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# Q-Learning 走迷宫：简明原理与推导
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> 对应代码 `q_learning.py`（numpy 实现，可选 matplotlib 绘图）。本文不含代码，只保留核心公式与结论。行内公式用 `$...$`、独立公式用 `$$...$$`，Gitea 网页端可直接渲染；建议搭配支持数学渲染的本地查看器（VSCode 预览、Typora、Obsidian）使用。
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## 一、问题：迷宫 = 马尔可夫决策过程（MDP）
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五元组 $(S,A,P,R,\gamma)$，本例取值：
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| 元素 | 含义 | 取值 |
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|------|------|------|
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| 状态 S | 智能体所在格子坐标 (r, c) | n×n 网格 |
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| 动作 A | 上 / 下 / 左 / 右 | 共 4 个 |
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| 转移 P | 在 s 执行 a 后到达 s' 的概率 | 确定性（见下文）|
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| 奖励 R | 即时奖励 | +100（到终点）/ −10（撞墙）/ −1（每步）|
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| 折扣 γ | 未来奖励的打折系数 | 0.9 |
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转移是确定性的：结果由 (s, a) 唯一决定，因此转移概率为退化分布
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$$P(s'\mid s,a)=\delta_{s',f(s,a)}$$
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其中 $f(s,a)$ 表示"执行 a 后的实际落点"——撞墙或越界时原地不动，即 $f(s,a)=s$。
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回报（Return）为折扣累积奖励，$\gamma<1$ 保证收敛：
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$$G_t=\sum_{k=0}^{\infty}\gamma^{k}R_{t+k+1}$$
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其绝对值的上界为 $|G_t|\le 100/(1-\gamma)$，即收敛有界。目标是最大化起点期望回报：$\pi^{*}=\arg\max_{\pi}\mathbb{E}_{\pi}[G_0]$。
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## 二、价值函数与贝尔曼方程
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定义（对策略 $\pi$）：
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$$V^{\pi}(s)=\mathbb{E}_{\pi}[G_t\mid S_t=s]$$
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$$Q^{\pi}(s,a)=\mathbb{E}_{\pi}[G_t\mid S_t=s,A_t=a]$$
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**贝尔曼期望方程**：由 $G_t=R_{t+1}+\gamma G_{t+1}$ 与全期望公式（塔性质）可得
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$$Q^{\pi}(s,a)=r(s,a)+\gamma\sum_{s'}P(s'\mid s,a)\,V^{\pi}(s')$$
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$$V^{\pi}(s)=\sum_{a}\pi(a\mid s)\,Q^{\pi}(s,a)$$
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即"状态价值 = 期望即时奖励 + γ × 期望下一状态价值"。
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> 用途说明：期望方程**不进** Q-Learning 更新公式（更新用的是下面的 max 版）。它用于：① 作为最优方程的内层成分；② 解任意固定策略的价值——第五节的 $V(d)$ 解析值、热力图数值都由此算出；③ 理解 SARSA 与策略评估。只关心 Q-Learning 更新本身可先跳过。
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**贝尔曼最优方程**（Q-Learning 直接逼近的）：
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$$Q^{*}(s,a)=r(s,a)+\gamma\max_{a'}Q^{*}(s',a')$$
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（确定性环境下求和 $\sum_{s'}P(s'\mid s,a)\,V(s')$ 退化为直接代入 $s'$。）
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**存在唯一解**：定义算子 $(T^{*}Q)(s,a)=r(s,a)+\gamma\max_{a'}Q(s',a')$。因 max 算子非膨胀，$T^{*}$ 是 $\gamma$-压缩映射；由 Banach 不动点定理，$Q^{*}=T^{*}Q^{*}$ 有唯一不动点，且迭代以 $\gamma^{k}$ 速率收敛（值迭代的依据）。
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## 三、Q-Learning 算法
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用单次观测近似期望：
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$$Y=r+\gamma\max_{a'}Q(s',a')\approx(T^{*}Q)(s,a)$$
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更新公式（$\delta_t$ 为 TD 误差）：
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$$Q(s,a)\leftarrow Q(s,a)+\alpha[r+\gamma\max_{a'}Q(s',a')-Q(s,a)]$$
