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笔记记录

要点 01 - 数列不动点问题

定理

设 x^* 是 T 的不动点，T 在 x^* 邻域内连续可微，且 $|T'(x^)| < 1$，则存在邻域 $U = [x^ - \delta, x^* + \delta]$，使对任意 $x_0 \in U$，迭代 x_{n+1}=T(x_n) 收敛到 $x^*$。

证明

1. 构造压缩邻域

由 $|T'(x^)| < 1$，取 L 使 $|T'(x^)| < L < 1$。由 T' 连续性，存在 $\delta > 0$，当 |x - x^*| \le \delta 时，$|T'(x)| \le L$。令 $U = [x^* - \delta, x^* + \delta]$。

2. 证明压缩性

对任意 $x, y \in U$，由微分中值定理，存在 \xi \in U 使

|T(x) - T(y)| = |T'(\xi)| \cdot |x - y| \le L |x - y|.

故 T 在 U 上是压缩映射（$L < 1$）。

3. 验证不变性

对任意 $x \in U$，

|T(x) - x^*| = |T(x) - T(x^*)| \le L |x - x^*| \le L\delta < \delta,

所以 $T(x) \in U$，即 $T(U) \subseteq U$。

4. 应用 Banach 不动点定理

U 是完备度量空间（闭区间），T: U \to U 是压缩映射。由 Banach 不动点定理，T 在 U 内有唯一不动点 $x^$，且对任意 $x_0 \in U$，迭代 x_{n+1}=T(x_n) 收敛到 $x^$。

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要点 02 - 正项级数收敛的充要条件

定义

若对任意 $n$，$u_n \ge 0$，则称 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n 为正项级数。

充要条件

正项级数 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n 收敛 \iff 部分和数列 \{S_n\} 有上界。

常见比较基准

级数	形式	收敛性
p 级数	\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^p}	p > 1 收敛；p \le 1 发散
几何级数	\displaystyle\sum aq^{n-1}	\|q\| < 1 收敛；\|q\| \ge 1 发散
调和级数	\displaystyle\sum \dfrac{1}{n}	发散（p=1 特例）

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要点 03 - 比较判别法

一般形式

设 \displaystyle\sum u_n 和 \displaystyle\sum v_n 均为正项级数，且存在 $N$，当 n > N 时 $u_n \le v_n$，则：

• 若 \displaystyle\sum v_n 收敛，则 \displaystyle\sum u_n 收敛
• 若 \displaystyle\sum u_n 发散，则 \displaystyle\sum v_n 发散

极限形式

设 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{u_n}{v_n} = l$（$0 \le l \le +\infty$）：

l 的取值	结论
0 < l < +\infty	\sum u_n 与 \sum v_n 同敛散
l = 0	若 \sum v_n 收敛，则 \sum u_n 收敛
l = +\infty	若 \sum v_n 发散，则 \sum u_n 发散

常用技巧

u_n \sim \frac{1}{n^p} \quad (n \to \infty)

通过等价无穷小找出 $p$，根据 p > 1 还是 p \le 1 判断敛散性。

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要点 04 - 比值判别法（达朗贝尔判别法）

设 \displaystyle\sum u_n 为正项级数，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$：

\rho 的取值	结论
\rho < 1	级数收敛
\rho > 1	级数发散
\rho = 1	判别法失效，需用其他方法

适用场景

• u_n 中含有 $n!$、$a^n$、n^n 等因式时优先考虑
• 阶乘型、指数型级数最为适用

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要点 05 - 根值判别法（柯西判别法）

设 \displaystyle\sum u_n 为正项级数，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$：

\rho 的取值	结论
\rho < 1	级数收敛
\rho > 1	级数发散
\rho = 1	判别法失效，需用其他方法

适用场景

• u_n 中含有 n 次方（如 $a^{n^2}$、$(f(n))^n$）时优先考虑

重要极限

\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1, \qquad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \;(a>0)

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要点 06 - 积分判别法（柯西积分判别法）

设 f(x) 在 [1, +\infty) 上非负单调递减，$u_n = f(n)$，则：

\sum_{n=1}^{\infty} u_n \text{ 与 } \int_1^{+\infty} f(x)\,dx \text{ 同敛散}

典例：p 级数的证明

f(x) = \dfrac{1}{x^p} 单调递减：

\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛}, & p > 1 \\ \text{发散}, & p \le 1 \end{cases}

适用场景

• 通项 u_n 可以看作某单调递减函数 f(x) 在 x=n 处的值
• 常用于 u_n = \dfrac{1}{n \ln^p n} 等不易用比值/根值法判断的情形

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要点 07 - 交错级数与莱布尼兹判别法

定义

形如 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$（$u_n > 0$）的级数称为交错级数。

莱布尼兹判别法

若交错级数 \displaystyle\sum (-1)^{n-1} u_n 满足：

1. $u_n \ge u_{n+1} > 0$（\{u_n\} 单调递减）
2. \displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n = 0

则级数收敛，且余项 $|R_n| \le u_{n+1}$。

余项估计

\|S - S_n\| = \|R_n\| \le u_{n+1}

即用部分和近似级数和时，误差不超过被截断的首项绝对值。

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要点 08 - 绝对收敛与条件收敛

定义

对任意项级数 $\displaystyle\sum u_n$（u_n 可正可负）：

类型	定义	关系
绝对收敛	\displaystyle\sum \|u_n\| 收敛	绝对收敛 \Rightarrow 收敛
条件收敛	\displaystyle\sum u_n 收敛，但 \sum \|u_n\| 发散	条件收敛级数重排可改变和值

判别流程

flowchart TD
    A[任意项级数 Σu_n] --> B{检查绝对收敛}
    B -->|Σ|u_n| 收敛| C[原级数绝对收敛 ✓]
    B -->|Σ|u_n| 发散| D{是否交错级数?}
    D -->|是| E{莱布尼兹判别法}
    E -->|满足| F[条件收敛]
    E -->|不满足| G{用其他方法}
    D -->|否| G
    G -->|收敛| F
    G -->|发散| H[原级数发散 ✗]

绝对收敛的性质

• 绝对收敛级数任意重排后和不变
• 绝对收敛级数的乘积（柯西乘积）仍绝对收敛

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知识点

• 不动点的定义
• 压缩映射原理
• Banach 不动点定理
• 微分中值定理
• 迭代收敛性
• 正项级数的定义与充要条件
• p 级数与几何级数
• 比较判别法（一般形式与极限形式）
• 比值判别法（达朗贝尔判别法）
• 根值判别法（柯西判别法）
• 积分判别法（柯西积分判别法）
• 交错级数与莱布尼兹判别法
• 绝对收敛与条件收敛
• 级数余项估计