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笔记记录

要点 06 - 换元积分法

第一类换元法（凑微分法）

若 $\int f(u) , du = F(u) + C$，u = \varphi(x) 可微，则：

\int f[\varphi(x)] \, \varphi'(x) \, dx = \int f(u) \, du = F(u) + C = F[\varphi(x)] + C

核心思想：将被积函数中一部分"凑"成某个函数的导数，令其为一个新变量。

常见凑微分形式：

类型	凑微分	令 u
\int f(ax+b) \, dx	\displaystyle\frac{1}{a} \int f(ax+b) \, d(ax+b)	u = ax+b
\int f(x^n) \cdot x^{n-1} \, dx	\displaystyle\frac{1}{n} \int f(x^n) \, d(x^n)	u = x^n
\int f(\sin x) \cos x \, dx	\displaystyle\int f(\sin x) \, d(\sin x)	u = \sin x
\int f(\cos x) \sin x \, dx	\displaystyle-\int f(\cos x) \, d(\cos x)	u = \cos x
\int f(\tan x) \sec^2 x \, dx	\displaystyle\int f(\tan x) \, d(\tan x)	u = \tan x
\int f(e^x) e^x \, dx	\displaystyle\int f(e^x) \, d(e^x)	u = e^x
\int f(\ln x) \frac{1}{x} \, dx	\displaystyle\int f(\ln x) \, d(\ln x)	u = \ln x
\int f(\arcsin x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}	\displaystyle\int f(\arcsin x) \, d(\arcsin x)	u = \arcsin x
\int f(\arctan x) \frac{dx}{1+x^2}	\displaystyle\int f(\arctan x) \, d(\arctan x)	u = \arctan x

示例：

\int \frac{dx}{x \ln x} = \int \frac{d(\ln x)}{\ln x} = \ln|\ln x| + C

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第二类换元法（变量代换法）

令 $x = \psi(t)$，其中 \psi(t) 单调可导且 $\psi'(t) \neq 0$，则：

\int f(x) \, dx = \int f[\psi(t)] \, \psi'(t) \, dt

常用代换类型：

1. 三角代换

被积函数含	代换	适用区间	微元
\sqrt{a^2 - x^2}	x = a \sin t	\displaystyle[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]	dx = a \cos t \, dt
\sqrt{a^2 + x^2}	x = a \tan t	\displaystyle(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})	dx = a \sec^2 t \, dt
\sqrt{x^2 - a^2}	x = a \sec t	\displaystyle[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]	dx = a \sec t \tan t \, dt

2. 双曲函数代换

被积函数含	代换	微元
\sqrt{a^2 + x^2}	x = a \sinh t	dx = a \cosh t \, dt
\sqrt{x^2 - a^2}	x = a \cosh t	dx = a \sinh t \, dt

双曲函数代换优势：无需分类讨论符号，计算更简洁。

3. 根式代换

令 $t = \sqrt[n]{ax + b}$，则 $x = \dfrac{t^n - b}{a}$，dx = \dfrac{n t^{n-1}}{a} \, dt

适用类型：\displaystyle\int R(x, \sqrt[n]{ax+b}) \, dx

4. 倒代换

令 $x = \dfrac{1}{t}$，则 dx = -\dfrac{1}{t^2} \, dt

适用类型：分母次数比分子次数高较多时（通常差 2 次以上）

5. 指数代换

令 $t = e^x$，则 $x = \ln t$，dx = \dfrac{dt}{t}

适用类型：\displaystyle\int R(e^x) \, dx

6. 万能代换

令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$，则：

\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2} \, dt

适用类型：R(\sin x, \cos x) 有理函数形式（已在要点 05 中列出）

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两类换元法对比

对比项	第一类换元法（凑微分）	第二类换元法（变量代换）
本质	$u = \varphi(x)$，从 x 到 u	$x = \psi(t)$，从 x 到 t
适用场景	被积函数中有"导数因子"	被积函数含根式、复杂表达式
操作难度	较简单，需观察导数关系	较复杂，需选择合适的代换
常见类型	凑微分表	三角/双曲/根式/倒代换

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要点 07 - 分部积分法

基本公式

由乘法求导法则 (uv)' = u'v + uv' 两边积分得：

\int u \, dv = uv - \int v \, du

或写作：

\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) \, dx

核心思想：将被积函数分为两部分 u 和 $dv$，通过公式将不易直接积分的部分转化为更易积分的形式。

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选择 u 和 dv 的原则

关键：u 应使导数变简单，dv 应易于积分。

LIATE 优先序（反-对-幂-三-指）

按以下顺序选择 $u$（优先级从高到低）：

类别	英文	示例
L - 反三角函数	Logarithmic inverse	\arcsin x, \arctan x
I - 对数函数	Inverse trigonometric	\ln x, \log_a x
A - 幂函数	Algebraic	x^n, ax+b
T - 三角函数	Trigonometric	\sin x, \cos x, \sec^2 x
E - 指数函数	Exponential	e^x, a^x

规则：排名靠前的选为 $u$，靠后的选为 $dv$。

示例：

\int x e^x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = x,\; dv = e^x \, dx

\int x \ln x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = \ln x,\; dv = x \, dx

\int e^x \sin x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = \sin x,\; dv = e^x \, dx \text{（指数和三角函数任选其一）}

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常见类型与技巧

类型 1：幂函数 \times 指数/三角函数（u 取幂函数）

\int x^n e^{ax} \, dx,\quad \int x^n \sin(ax) \, dx,\quad \int x^n \cos(ax) \, dx

令 $u = x^n$，$dv = e^{ax} , dx$（或 $\sin(ax) , dx$、$\cos(ax) , dx$），需多次分部直至幂次降为 $0$。

类型 2：幂函数 \times 对数/反三角（u 取对数/反三角）

\int x^n \ln x \, dx,\quad \int x^n \arcsin x \, dx,\quad \int x^n \arctan x \, dx

令 $u = \ln x$（或 $\arcsin x$、$\arctan x$），$dv = x^n , dx$，一次分部即可消去对数/反三角。

类型 3：指数 \times 三角函数（循环分部）

\int e^{ax} \sin(bx) \, dx,\quad \int e^{ax} \cos(bx) \, dx

任选其一为 $u$，两次分部后出现原积分，移项求解。

示例：

\begin{align}
I &= \int e^{ax} \sin(bx) \, dx \\
  &= -\frac{e^{ax} \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b} \int e^{ax} \cos(bx) \, dx \\
  &= -\frac{e^{ax} \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b}\left(\frac{e^{ax} \sin(bx)}{b} - \frac{a}{b} I\right) \\
  &\Rightarrow I = \frac{e^{ax}(a \sin(bx) - b \cos(bx))}{a^2 + b^2} + C
\end{align}

类型 4：单独一个函数

\int \ln x \, dx,\quad \int \arcsin x \, dx,\quad \int \arctan x \, dx

令 $u = \ln x$（或 $\arcsin x$、$\arctan x$），$dv = dx$（凑出 1 作为 $dv$）。

示例：

\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - x + C

类型 5：分部与换元结合

先换元化简，再分部积分。常见于被积函数含复合结构时。

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分部积分法推广公式

反复应用分部积分法则可得：

\int u v^{(n+1)} \, dx = u v^{(n)} - u' v^{(n-1)} + u'' v^{(n-2)} - \cdots + (-1)^{n+1} \int u^{(n+1)} v \, dx

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