postgraduate-prep/subjects/math/04_积分.md

笔记记录

要点 01 - 积分与极限求和式的转化

根据公式

\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x

对于均匀矩形分割的情况，实际上只用分离出 \frac{1}{n}

\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f\left(a + \frac{(b-a) i}{n}\right) \frac{b-a}{n}

---

要点 02 - 分式型积分

基本公式

\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \quad (a > 0)

推导（换元法）：令 $x = a \tan t$，则 dx = a \sec^2 t \, dt

\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \int \frac{a \sec^2 t}{a^2 + a^2 \tan^2 t} \, dt

= \int \frac{a \sec^2 t}{a^2 \sec^2 t} \, dt

= \int \frac{dt}{a}

= \frac{t}{a} + C

= \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C

推广形式

\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C

\int \frac{dx}{b^2 + (x + c)^2} = \frac{1}{b} \arctan \frac{x + c}{b} + C

\int \frac{x \, dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{2} \ln(x^2 + a^2) + C

\int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^2} = \frac{x}{2a^2(x^2 + a^2)} + \frac{1}{2a^3} \arctan \frac{x}{a} + C

---

要点 03 - 根号分式型积分

基本公式

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \operatorname{arsinh} \frac{x}{a} + C

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C \quad (|x| > |a|)

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \operatorname{arcosh} \frac{x}{a} + C \quad (|x| > |a|)

\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + C \quad (|x| < |a|)

\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = -\arccos \frac{x}{a} + C \quad (|x| < |a|)

推导方法

\begin{align}
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}}
    &= \int \frac{a \cosh t}{a \cosh t} \, dt && (x = a \sinh t) \\
    &= \int dt \\
    &= t + C \\
    &= \ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C
\end{align}

\begin{align}
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}}
    &= \int \frac{a \sinh t}{a \sinh t} \, dt && (x = a \cosh t) \\
    &= \int dt \\
    &= t + C \\
    &= \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C
\end{align}

\begin{align}
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}
    &= \int \frac{a \cos t}{a \cos t} \, dt && (x = a \sin t) \\
    &= \int dt \\
    &= t + C \\
    &= \arcsin \frac{x}{a} + C
\end{align}

等效形式

\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln\left|\frac{x}{a} + \sqrt{\frac{x^2}{a^2} - 1}\right| + C

推广形式

\int \frac{dx}{\sqrt{(x + b)^2 + a^2}} = \ln\left|x + b + \sqrt{(x + b)^2 + a^2}\right| + C

\int \frac{dx}{\sqrt{(x + b)^2 - a^2}} = \ln\left|x + b + \sqrt{(x + b)^2 - a^2}\right| + C \quad (|x + b| > |a|)

\int \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \sqrt{x^2 + a^2} + C

\int \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \sqrt{x^2 - a^2} + C

\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C

\int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C

---

要点 04 - 根号二次型积分

基本公式

\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C

\int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C \quad (|x| > |a|)

\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C \quad (|x| < |a|)

推导方法

\begin{align}
\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx
    &= \int a \cosh t \cdot a \cosh t \, dt = a^2 \int \cosh^2 t \, dt && (x = a \sinh t) \\
    &= a^2 \int \frac{\cosh 2t + 1}{2} \, dt = \frac{a^2}{2}\left(\frac{\sinh 2t}{2} + t\right) + C \\
    &= \frac{a^2}{2}(\sinh t \cosh t + t) + C \\
    &= \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C
\end{align}

\begin{align}
\int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx
    &= \int a \sinh t \cdot a \sinh t \, dt = a^2 \int \sinh^2 t \, dt && (x = a \cosh t) \\
    &= a^2 \int \frac{\cosh 2t - 1}{2} \, dt = \frac{a^2}{2}\left(\frac{\sinh 2t}{2} - t\right) + C \\
    &= \frac{a^2}{2}(\sinh t \cosh t - t) + C \\
    &= \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C
\end{align}

\begin{align}
\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx
    &= \int a \cos t \cdot a \cos t \, dt = a^2 \int \cos^2 t \, dt && (x = a \sin t) \\
    &= \frac{a^2}{2}\left(t + \frac{\sin 2t}{2}\right) + C \\
    &= \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C
\end{align}

推广形式

\int (x + b)\sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{3}(x + b)(x^2 + a^2)^{3/2} - \frac{b}{2}x\sqrt{x^2 + a^2} - \frac{ab^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C

\int x\sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{3}(x^2 + a^2)^{3/2} + C

