ViperEkura/postgraduate-prep
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feat: 增加级数敛散性判别与反常积分审敛法（含错题与比值审敛证明）

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ViperEkura
2026-05-10 16:54:26 +08:00
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subjects/math/04_积分.md
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@@ -22,6 +22,7 @@ $$
- [04_积分_三角函数.md](./04_积分_三角函数.md) — 三角函数积分、Wallis 公式、递推公式
- [04_积分_换元与分部.md](./04_积分_换元与分部.md) — 换元积分法、分部积分法
- [04_积分_有理分式.md](./04_积分_有理分式.md) — 有理分式积分
- [04_积分_反常积分.md](./04_积分_反常积分.md) — 反常积分的定义与比较判别法
### 知识点
- 定积分的定义
@@ -36,3 +37,6 @@ $$
- 分部积分法（LIATE 优先序）
- 循环分部与移项求解
- 有理分式积分（部分分式分解法）
- 反常积分的定义与分类（无穷限 + 瑕积分）
- 反常积分的比较判别法（一般形式与极限形式）
- 常用反常积分比较基准：$\int \frac{1}{x^p}\,dx$
subjects/math/04_积分_反常积分.md
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@@ -0,0 +1,96 @@
## 笔记记录
### 要点 09 - 反常积分的定义与分类
#### 两种类型
| 类型 | 定义 | 记号 |
|------|------|------|
| **无穷限反常积分** | 积分区间无界 | $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx,\ \int_{-\infty}^b f(x)dx,\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$ |
| **瑕积分** | 被积函数无界 | $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$，其中 $f(x)$ 在 $x \to a^+$（或 $x \to b^-$）时无界 |
#### 无穷限反常积分的定义
设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续：
$$\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x)dx$$
若该极限存在，则称积分**收敛**；否则**发散**。
#### 瑕积分的定义
设 $a$ 为瑕点（$f(x)$ 在 $x \to a^+$ 时无界）：
$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)dx$$
若该极限存在，则称积分**收敛**；否则**发散**。
---
### 要点 10 - 反常积分的比较判别法
#### 定理形式（无穷限积分）
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上非负连续：
**一般形式：** 若存在 $M > 0$，当 $x$ 充分大时 $0 \le f(x) \le M \cdot g(x)$，则：
- $\displaystyle\int_a^{+\infty} g(x)dx$ 收敛 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 收敛
- $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 发散 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{+\infty} g(x)dx$ 发散
**极限形式：** 设 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = l$：
| $l$ 的取值 | 结论 |
|------------|------|
| $0 < l < +\infty$ | $\int f$ 与 $\int g$ 同敛散 |
| $l = 0$ | $\int g$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int f$ 收敛 |
| $l = +\infty$ | $\int g$ 发散 $\Rightarrow$ $\int f$ 发散 |
#### 定理形式（瑕积分）
设 $f(x), g(x)$ 在 $(a, b]$ 上非负连续，$a$ 为瑕点：
**一般形式：** 若存在 $M > 0$，当 $x \to a^+$ 时 $0 \le f(x) \le M \cdot g(x)$，则：
- $\displaystyle\int_a^{b} g(x)dx$ 收敛 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{b} f(x)dx$ 收敛
- $\displaystyle\int_a^{b} f(x)dx$ 发散 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{b} g(x)dx$ 发散
**极限形式类同无穷限情形**，区别在于极限取 $x \to a^+$。
#### 常用比较基准
| 积分类型 | 被积函数 | 收敛条件 |
|----------|----------|----------|
| 无穷限 | $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^p}\,dx$ | $p > 1$ 收敛；$p \le 1$ 发散 |
| 瑕积分 | $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{x^p}\,dx$ | $p < 1$ 收敛；$p \ge 1$ 发散 |
| 瑕积分（$a$ 为瑕点） | $\displaystyle\int_a^b \dfrac{1}{(x-a)^p}\,dx$ | $p < 1$ 收敛；$p \ge 1$ 发散 |
#### 记忆口诀
- 无穷限：$p > 1$ 收（分母次数要够大，无穷远处衰减快）