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其中 $\alpha=0.1$，$\delta_t=r+\gamma\max_{a'}Q(s',a')-Q(s,a)$。
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关键结论：
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- **收敛**：需每个 $(s,a)$ 被访问无穷多次，且学习率满足 $\sum\alpha=\infty$、$\sum\alpha^{2}<\infty$（Watkins 1992，以概率 1 收敛）。本实现取常数 $\alpha$，确定性环境下无采样噪声，固定 $(s,a)$ 可解析解：
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$$Q_k=(1-\alpha)^{k}Q_0+[1-(1-\alpha)^{k}]Y$$
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误差以 $(1-\alpha)^{k}$ 几何衰减（$\alpha=0.1$ 时约 22 次访问缩小一个数量级）；真正的瓶颈是价值逐层传播（层数 = 最短路长 $D$），故迷宫越大越需更多训练。
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- **Off-policy**：未来项用 $\max_{a'}Q(s',\cdot)$，与行为策略（含探索）无关，因此收敛到 $Q^{*}$。
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- **vs SARSA**：SARSA 的未来项用实际执行的 $a'$，逼近 $\mathbb{E}_{a'\sim\pi_\varepsilon}[\cdot]$ 而非 max，收敛到 ε-greedy 策略自身的价值；在带陷阱环境里 SARSA 学出保守绕行，Q-Learning 学理论最优。
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- **终止状态**：$done$ 时目标值不含 bootstrap 项，仅为 $r$。
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## 四、探索：为什么必须乱走
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收敛要求每个 $(s,a)$ 被访问无穷多次；纯贪心会永久错过未试探的动作，故需探索。
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**ε-greedy**：以概率 $\varepsilon$ 均匀随机选一个动作；以概率 $1-\varepsilon$ 选贪心动作 $a=\arg\max_{a'}Q(s,a')$。
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**指数衰减**：
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$$\varepsilon_{k}=\max(\varepsilon_{\min},\varepsilon_0\lambda^{k})$$
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取 $\varepsilon_0=1.0$，$\lambda=0.99$，$\varepsilon_{\min}=0.05$。到达下限所需局数：
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$$k^{*}=\frac{\ln(\varepsilon_{\min}/\varepsilon_0)}{\ln\lambda}=\frac{\ln 0.05}{\ln 0.99}\approx 298$$
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即前约 300 局以探索为主，之后以利用为主；保留 5% 下限防止估值固化。
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## 五、奖励设计的数学
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**定理（每步 $-1$ 诱导最短路）**：沿长度 $d$ 的无撞墙路径走到终点（前 $d-1$ 步各 $-1$，末步 $+100$），其价值为
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$$V(d)=\gamma^{d-1}(100+\frac{1}{1-\gamma})-\frac{1}{1-\gamma}$$
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因 $\gamma^{d-1}$ 随 $d$ 严格递减且括弧内恒正，对任意 $\gamma\in(0,1)$ 有 $d_1<d_2\Rightarrow V(d_1)>V(d_2)$。**结论：最优策略必然是最短路径**。若每步奖励改为 $0$，$V(d)$ 与 $d$ 无关，智能体将随意游荡。
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数值（9×9 迷宫，起点到终点 $D=16$，$\gamma=0.9$）：
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| 距终点 $d$ | $V(d)$ | 约值 |
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|---|---|---|
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| 1 | $100$ | 100.0 |
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| 2 | $90-1$ | 89.0 |
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| 8 | $100\times 0.9^{7}-(1-0.9^{7})/0.1$ | 41.8 |
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| 16（起点）| $100\times 0.9^{15}-(1-0.9^{15})/0.1$ | 12.7 |
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价值沿路径单调递减、从 $G$ 向 $S$ 回传——热力图快照记录的就是这个分布逐层填入的过程。
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**γ 过小的信号淹没**：传播关键项是 $\gamma^{D}\times 100$。以 15×15（$D=28$）为例：
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| $\gamma$ | 起点价值 $100\gamma^{27}-(1-\gamma^{27})/(1-\gamma)$ | 观察 |
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|---|---|---|
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| 0.5 | $\approx -2.0$ | 信号被路费扣光，学不动 |
