postgraduate-prep/subjects/math/04_积分_分式与根号型.md

笔记记录

要点 02 - 分式型积分（$a, b > 0$）

基本公式

\int \frac{dx}{a^2 x^2 + b^2} = \frac{1}{ab} \arctan \frac{ax}{b} + C

推导（换元法）：令 $t = \dfrac{a}{b} x$，则 $x = \dfrac{b}{a} t$，dx = \dfrac{b}{a} dt

\int \frac{dx}{a^2 x^2 + b^2} = \int \frac{\frac{b}{a} dt}{b^2 t^2 + b^2}
= \frac{1}{ab} \int \frac{dt}{t^2 + 1}
= \frac{1}{ab} \arctan t + C
= \frac{1}{ab} \arctan \frac{ax}{b} + C

推广形式

\int \frac{dx}{a^2 (x + c)^2 + b^2} = \frac{1}{ab} \arctan \frac{a(x + c)}{b} + C

\int \frac{x \, dx}{a^2 x^2 + b^2} = \frac{1}{2a^2} \ln(a^2 x^2 + b^2) + C

\int \frac{dx}{(a^2 x^2 + b^2)^2} = \frac{x}{2b^2(a^2 x^2 + b^2)} + \frac{1}{2ab^3} \arctan \frac{ax}{b} + C

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要点 03 - 根号分式型积分（$a, b > 0$）

基本公式

型 I：a^2 x^2 + b^2

\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 x^2 + b^2}} = \frac{1}{a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 + b^2}\right| + C
= \frac{1}{a} \operatorname{arsinh} \frac{ax}{b} + C

型 II：a^2 x^2 - b^2

\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 x^2 - b^2}} = \frac{1}{a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 - b^2}\right| + C \quad (|ax| > |b|)
= \frac{1}{a} \operatorname{arcosh} \frac{ax}{b} + C

型 III：b^2 - a^2 x^2

\int \frac{dx}{\sqrt{b^2 - a^2 x^2}} = \frac{1}{a} \arcsin \frac{ax}{b} + C \quad (|ax| < |b|)

推导方法

令 $t = ax$，则 $x = \dfrac{t}{a}$，$dx = \dfrac{dt}{a}$，化为标准形式后代入已知公式。

型 I（x = \frac{b}{a} \sinh t 或 $t = b \sinh u$）：

\begin{align}
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 x^2 + b^2}}
    &= \frac{1}{a} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + b^2}}
    = \frac{1}{a} \ln\left|t + \sqrt{t^2 + b^2}\right| + C \\
    &= \frac{1}{a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 + b^2}\right| + C
\end{align}

型 II（$x = \frac{b}{a} \cosh t$）：

\begin{align}
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 x^2 - b^2}}
    &= \frac{1}{a} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - b^2}}
    = \frac{1}{a} \ln\left|t + \sqrt{t^2 - b^2}\right| + C \quad (|t| > |b|) \\
    &= \frac{1}{a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 - b^2}\right| + C
\end{align}

型 III（$x = \frac{b}{a} \sin t$）：

\begin{align}
\int \frac{dx}{\sqrt{b^2 - a^2 x^2}}
    &= \frac{1}{a} \int \frac{dt}{\sqrt{b^2 - t^2}}
    = \frac{1}{a} \arcsin \frac{t}{b} + C \quad (|t| < |b|) \\
    &= \frac{1}{a} \arcsin \frac{ax}{b} + C
\end{align}

推广形式

\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 (x + c)^2 + b^2}} = \frac{1}{a} \ln\left|a(x + c) + \sqrt{a^2 (x + c)^2 + b^2}\right| + C

\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 (x + c)^2 - b^2}} = \frac{1}{a} \ln\left|a(x + c) + \sqrt{a^2 (x + c)^2 - b^2}\right| + C \quad (|a(x + c)| > |b|)

\int \frac{x \, dx}{\sqrt{a^2 x^2 + b^2}} = \frac{1}{a^2} \sqrt{a^2 x^2 + b^2} + C

\int \frac{x \, dx}{\sqrt{a^2 x^2 - b^2}} = \frac{1}{a^2} \sqrt{a^2 x^2 - b^2} + C

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要点 04 - 根号二次型积分（$a, b > 0$）

基本公式

令 $t = ax$，统一化为标准形式后积分。

型 I：\sqrt{a^2 x^2 + b^2}

\int \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 x^2 + b^2} + \frac{b^2}{2a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 + b^2}\right| + C

型 II：\sqrt{a^2 x^2 - b^2}

\int \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 x^2 - b^2} - \frac{b^2}{2a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 - b^2}\right| + C \quad (|ax| > |b|)

型 III：\sqrt{b^2 - a^2 x^2}

\int \sqrt{b^2 - a^2 x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{b^2 - a^2 x^2} + \frac{b^2}{2a} \arcsin\frac{ax}{b} + C \quad (|ax| < |b|)

推导方法

令 $t = ax$，则 $x = \frac{t}{a}$，$dx = \frac{dt}{a}$，化为对 t 的标准形式。

型 I（$t = b \sinh u$）：

\begin{align}
\int \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \, dx
    &= \frac{1}{a} \int \sqrt{t^2 + b^2} \, dt
    = \frac{1}{a} \left( \frac{t}{2}\sqrt{t^2 + b^2} + \frac{b^2}{2}\ln\left|t + \sqrt{t^2 + b^2}\right| \right) + C \\
    &= \frac{x}{2}\sqrt{a^2 x^2 + b^2} + \frac{b^2}{2a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 + b^2}\right| + C
\end{align}

型 II（$t = b \cosh u$）：

\begin{align}
\int \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \, dx
    &= \frac{1}{a} \int \sqrt{t^2 - b^2} \, dt
    = \frac{1}{a} \left( \frac{t}{2}\sqrt{t^2 - b^2} - \frac{b^2}{2}\ln\left|t + \sqrt{t^2 - b^2}\right| \right) + C \\
    &= \frac{x}{2}\sqrt{a^2 x^2 - b^2} - \frac{b^2}{2a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 - b^2}\right| + C
\end{align}

型 III（$t = b \sin u$）：

\begin{align}
\int \sqrt{b^2 - a^2 x^2} \, dx
    &= \frac{1}{a} \int \sqrt{b^2 - t^2} \, dt
    = \frac{1}{a} \left( \frac{t}{2}\sqrt{b^2 - t^2} + \frac{b^2}{2}\arcsin\frac{t}{b} \right) + C \\
    &= \frac{x}{2}\sqrt{b^2 - a^2 x^2} + \frac{b^2}{2a} \arcsin\frac{ax}{b} + C
\end{align}

推广形式

\int x\sqrt{a^2 x^2 + b^2} \, dx = \frac{1}{3a^2}(a^2 x^2 + b^2)^{3/2} + C

\int x\sqrt{a^2 x^2 - b^2} \, dx = \frac{1}{3a^2}(a^2 x^2 - b^2)^{3/2} + C

\int x\sqrt{b^2 - a^2 x^2} \, dx = -\frac{1}{3a^2}(b^2 - a^2 x^2)^{3/2} + C

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