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杂项随手记

个人做題中发现的零散规律、技巧、踩坑记录，不讲究格式。

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积分

含 \ln x 的积分/级数审敛规律

对于含 \ln x 因子的反常积分或正项级数，\ln x 不改变敛散的临界 p 值：

• 在 = 临界值时，含 \ln 会发散
• 在 > 或 < 时，\ln 被幂函数「吃掉」

位置	不含 \ln	含 \ln
$x \to 0^+$（瑕积分）	$\int_0 \frac{dx}{x^p}$：p<1 收	$\int_0 \frac{
x \to +\infty	$\int^\infty \frac{dx}{x^p}$：p>1 收	$\int^\infty \frac{\ln x}{x^p}dx$：p>1 收，p=1 散
正项级数	$\sum \frac{1}{n^p}$：p>1 收	$\sum \frac{\ln n}{n^p}$：p>1 收，p=1 散

一句话：\ln 只影响 p = \text{临界值} 的情况（翻为发散），不影响 p > \text{临界} 或 p < \text{临界} 时的敛散。

比较函数选取技巧

审敛时找不到合适的 $g(x)$？按以下优先级尝试：

1. 等价无穷小/大：去掉常数和无关因子，保留主部
2. 幂函数：1/x^p 永远是最佳比较基准
3. 含 \ln 型：转化为幂函数 x^\varepsilon \ln x \to 0 的放缩

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级数

审敛法选用顺序

拿到一个正项级数，按这个顺序试：

1. 通项不趋于 0？→ 直接发散
2. 含 $n!$、$a^n$、$n^n$？→ 比值法
3. 含 n 次方整体？→ 根值法
4. 通项 $\sim 1/n^p$？→ 比较法极限形式
5. 单调递减函数 $f(n)$？→ 积分判别法

易错

• 比值/根值法 \rho = 1 时无法判断，不能直接用 =1 说收敛或发散
• 交错级数不能用比值/根值法（那些只适用于正项级数）
• 绝对收敛做乘积（柯西乘积）仍绝对收敛；条件收敛没有这个性质

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极限

指数型极限套路

\lim f(x)^{g(x)} 型 → 一律取对数：

\lim f^g = \exp\left(\lim g \cdot \ln f\right)

再处理 \ln f 的等价无穷小。

等价无穷小替换禁区

• 加减中不能随便替换（除非是因子）
• 含 $\sin$、$\tan$、\arctan 的混合式，优先泰勒展开到同阶

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一元微分

中值定理证明题套路

遇到「存在 \xi 使 $F(\xi, f(\xi), f'(\xi)) = 0$」：

1. 把 f' 换成 $\frac{df}{dx}$，尝试分离变量
2. 构造辅助函数 = 积分因子 × 原方程
3. 对辅助函数用罗尔定理

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做题习惯

• 看到反常积分先判断类型：无穷限？瑕积分？混合？
• 混合型反常积分必须分两端讨论，取交集
• 遇到 p 取值范围题，边界值单独验证（往往是发散）

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持续更新，想起来就记一笔。