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三角函数记忆口诀

奇变偶不变，符号看象限

用于三角函数诱导公式的记忆：

• 奇变偶不变：若 k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha 中的 k 为奇数，则函数名改变（sin ↔ cos, tan ↔ cot）；若 k 为偶数，则函数名不变。
• 符号看象限：将 \alpha 视为锐角，判断原函数在对应象限的符号。

示例

公式	k	变/不变	象限	符号	结果
\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)	1(奇)	sin→cos	第二象限 sin>0	+	\cos\alpha
\cos(\pi + \alpha)	2(偶)	cos→cos	第三象限 cos<0	-	-\cos\alpha

常用特殊角三角函数值

角度	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cos	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tan	0	√3/3	1	√3	∞

和差化积 & 积化和差

和差化积

• \sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
• \sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}
• \cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}
• \cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}

积化和差

• \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]
• \cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]
• \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]
• \sin A \sin B = -\frac{1}{2}[\cos(A+B) - \cos(A-B)]

六种三角函数关系

基本定义

函数	定义	值域
\sin x	对边/斜边	[-1, 1]
\cos x	邻边/斜边	[-1, 1]
\tan x	\sin x / \cos x	\mathbb{R}
\cot x	\cos x / \sin x = 1/\tan x	\mathbb{R}
\sec x	1/\cos x	(-\infty, -1] \cup [1, \infty)
\csc x	1/\sin x	(-\infty, -1] \cup [1, \infty)

倒数关系

• \sin x \cdot \csc x = 1
• \cos x \cdot \sec x = 1
• \tan x \cdot \cot x = 1

平方关系

• \sin^2 x + \cos^2 x = 1
• 1 + \tan^2 x = \sec^2 x
• 1 + \cot^2 x = \csc^2 x

商数关系

• \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
• \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}

三角函数积分递推式

记 $I_n = \displaystyle\int \sin^n x , dx$：

I_n = -\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x + \frac{n-1}{n}I_{n-2}

记 $I_n = \displaystyle\int \cos^n x , dx$：

I_n = \frac{1}{n}\cos^{n-1}x\sin x + \frac{n-1}{n}I_{n-2}

记 $I_n = \displaystyle\int \tan^n x , dx$（$n \neq 1$）：

I_n = \frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x - I_{n-2}

记 $I_n = \displaystyle\int \cot^n x , dx$（$n \neq 1$）：

I_n = -\frac{1}{n-1}\cot^{n-1}x - I_{n-2}

记 $I_n = \displaystyle\int \sec^n x , dx$（$n \neq 1$）：

I_n = \frac{1}{n-1}\sec^{n-2}x\tan x + \frac{n-2}{n-1}I_{n-2}

记 $I_n = \displaystyle\int \csc^n x , dx$（$n \neq 1$）：

I_n = -\frac{1}{n-1}\csc^{n-2}x\cot x + \frac{n-2}{n-1}I_{n-2}