2 篇杂项**