postgraduate-prep/subjects/math/05_微分方程.md

笔记记录

要点 01 - 一阶可分离变量方程

标准形式

\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)

解法

分离变量后两边积分：

\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x) \, dx + C

注意 h(y)=0 的特解可能丢失。

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要点 02 - 一阶齐次方程

标准形式

\frac{dy}{dx} = \varphi\!\left(\frac{y}{x}\right)

解法

令 $u = \dfrac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\dfrac{dy}{dx} = u + x\dfrac{du}{dx}$，代入得：

u + x\frac{du}{dx} = \varphi(u) \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{\varphi(u)-u} = \frac{dx}{x}

化为可分离变量方程求解。

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要点 03 - 一阶线性微分方程

标准形式

y' + P(x)y = Q(x)

解法（常数变易法）

1. 先解齐次方程 $y' + P(x)y = 0$，得通解 y = Ce^{-\int P(x)dx}
2. 将常数 C 变易为函数 $C(x)$，代入原方程得：

y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)dx} \, dx + C \right)

记忆公式

通解为 $y = e^{-\int P,dx}\left(\int Q e^{\int P,dx}dx + C\right)$，即 $y = \dfrac{1}{\mu}\left(\int Q\mu,dx + C\right)$，其中 \mu = e^{\int P\,dx} 为积分因子。

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要点 04 - 伯努利方程

标准形式

y' + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \neq 0, 1)

解法

令 $z = y^{1-n}$，则 $z' = (1-n)y^{-n}y'$，代入后化为一阶线性方程：

z' + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)

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要点 05 - 可降阶的高阶微分方程

类型一：y^{(n)} = f(x)

直接逐次积分 n 次。

类型二：$y'' = f(x, y')$（不显含 $y$）

令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，方程化为 $p' = f(x, p)$，为一阶方程。

类型三：$y'' = f(y, y')$（不显含 $x$）

令 $p = y'$，则 $y'' = \dfrac{dp}{dx} = \dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx} = p\dfrac{dp}{dy}$，方程化为 $p\dfrac{dp}{dy} = f(y, p)$，为一阶方程。

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要点 06 - 常系数齐次线性微分方程

标准形式

y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}y' + a_n y = 0

其中 a_1, \dots, a_n 为常数。

解法——特征方程法

设 $y = e^{rx}$，代入得特征方程：

r^n + a_1 r^{n-1} + \cdots + a_{n-1} r + a_n = 0

解的形式

特征根	通解中的对应项
单实根 r	C e^{rx}
k 重实根 r	(C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k-1}) e^{rx}
单重复根 \alpha \pm i\beta	e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)
k 重复根 \alpha \pm i\beta	e^{\alpha x}\big[(C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k-1})\cos\beta x + (D_1 + D_2 x + \cdots + D_k x^{k-1})\sin\beta x\big]

二阶特例：y'' + py' + qy = 0 的特征方程 $r^2 + pr + q = 0$：

• $\Delta > 0$：y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}
• $\Delta = 0$：y = (C_1 + C_2 x)e^{r x}
• $\Delta < 0$：y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)

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要点 07 - 常系数非齐次线性微分方程

标准形式

y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = f(x)

解的结构

非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解：

y = \bar{y} + y^*

待定系数法——f(x) 的两种形式

形式一：f(x) = P_m(x) e^{\lambda x}

设特解 $y^* = x^k Q_m(x) e^{\lambda x}$，其中：

• k 为 \lambda 作为特征根的重数（$k=0,1,2$）
• Q_m(x) 为 m 次待定多项式

形式二：f(x) = e^{\alpha x}\big[P_l(x)\cos\beta x + P_n(x)\sin\beta x\big]

设特解 $y^* = x^k e^{\alpha x}\big[R_m(x)\cos\beta x + S_m(x)\sin\beta x\big]$，其中：

• m = \max(l, n)
• k 为 \alpha \pm i\beta 作为特征根的重数（$k=0,1$）
• R_m, S_m 为 m 次待定多项式

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要点 08 - 欧拉方程

标准形式

x^n y^{(n)} + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} x y' + a_n y = f(x)

解法

令 $x = e^t$（或 $t = \ln x$），记 $D = \dfrac{d}{dt}$，则：

\begin{aligned}
x y' &= D y \\
x^2 y'' &= D(D-1)y = D^2 y - D y \\
x^3 y''' &= D(D-1)(D-2)y
\end{aligned}

将原方程化为以 t 为自变量的常系数线性微分方程求解，再将 t = \ln x 代回。