\int x\sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{3}(x^2 - a^2)^{3/2} + C

\int x\sqrt{a^2 - x^2} \, dx = -\frac{1}{3}(a^2 - x^2)^{3/2} + C

---

要点 05 - 三角函数积分

降幂公式

\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}

\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}

\cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}

基本积分

\int \sin x \, dx = -\cos x + C

\int \cos x \, dx = \sin x + C

\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C

\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C

万能代换

令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则：

\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2 \, dt}{1 + t^2}

适用类型：$R(\sin x, \cos x)$（有理函数形式）

常用结论

\int \sin^n x \, dx = -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2} x \, dx

\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2} x \, dx

积化和差

\sin A \cos B = \frac{1}{2}\sin(A+B) + \frac{1}{2}\sin(A-B)

\cos A \cos B = \frac{1}{2}\cos(A+B) + \frac{1}{2}\cos(A-B)

\sin A \sin B = \frac{1}{2}\cos(A-B) - \frac{1}{2}\cos(A+B)

---

要点 06 - 换元积分法

第一类换元法（凑微分法）

若 $\int f(u) , du = F(u) + C$，u = \varphi(x) 可微，则：

\int f[\varphi(x)] \, \varphi'(x) \, dx = \int f(u) \, du = F(u) + C = F[\varphi(x)] + C

核心思想：将被积函数中一部分"凑"成某个函数的导数，令其为一个新变量。

常见凑微分形式：

类型	凑微分	令 u
\int f(ax+b) \, dx	\displaystyle\frac{1}{a} \int f(ax+b) \, d(ax+b)	u = ax+b
\int f(x^n) \cdot x^{n-1} \, dx	\displaystyle\frac{1}{n} \int f(x^n) \, d(x^n)	u = x^n
\int f(\sin x) \cos x \, dx	\displaystyle\int f(\sin x) \, d(\sin x)	u = \sin x
\int f(\cos x) \sin x \, dx	\displaystyle-\int f(\cos x) \, d(\cos x)	u = \cos x
\int f(\tan x) \sec^2 x \, dx	\displaystyle\int f(\tan x) \, d(\tan x)	u = \tan x
\int f(e^x) e^x \, dx	\displaystyle\int f(e^x) \, d(e^x)	u = e^x
\int f(\ln x) \frac{1}{x} \, dx	\displaystyle\int f(\ln x) \, d(\ln x)	u = \ln x
\int f(\arcsin x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}	\displaystyle\int f(\arcsin x) \, d(\arcsin x)	u = \arcsin x
\int f(\arctan x) \frac{dx}{1+x^2}	\displaystyle\int f(\arctan x) \, d(\arctan x)	u = \arctan x

示例：

\int \frac{dx}{x \ln x} = \int \frac{d(\ln x)}{\ln x} = \ln|\ln x| + C

---

第二类换元法（变量代换法）

令 $x = \psi(t)$，其中 \psi(t) 单调可导且 $\psi'(t) \neq 0$，则：

\int f(x) \, dx = \int f[\psi(t)] \, \psi'(t) \, dt

常用代换类型：

1. 三角代换

被积函数含	代换	适用区间	微元
\sqrt{a^2 - x^2}	x = a \sin t	\displaystyle[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]	dx = a \cos t \, dt
\sqrt{a^2 + x^2}	x = a \tan t	\displaystyle(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})	dx = a \sec^2 t \, dt
\sqrt{x^2 - a^2}	x = a \sec t	\displaystyle[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]	dx = a \sec t \tan t \, dt

2. 双曲函数代换

被积函数含	代换	微元
\sqrt{a^2 + x^2}	x = a \sinh t	dx = a \cosh t \, dt
\sqrt{x^2 - a^2}	x = a \cosh t	dx = a \sinh t \, dt

双曲函数代换优势：无需分类讨论符号，计算更简洁。

3. 根式代换

令 $t = \sqrt[n]{ax + b}$，则 $x = \dfrac{t^n - b}{a}$，dx = \dfrac{n t^{n-1}}{a} \, dt

