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笔记记录
要点 09 - 反常积分的定义与分类
两种类型
| 类型 | 定义 | 记号 |
|---|---|---|
| 无穷限反常积分 | 积分区间无界 | \displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx,\ \int_{-\infty}^b f(x)dx,\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx |
| 瑕积分 | 被积函数无界 | $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$，其中 f(x) 在 $x \to a^+$（或 $x \to b^-$）时无界 |
无穷限反常积分的定义
设 f(x) 在 [a, +\infty) 上连续：
\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x)dx若该极限存在，则称积分收敛；否则发散。
瑕积分的定义
设 a 为瑕点（f(x) 在 x \to a^+ 时无界）：
\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)dx若该极限存在，则称积分收敛；否则发散。
要点 10 - 反常积分的比较判别法
定理形式（无穷限积分）
设 f(x), g(x) 在 [a, +\infty) 上非负连续：
一般形式： 若存在 $M > 0$，当 x 充分大时 $0 \le f(x) \le M \cdot g(x)$，则：
\displaystyle\int_a^{+\infty} g(x)dx收敛\Rightarrow\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx收敛\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx发散\Rightarrow\displaystyle\int_a^{+\infty} g(x)dx发散
极限形式： 设 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = l$：
l 的取值 |
结论 |
|---|---|
0 < l < +\infty |
\int f 与 \int g 同敛散 |
l = 0 |
\int g 收敛 \Rightarrow \int f 收敛 |
l = +\infty |
\int g 发散 \Rightarrow \int f 发散 |
定理形式（瑕积分）
设 f(x), g(x) 在 (a, b] 上非负连续，a 为瑕点：
一般形式： 若存在 $M > 0$，当 x \to a^+ 时 $0 \le f(x) \le M \cdot g(x)$，则：
\displaystyle\int_a^{b} g(x)dx收敛\Rightarrow\displaystyle\int_a^{b} f(x)dx收敛\displaystyle\int_a^{b} f(x)dx发散\Rightarrow\displaystyle\int_a^{b} g(x)dx发散
极限形式类同无穷限情形，区别在于极限取 $x \to a^+$。
常用比较基准
| 积分类型 | 被积函数 | 收敛条件 |
|---|---|---|
| 无穷限 | \displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^p}\,dx |
p > 1 收敛；p \le 1 发散 |
| 瑕积分 | \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{x^p}\,dx |
p < 1 收敛；p \ge 1 发散 |
瑕积分（a 为瑕点） |
\displaystyle\int_a^b \dfrac{1}{(x-a)^p}\,dx |
p < 1 收敛；p \ge 1 发散 |
记忆口诀
- 无穷限：
p > 1收（分母次数要够大，无穷远处衰减快） - 瑕积分：
p < 1收（分母次数要够小，瑕点附近不炸穿）
解题思路
- 判断反常积分类型（无穷限 / 瑕积分 / 混合型）
- 对被积函数取等价无穷小找出 $\dfrac{1}{x^p}$（
x \to +\infty或 $x \to a^+$） - 根据
p值与比较判别法的极限形式判定敛散性
典例
判别 \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\arctan x}{x^p}\,dx 的敛散性：
- 当
x \to 0^+时，$\arctan x \sim x$，$\dfrac{\arctan x}{x^p} \sim \dfrac{1}{x^{p-1}}$（瑕积分，x=0为瑕点）→ 需 $p-1 < 1$，即p < 2 - 当
x \to +\infty时，$\arctan x \to \dfrac{\pi}{2}$，$\dfrac{\arctan x}{x^p} \sim \dfrac{\pi}{2x^p}$（无穷限）→ 需p > 1
综合：1 < p < 2 时收敛。
知识点
- 反常积分的定义（无穷限 + 瑕积分）
- 无穷限反常积分的比较判别法（一般形式与极限形式）
- 瑕积分的比较判别法（一般形式与极限形式）
- 常用比较基准：
\displaystyle\int \frac{1}{x^p}\,dx - 等价无穷小在反常积分审敛中的应用
- 混合型反常积分的分段处理