postgraduate-prep/subjects/math/03_中值定理.md

笔记记录

要点 01 - 罗尔定理

定理内容

若 f(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 $f(a) = f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) = 0$。

应用场景

• 证明方程 f'(x)=0 在区间内有根
• 作为拉格朗日、柯西中值定理的基础
• 结合辅助函数证明等式 \exists\xi,\;F(\xi,f(\xi),f'(\xi))=0

---

要点 02 - 拉格朗日中值定理

定理内容

若 f(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得

f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)

常用形式

• 增量形式：f(x+\Delta x) - f(x) = f'(\xi)\Delta x
• 有限增量公式：$f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x-x_0)$，\xi 介于 x_0 与 x 之间

推论

1. 若 $\forall x \in (a,b),, f'(x) = 0$，则 f(x) 为常数
2. 若 $\forall x \in (a,b),, f'(x) > 0$，则 f(x) 单调递增
3. 若 $\forall x \in (a,b),, f'(x) < 0$，则 f(x) 单调递减
4. |f(b) - f(a)| \le \sup_{x\in(a,b)}|f'(x)|\cdot|b-a|

---

要点 03 - 柯西中值定理

定理内容

若 f(x), g(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 $g'(x) \neq 0$，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得

\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}

与拉格朗日中值定理的关系

令 $g(x) = x$，则柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理。

应用场景

• 证明含两个函数的等式
• 洛必达法则的理论基础

---

要点 04 - 泰勒公式

定理内容

若 f(x) 在 x_0 的邻域内 n+1 阶可导，则 \forall x 在该邻域内，存在 \xi 介于 x_0 与 x 之间，使得

f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x)

其中拉格朗日余项：R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

麦克劳林公式 ($x_0=0$)

f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}

与中值定理的关系

• n=0 时（零阶泰勒）为拉格朗日中值定理：f(x) = f(x_0) + f'(\xi)(x-x_0)
• 泰勒公式是中值定理的高阶推广

---

要点 05 - 积分中值定理

定理内容

若 f(x) 在 [a,b] 上连续，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得

\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a)

推广形式

若 f(x) 连续，g(x) 在 [a,b] 上不变号且可积，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得

\int_a^b f(x) g(x) \, dx = f(\xi) \int_a^b g(x) \, dx

---

要点 06 - 辅助函数构造法

核心思想

将要证明的等式 H(\xi, f(\xi), f'(\xi)) = 0 改写为微分方程形式，解出通解 $F(x, f(x)) = C$，构造 F(x, f(x)) 作为辅助函数，应用罗尔定理。

微分方程积分因子法

目标式形如 $f'(\xi) + P(\xi)f(\xi) = 0$：

1. 写作微分方程：f'(x) + P(x)f(x) = 0
2. 积分因子：\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}
3. 通解：f(x) \cdot \mu(x) = C
4. 辅助函数：F(x) = f(x) \cdot \mu(x)

常见辅助函数形式

目标结论	辅助函数
f'(\xi) = 0	F(x) = f(x)
f'(\xi) + k f(\xi) = 0	F(x) = f(x)e^{kx}
f'(\xi) = k	F(x) = f(x) - kx
f'(\xi)g(\xi) = f(\xi)g'(\xi)	F(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}
f'(\xi) + P(\xi)f(\xi) = 0	F(x) = f(x)e^{\int P(x)dx}