- 瑕积分：$p < 1$ 收（分母次数要够小，瑕点附近不炸穿）
#### 解题思路
1. 判断反常积分类型（无穷限 / 瑕积分 / 混合型）
2. 对被积函数取**等价无穷小**找出 $\dfrac{1}{x^p}$（$x \to +\infty$ 或 $x \to a^+$）
3. 根据 $p$ 值与比较判别法的极限形式判定敛散性
#### 典例
判别 $\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\arctan x}{x^p}\,dx$ 的敛散性：
- 当 $x \to 0^+$ 时，$\arctan x \sim x$，$\dfrac{\arctan x}{x^p} \sim \dfrac{1}{x^{p-1}}$（瑕积分，$x=0$ 为瑕点）→ 需 $p-1 < 1$，即 $p < 2$
- 当 $x \to +\infty$ 时，$\arctan x \to \dfrac{\pi}{2}$，$\dfrac{\arctan x}{x^p} \sim \dfrac{\pi}{2x^p}$（无穷限）→ 需 $p > 1$
综合：$1 < p < 2$ 时收敛。
---
### 知识点
- 反常积分的定义（无穷限 + 瑕积分）
- 无穷限反常积分的比较判别法（一般形式与极限形式）
- 瑕积分的比较判别法（一般形式与极限形式）
- 常用比较基准：$\displaystyle\int \frac{1}{x^p}\,dx$
- 等价无穷小在反常积分审敛中的应用
- 混合型反常积分的分段处理
subjects/math/09_级数.md
+170
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@@ -32,9 +32,179 @@ $$
$U$ 是完备度量空间（闭区间），$T: U \to U$ 是压缩映射。由 **Banach 不动点定理**，$T$ 在 $U$ 内有唯一不动点 $x^*$，且对任意 $x_0 \in U$，迭代 $x_{n+1}=T(x_n)$ 收敛到 $x^*$。
---
### 要点 02 - 正项级数收敛的充要条件
#### 定义
若对任意 $n$，$u_n \ge 0$，则称 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为**正项级数**。
#### 充要条件
正项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 $\iff$ 部分和数列 $\{S_n\}$ 有上界。
#### 常见比较基准
| 级数 | 形式 | 收敛性 |
|------|------|--------|
| $p$ 级数 | $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^p}$ | $p > 1$ 收敛；$p \le 1$ 发散 |
| 几何级数 | $\displaystyle\sum aq^{n-1}$ | $\|q\| < 1$ 收敛；$\|q\| \ge 1$ 发散 |
| 调和级数 | $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n}$ | 发散（$p=1$ 特例） |
---
### 要点 03 - 比较判别法
#### 一般形式
设 $\displaystyle\sum u_n$ 和 $\displaystyle\sum v_n$ 均为正项级数，且存在 $N$，当 $n > N$ 时 $u_n \le v_n$，则：
- 若 $\displaystyle\sum v_n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum u_n$ 收敛
- 若 $\displaystyle\sum u_n$ 发散，则 $\displaystyle\sum v_n$ 发散
#### 极限形式
设 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{u_n}{v_n} = l$（$0 \le l \le +\infty$）：
| $l$ 的取值 | 结论 |
|------------|------|
| $0 < l < +\infty$ | $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 同敛散 |
| $l = 0$ | 若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛 |
| $l = +\infty$ | 若 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散 |
#### 常用技巧
$$u_n \sim \frac{1}{n^p} \quad (n \to \infty)$$
通过等价无穷小找出 $p$，根据 $p > 1$ 还是 $p \le 1$ 判断敛散性。
---
### 要点 04 - 比值判别法（达朗贝尔判别法）
设 $\displaystyle\sum u_n$ 为正项级数，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$：
| $\rho$ 的取值 | 结论 |
|---------------|------|
| $\rho < 1$ | 级数收敛 |
| $\rho > 1$ | 级数发散 |
| $\rho = 1$ | 判别法失效，需用其他方法 |
#### 适用场景
- $u_n$ 中含有 $n!$、$a^n$、$n^n$ 等因式时优先考虑
- 阶乘型、指数型级数最为适用
---
### 要点 05 - 根值判别法（柯西判别法）
设 $\displaystyle\sum u_n$ 为正项级数，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$：
| $\rho$ 的取值 | 结论 |
|---------------|------|
| $\rho < 1$ | 级数收敛 |
| $\rho > 1$ | 级数发散 |
| $\rho = 1$ | 判别法失效，需用其他方法 |
#### 适用场景
- $u_n$ 中含有 $n$ 次方（如 $a^{n^2}$、$(f(n))^n$）时优先考虑
#### 重要极限
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1, \qquad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \;(a>0)$$
---
### 要点 06 - 积分判别法（柯西积分判别法）
设 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上非负单调递减，$u_n = f(n)$，则：
