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笔记记录
要点 08 - 有理分式积分
基本概念
有理分式：两个多项式的比 \dfrac{P(x)}{Q(x)}
真分式：分子次数 < 分母次数
假分式：分子次数 \geq 分母次数，需先化为多项式 + 真分式
部分分式分解法
将真分式分解为若干简单分式之和：
1. 分母仅有线性因子
若分母可分解为 $(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}\cdots$，则：
\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-a_1} + \frac{A_2}{(x-a_1)^2} + \cdots + \frac{A_{m_1}}{(x-a_1)^{m_1}} + \frac{B_1}{x-a_2} + \cdots
2. 分母含二次因子
若分母含不可约二次因子 $x^2+px+q$，则对应项为：
\frac{Ax+B}{x^2+px+q}, \quad \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}
常见积分类型
类型 1：一次因子
\int \frac{dx}{x-a} = \ln|x-a| + C
\int \frac{dx}{(x-a)^n} = -\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \quad (n \neq 1)
类型 2：二次质因子
配方后分项积分：
\int \frac{x}{x^2+px+q} \, dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+px+q) - \frac{p}{2}\int \frac{dx}{x^2+px+q}
对于 $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+px+q}$，配方：
x^2+px+q = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2 + \left(q-\frac{p^2}{4}\right)
则：
\int \frac{dx}{x^2+px+q} = \frac{2}{\sqrt{4q-p^2}} \arctan \frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}} + C \quad (4q > p^2)
类型 3：二次因子幂次
\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n} = \frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2a^2(n-1)}\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{n-1}}
特别地，当 n=2 时：
\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^2} = \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\frac{x}{a} + C
积分步骤总结
- 化简：假分式化为多项式 + 真分式
- 分解：对分母因式分解，写出部分分式形式
- 待定系数：比较系数或代值法求系数
- 积分：逐项积分
示例
例：求 \displaystyle\int \frac{x+3}{x^2-5x+6} \, dx
解：分母因式分解 x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)
设 \displaystyle\frac{x+3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}
则 x+3 = A(x-3) + B(x-2) = (A+B)x - (3A+2B)
比较系数：\begin{cases} A+B=1 \\ 3A+2B=-3 \end{cases} \Rightarrow A=-5, B=6
故 \displaystyle\int \frac{x+3}{x^2-5x+6} \, dx = \int\left(\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3}\right)dx = -5\ln|x-2| + 6\ln|x-3| + C