适用类型：\displaystyle\int R(x, \sqrt[n]{ax+b}) \, dx

4. 倒代换

令 $x = \dfrac{1}{t}$，则 dx = -\dfrac{1}{t^2} \, dt

适用类型：分母次数比分子次数高较多时（通常差 2 次以上）

5. 指数代换

令 $t = e^x$，则 $x = \ln t$，dx = \dfrac{dt}{t}

适用类型：\displaystyle\int R(e^x) \, dx

6. 万能代换

令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$，则：

\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2} \, dt

适用类型：R(\sin x, \cos x) 有理函数形式（已在要点 05 中列出）

---

两类换元法对比

对比项	第一类换元法（凑微分）	第二类换元法（变量代换）
本质	$u = \varphi(x)$，从 x 到 u	$x = \psi(t)$，从 x 到 t
适用场景	被积函数中有"导数因子"	被积函数含根式、复杂表达式
操作难度	较简单，需观察导数关系	较复杂，需选择合适的代换
常见类型	凑微分表	三角/双曲/根式/倒代换

---

要点 07 - 分部积分法

基本公式

由乘法求导法则 (uv)' = u'v + uv' 两边积分得：

\int u \, dv = uv - \int v \, du

或写作：

\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) \, dx

核心思想：将被积函数分为两部分 u 和 $dv$，通过公式将不易直接积分的部分转化为更易积分的形式。

---

选择 u 和 dv 的原则

关键：u 应使导数变简单，dv 应易于积分。

LIATE 优先序（反-对-幂-三-指）

按以下顺序选择 $u$（优先级从高到低）：

类别	英文	示例
L - 反三角函数	Logarithmic inverse	\arcsin x, \arctan x
I - 对数函数	Inverse trigonometric	\ln x, \log_a x
A - 幂函数	Algebraic	x^n, ax+b
T - 三角函数	Trigonometric	\sin x, \cos x, \sec^2 x
E - 指数函数	Exponential	e^x, a^x

规则：排名靠前的选为 $u$，靠后的选为 $dv$。

示例：

\int x e^x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = x,\; dv = e^x \, dx

\int x \ln x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = \ln x,\; dv = x \, dx

\int e^x \sin x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = \sin x,\; dv = e^x \, dx \text{（指数和三角函数任选其一）}

---

常见类型与技巧

类型 1：幂函数 \times 指数/三角函数（u 取幂函数）

\int x^n e^{ax} \, dx,\quad \int x^n \sin(ax) \, dx,\quad \int x^n \cos(ax) \, dx

令 $u = x^n$，$dv = e^{ax} , dx$（或 $\sin(ax) , dx$、$\cos(ax) , dx$），需多次分部直至幂次降为 $0$。

类型 2：幂函数 \times 对数/反三角（u 取对数/反三角）

\int x^n \ln x \, dx,\quad \int x^n \arcsin x \, dx,\quad \int x^n \arctan x \, dx

令 $u = \ln x$（或 $\arcsin x$、$\arctan x$），$dv = x^n , dx$，一次分部即可消去对数/反三角。

类型 3：指数 \times 三角函数（循环分部）

\int e^{ax} \sin(bx) \, dx,\quad \int e^{ax} \cos(bx) \, dx

任选其一为 $u$，两次分部后出现原积分，移项求解。

示例：

\begin{align}
I &= \int e^{ax} \sin(bx) \, dx \\
  &= -\frac{e^{ax} \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b} \int e^{ax} \cos(bx) \, dx \\
  &= -\frac{e^{ax} \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b}\left(\frac{e^{ax} \sin(bx)}{b} - \frac{a}{b} I\right) \\
  &\Rightarrow I = \frac{e^{ax}(a \sin(bx) - b \cos(bx))}{a^2 + b^2} + C
\end{align}

类型 4：单独一个函数

\int \ln x \, dx,\quad \int \arcsin x \, dx,\quad \int \arctan x \, dx

令 $u = \ln x$（或 $\arcsin x$、$\arctan x$），$dv = dx$（凑出 1 作为 $dv$）。

示例：

\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - x + C

类型 5：分部与换元结合

先换元化简，再分部积分。常见于被积函数含复合结构时。

---

分部积分法推广公式

反复应用分部积分法则可得：

\int u v^{(n+1)} \, dx = u v^{(n)} - u' v^{(n-1)} + u'' v^{(n-2)} - \cdots + (-1)^{n+1} \int u^{(n+1)} v \, dx

---

知识点

• 定积分的定义
• 黎曼和与积分的关系
• 均匀分割技巧
• \frac{1}{x^2 + a^2} 型积分公式
• \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} 型积分公式
• \sqrt{x^2 \pm a^2} 型积分公式
• 三角函数积分（降幂、万能代换、积化和差）
• 第一类换元法（凑微分法）
• 第二类换元法（变量代换法：三角/双曲/根式/倒代换）
• 分部积分法（LIATE 优先序）
• 循环分部与移项求解