# 三角函数记忆口诀

## 奇变偶不变，符号看象限

用于三角函数诱导公式的记忆：

- **奇变偶不变**：若 $k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$ 中的 $k$ 为奇数，则函数名改变（sin ↔ cos, tan ↔ cot）；若 $k$ 为偶数，则函数名不变。
- **符号看象限**：将 $\alpha$ 视为锐角，判断原函数在对应象限的符号。

### 示例

| 公式 | k | 变/不变 | 象限 | 符号 | 结果 |
|------|---|---------|------|------|------|
| $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ | 1(奇) | sin→cos | 第二象限 sin>0 | + | $\cos\alpha$ |
| $\cos(\pi + \alpha)$ | 2(偶) | cos→cos | 第三象限 cos<0 | - | $-\cos\alpha$ |

## 常用特殊角三角函数值

| 角度 | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|------|----|-----|-----|-----|-----|
| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | ∞ |

## 和差化积 & 积化和差

### 和差化积
- $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
- $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$
- $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
- $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

### 积化和差
- $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$
- $\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$
- $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$
- $\sin A \sin B = -\frac{1}{2}[\cos(A+B) - \cos(A-B)]$

## 六种三角函数关系

### 基本定义
| 函数 | 定义 | 值域 |
|------|------|------|
| $\sin x$ | 对边/斜边 | $[-1, 1]$ |
| $\cos x$ | 邻边/斜边 | $[-1, 1]$ |
| $\tan x$ | $\sin x / \cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\cot x$ | $\cos x / \sin x = 1/\tan x$ | $\mathbb{R}$ |
| $\sec x$ | $1/\cos x$ | $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ |
| $\csc x$ | $1/\sin x$ | $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ |

### 倒数关系
- $\sin x \cdot \csc x = 1$
- $\cos x \cdot \sec x = 1$
- $\tan x \cdot \cot x = 1$

### 平方关系
- $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
- $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$
- $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$

### 商数关系
- $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
- $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

## 三角函数积分递推式

记 $I_n = \displaystyle\int \sin^n x \, dx$：
$$I_n = -\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x + \frac{n-1}{n}I_{n-2}$$

记 $I_n = \displaystyle\int \cos^n x \, dx$：
$$I_n = \frac{1}{n}\cos^{n-1}x\sin x + \frac{n-1}{n}I_{n-2}$$

记 $I_n = \displaystyle\int \tan^n x \, dx$（$n \neq 1$）：
$$I_n = \frac{1}{n-1}\tan^{n-1}x - I_{n-2}$$

记 $I_n = \displaystyle\int \cot^n x \, dx$（$n \neq 1$）：
$$I_n = -\frac{1}{n-1}\cot^{n-1}x - I_{n-2}$$

记 $I_n = \displaystyle\int \sec^n x \, dx$（$n \neq 1$）：
$$I_n = \frac{1}{n-1}\sec^{n-2}x\tan x + \frac{n-2}{n-1}I_{n-2}$$

记 $I_n = \displaystyle\int \csc^n x \, dx$（$n \neq 1$）：
$$I_n = -\frac{1}{n-1}\csc^{n-2}x\cot x + \frac{n-2}{n-1}I_{n-2}$$