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| 0.9 | $\approx -3.6$ | 收敛慢 |
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| 0.99 | $\approx 52.6$ | 信号充足 |
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排序定理仍成立，但 $|\Delta V|\sim\gamma^{D}(100+\frac{1}{1-\gamma})$ 过小时与噪声同量级，学习极慢。**路径越长，γ 越应接近 1**。
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**撞墙惩罚**：撞墙动作的最优价值满足 $Q^{*}(s,\text{wall})=\gamma V^{*}(s)-10$，只要 $V^{*}(s)>-100$ 就恒小于 $V^{*}(s)$。它压负样本、加速排除错误动作，**不改变**最优策略集合。
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## 六、迷宫生成与拓扑
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- **递归回溯 = DFS 生成树**：房间数 $N=((n+1)/2)^{2}$，通路数 $N-1$。树的性质 ⟹ 任意两房间**唯一路径**（完美迷宫），这是"分支不复杂"的数学根源。
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- **为何奇数尺寸**：房间在偶坐标、隔墙在奇坐标；若 $n$ 为偶数，终点 $(n-1,n-1)$ 落在隔墙上，迷宫无解。
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- **braid 成环**：迷宫内"两侧都是路的墙"共 $(n^{2}-1)/2$ 堵（9×9 为 40，树用 24，剩 16 可拆）。braid 概率 $p$ 即拆墙概率，等价于给生成树**加弦**；环路数（圈秩）等于 $|E|-|V|+1$。$p=0.3$ 时 9×9 约引入 $0.3\times 16\approx 5$ 个独立环，同一对起终点出现多条路径，Q 表需真正比较选择。
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## 七、运行与观察
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运行参数：`--rows/--cols`（默认 9，须为奇数）、`--seed`、`--episodes`（默认 500）、`--braid`（默认 0）、`--plot`。输出：迷宫、策略箭头、贪心路径、成功率统计；加 `--plot` 生成两张图。
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| 图 | 数学对象 | 判读 |
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|---|---|---|
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| 逐局回报 | $G_0$ 的单次实现（含探索噪声）| 总体上升、波动收窄 |
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| 滑动成功率 | 到达概率的频率估计（大数定律）| 趋近 1 |
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| 单局步数 | 回合步数 vs BFS 最短步 $D$ | 降到红线即学会最短路 |
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| V(s) 快照 | $V(d)$ 分布逐层填入 | 价值从 $G$ 向 $S$ 回传 |
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常见问题：
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| 现象 | 原因 | 调整 |
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|---|---|---|
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| 学不到终点 | 信号 $\gamma^{D}R_g$ 被路费淹没 | 增大 γ 或终点奖励 |
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| 不收敛 | 传播层数 $D$ 大、覆盖不足 | 增大 `--episodes` |
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| 后期退化 | ε 衰减过快破坏覆盖 | 衰减系数调大（0.995）|
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| 路径非最短路 | 每步奖励被改为 0 | 保持 $-1$ |
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| 结果不可复现 | ε-greedy 随机采样 | 固定 `--seed` |
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## 八、进阶实验
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1. **γ 扫描**：$\gamma=0.1/0.5/0.9/0.99$，对照第五节解析值验证"远见"。
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2. **ε 扫描**：不同 $\lambda$ 观察覆盖与利用的权衡。
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3. **braid 扫描**：$p=0/0.15/0.3/0.5$，用圈秩预估环路数，验证步数仍收敛到红线 $D$。
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4. **加陷阱**：某些格设为吸收态（踩中 $-50$ 并终止），观察策略绕行；对比 SARSA 的保守路线。
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5. **随机风**：$P(s'\mid s,a)$ 变为非退化，$\mathbb{E}[\max Q]\ne\max\mathbb{E}[Q]$，随机性真正登场。
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6. **迁移 FrozenLake**：套用标准接口，体会表格法边界（状态太多时转 DQN）。
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## 九、小结
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主线一句话：**$Q^{*}$ 是贝尔曼最优算子 $T^{*}$ 的唯一不动点，Q-Learning 用单步样本 $(s,a,r,s')$ 逼近它**；收敛快慢由"信号传播层数 $\gamma^{D}$"和"覆盖是否充分"决定。理解这点后，把格子换成任意可枚举状态、动作换成任意离散集合，同一框架即可迁移。
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