feat: 增加错题 1/(a+b cosx) 积分（万能代换+判别式分情况）

mistakes/math/04_积分.md

@@ -169,3 +169,72 @@ $I_1$ 与 $I_2$ 均绝对收敛 $\;\Longrightarrow\;$ 原积分 $I$ 收敛。
 - 瑕积分审敛：$x \to 0^+$ 时比较基准 $\displaystyle\int_0 \frac{1}{x^q}dx$（$q < 1$ 收敛）
 - 无穷限积分审敛：$x \to +\infty$ 时比较基准 $\displaystyle\int^{+\infty} \frac{1}{x^q}dx$（$q > 1$ 收敛）
 - $\ln x$ 因子不改变积分敛散性的临界值，但在 $=$ 临界值时会导致发散
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+---
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+### 题目 02
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+求不定积分
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+$$\int \frac{dx}{a + b\cos x}$$
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+其中 $a, b$ 为常数，讨论不同参数下的结果。
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+### 错误原因
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+不区分 $|a|$ 与 $|b|$ 的大小关系直接套用万能代换 $t = \tan\frac{x}{2}$，导致结果形式错误或遗漏奇点。万能代换会将被积函数化为有理分式，但判别式 $\Delta = a^2 - b^2$ 的正负决定了有理分式的分解方式，忽略判别会写出不成立的 arctan 或 ln 形式。
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+### 正确答案
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+**万能代换**：令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$，则
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+$$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad dx = \frac{2}{1+t^2}dt$$
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+代入得：
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+$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \int \frac{2}{(a+b) + (a-b)t^2}\,dt$$
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+**情形 1**：$a^2 > b^2$（分母恒正）
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+令 $\lambda = \sqrt{\dfrac{a-b}{a+b}}$，则：
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+$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \arctan\!\left( \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\;\tan\frac{x}{2} \right) + C$$
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+---
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+**情形 2**：$a^2 = b^2$
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+- 若 $a = b$：
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+  $$\int \frac{dx}{a + a\cos x} = \frac{1}{a}\int \frac{dx}{1 + \cos x} = \frac{1}{a}\tan\frac{x}{2} + C$$
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+- 若 $a = -b$：
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+  $$\int \frac{dx}{a - a\cos x} = \frac{1}{a}\int \frac{dx}{1 - \cos x} = -\frac{1}{a}\cot\frac{x}{2} + C$$
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+---
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+**情形 3**：$a^2 < b^2$（分母可为零，出现瑕点）
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+$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{1}{\sqrt{b^2 - a^2}} \ln\left| \frac{\sqrt{b^2-a^2}\tan\frac{x}{2} + b + a}{\sqrt{b^2-a^2}\tan\frac{x}{2} - b - a} \right| + C$$
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+或等价地：
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+$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{1}{\sqrt{b^2 - a^2}} \ln\left| \frac{\sqrt{b+a} + \sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{b+a} - \sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}} \right| + C$$
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+---
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+**结论速查表**
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+| 条件 | 结果类型 | 关键公式 |
+|------|---------|----------|
+| $a^2 > b^2$ | $\arctan$ 型 | $\dfrac{2}{\sqrt{a^2-b^2}}\arctan\!\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan\frac{x}{2}\right)$ |
+| $a^2 = b^2$ | $\tan$/$\cot$ 型 | $\frac{1}{a}\tan\frac{x}{2}$ 或 $-\frac{1}{a}\cot\frac{x}{2}$ |
+| $a^2 < b^2$ | $\ln$ 型 | $\dfrac{1}{\sqrt{b^2-a^2}}\ln\!\left|\frac{\sqrt{b+a}+\sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{b+a}-\sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}}\right|$ |
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+### 知识点
+- 万能代换 $t = \tan\frac{x}{2}$ 化三角有理式为有理分式
+- 判别式 $\Delta = a^2 - b^2$ 决定被积函数结构和结果形式
+- $\arctan$ vs $\ln$ 的转换本质：$\displaystyle\int \frac{dt}{\alpha^2 + t^2}$ vs $\displaystyle\int \frac{dt}{t^2 - \alpha^2}$

mistakes/math/README.md

@@ -99,6 +99,7 @@ mistakes/math/
 | 03_中值定理 | [题目01 - 罗尔定理与辅助函数](03_中值定理.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
 | 03_中值定理 | [题目02 - 拉格朗日中值定理](03_中值定理.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
 | 04_积分 | [题目01 - 反常积分敛散性判别](04_积分.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
+| 04_积分 | [题目02 - 1/(a+bcosx) 积分讨论](04_积分.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
 
 ### 杂项
 | 文件 | 说明 |