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# 三角函数记忆口诀
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## 奇变偶不变，符号看象限
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用于三角函数诱导公式的记忆：
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- **奇变偶不变**：若 $k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$ 中的 $k$ 为奇数，则函数名改变（sin ↔ cos, tan ↔ cot）；若 $k$ 为偶数，则函数名不变。
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- **符号看象限**：将 $\alpha$ 视为锐角，判断原函数在对应象限的符号。
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### 示例
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| 公式 | k | 变/不变 | 象限 | 符号 | 结果 |
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|------|---|---------|------|------|------|
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| $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ | 1(奇) | sin→cos | 第二象限 sin>0 | + | $\cos\alpha$ |
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| $\cos(\pi + \alpha)$ | 2(偶) | cos→cos | 第三象限 cos<0 | - | $-\cos\alpha$ |
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## 常用特殊角三角函数值
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| 角度 | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
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|------|----|-----|-----|-----|-----|
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| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 |
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| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 |
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| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | ∞ |
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## 和差化积 & 积化和差
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### 和差化积
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- $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
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- $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$
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- $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$
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- $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$
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### 积化和差
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- $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$
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- $\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$
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- $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$
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- $\sin A \sin B = -\frac{1}{2}[\cos(A+B) - \cos(A-B)]$
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## 六种三角函数关系
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### 基本定义
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| 函数 | 定义 | 值域 |
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|------|------|------|
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| $\sin x$ | 对边/斜边 | $[-1, 1]$ |
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| $\cos x$ | 邻边/斜边 | $[-1, 1]$ |
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| $\tan x$ | $\sin x / \cos x$ | $\mathbb{R}$ |
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| $\cot x$ | $\cos x / \sin x = 1/\tan x$ | $\mathbb{R}$ |
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| $\sec x$ | $1/\cos x$ | $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ |
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| $\csc x$ | $1/\sin x$ | $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ |
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### 倒数关系
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- $\sin x \cdot \csc x = 1$
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- $\cos x \cdot \sec x = 1$
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- $\tan x \cdot \cot x = 1$
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### 平方关系
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- $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
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- $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$
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- $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$
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### 商数关系
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- $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
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- $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$
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