$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n \text{ 与 } \int_1^{+\infty} f(x)\,dx \text{ 同敛散}$$
#### 典例：$p$ 级数的证明
$f(x) = \dfrac{1}{x^p}$ 单调递减：
$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛}, & p > 1 \\ \text{发散}, & p \le 1 \end{cases}$$
#### 适用场景
- 通项 $u_n$ 可以看作某单调递减函数 $f(x)$ 在 $x=n$ 处的值
- 常用于 $u_n = \dfrac{1}{n \ln^p n}$ 等不易用比值/根值法判断的情形
---
### 要点 07 - 交错级数与莱布尼兹判别法
#### 定义
形如 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$（$u_n > 0$）的级数称为**交错级数**。
#### 莱布尼兹判别法
若交错级数 $\displaystyle\sum (-1)^{n-1} u_n$ 满足：
1. $u_n \ge u_{n+1} > 0$（$\{u_n\}$ 单调递减）
2. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n = 0$
则级数收敛，且余项 $\|R_n\| \le u_{n+1}$。
#### 余项估计
$$\|S - S_n\| = \|R_n\| \le u_{n+1}$$
即用部分和近似级数和时，误差不超过被截断的首项绝对值。
---
### 要点 08 - 绝对收敛与条件收敛
#### 定义
对任意项级数 $\displaystyle\sum u_n$（$u_n$ 可正可负）：
| 类型 | 定义 | 关系 |
|------|------|------|
| 绝对收敛 | $\displaystyle\sum \|u_n\|$ 收敛 | 绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛 |
| 条件收敛 | $\displaystyle\sum u_n$ 收敛，但 $\sum \|u_n\|$ 发散 | 条件收敛级数重排可改变和值 |
#### 判别流程
```mermaid
flowchart TD
A[任意项级数 Σu_n] --> B{检查绝对收敛}
B -->|Σ|u_n| 收敛| C[原级数绝对收敛 ✓]
B -->|Σ|u_n| 发散| D{是否交错级数?}
D -->|是| E{莱布尼兹判别法}
E -->|满足| F[条件收敛]
E -->|不满足| G{用其他方法}
D -->|否| G
G -->|收敛| F
G -->|发散| H[原级数发散 ✗]
```
#### 绝对收敛的性质
- 绝对收敛级数任意重排后和不变
- 绝对收敛级数的乘积（柯西乘积）仍绝对收敛
---
### 知识点
- 不动点的定义
- 压缩映射原理
- Banach 不动点定理
- 微分中值定理
- 迭代收敛性
- 正项级数的定义与充要条件
- $p$ 级数与几何级数
- 比较判别法（一般形式与极限形式）
- 比值判别法（达朗贝尔判别法）
- 根值判别法（柯西判别法）
- 积分判别法（柯西积分判别法）
- 交错级数与莱布尼兹判别法
- 绝对收敛与条件收敛
- 级数余项估计
subjects/math/README.md
+12 -3
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@@ -27,6 +27,8 @@
- [要点 06 - 换元积分法](./04_积分_换元与分部.md#要点-06---换元积分法)
- [要点 07 - 分部积分法](./04_积分_换元与分部.md#要点-07---分部积分法)
- [要点 08 - 有理分式积分](./04_积分_有理分式.md#要点-08---有理分式积分)
- [要点 09 - 反常积分的定义与分类](./04_积分_反常积分.md#要点-09---反常积分的定义与分类)
- [要点 10 - 反常积分的比较判别法](./04_积分_反常积分.md#要点-10---反常积分的比较判别法)
### [05_微分方程.md](./05_微分方程.md)
- [要点 01 - 一阶可分离变量方程](./05_微分方程.md#要点-01---一阶可分离变量方程)
@@ -40,6 +42,13 @@
### [09_级数.md](./09_级数.md)
- [要点 01 - 数列不动点问题](./09_级数.md#要点-01---数列不动点问题)
- [要点 02 - 正项级数收敛的充要条件](./09_级数.md#要点-02---正项级数收敛的充要条件)
- [要点 03 - 比较判别法](./09_级数.md#要点-03---比较判别法)
- [要点 04 - 比值判别法（达朗贝尔判别法）](./09_级数.md#要点-04---比值判别法达朗贝尔判别法)
- [要点 05 - 根值判别法（柯西判别法）](./09_级数.md#要点-05---根值判别法柯西判别法)
- [要点 06 - 积分判别法（柯西积分判别法）](./09_级数.md#要点-06---积分判别法柯西积分判别法)
- [要点 07 - 交错级数与莱布尼兹判别法](./09_级数.md#要点-07---交错级数与莱布尼兹判别法)
- [要点 08 - 绝对收敛与条件收敛](./09_级数.md#要点-08---绝对收敛与条件收敛)
### [e01-常用公式速查.md](./e01-常用公式速查.md)
- 乘法公式 / 指数运算 / 对数运算
@@ -62,10 +71,10 @@
| 01 极限 | 等价无穷小、泰勒展开 | 1 |
| 02 导数与微分 | 莱布尼兹公式、隐函数求导、曲率 | 3 |
| 03 中值定理 | 罗尔/拉格朗日/柯西中值定理、泰勒公式、辅助函数构造 | 6 |
| 04 积分 | 分式/根号/三角/换元/分部/有理分式 | 8（分 4 子章节） |
| 04 积分 | 分式/根号/三角/换元/分部/有理分式/反常积分 | 10（分 5 子章节） |
| 05 微分方程 | 一阶/高阶方程、常系数、欧拉方程 | 8 |
| 09 级数 | 数列不动点 | 1 |
| 09 级数 | 数列不动点、正项级数审敛 | 8 |
| e01 常用公式速查 | 乘/指/对/数列/不等式/韦达定理 | — |
| e02 三角函数 | 奇变偶不变、和差化积、sec/csc/cot、积分递推 | — |
**总计：27 个要点（04 积分拆为 4 子章节）+ 2 篇杂项**
**总计：36 个要点（04 积分拆为 5 子章节）+ 2 篇杂项**