From f3dfb5273d708f7818bd0720933002f99435004e Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: ViperEkura <3081035982@qq.com>
Date: Thu, 14 May 2026 14:57:42 +0800
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?feat:=20=E5=A2=9E=E5=8A=A0=E9=94=99=E9=A2=98=20?=
 =?UTF-8?q?1/(a+b=20cosx)=20=E7=A7=AF=E5=88=86=EF=BC=88=E4=B8=87=E8=83=BD?=
 =?UTF-8?q?=E4=BB=A3=E6=8D=A2+=E5=88=A4=E5=88=AB=E5=BC=8F=E5=88=86?=
 =?UTF-8?q?=E6=83=85=E5=86=B5=EF=BC=89?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 mistakes/math/04_积分.md | 69 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 mistakes/math/README.md  |  1 +
 2 files changed, 70 insertions(+)

diff --git a/mistakes/math/04_积分.md b/mistakes/math/04_积分.md
index a9af1e8..78293de 100644
--- a/mistakes/math/04_积分.md
+++ b/mistakes/math/04_积分.md
@@ -169,3 +169,72 @@ $I_1$ 与 $I_2$ 均绝对收敛 $\;\Longrightarrow\;$ 原积分 $I$ 收敛。
 - 瑕积分审敛：$x \to 0^+$ 时比较基准 $\displaystyle\int_0 \frac{1}{x^q}dx$（$q < 1$ 收敛）
 - 无穷限积分审敛：$x \to +\infty$ 时比较基准 $\displaystyle\int^{+\infty} \frac{1}{x^q}dx$（$q > 1$ 收敛）
 - $\ln x$ 因子不改变积分敛散性的临界值，但在 $=$ 临界值时会导致发散
+
+---
+
+### 题目 02
+
+求不定积分
+
+$$\int \frac{dx}{a + b\cos x}$$
+
+其中 $a, b$ 为常数，讨论不同参数下的结果。
+
+### 错误原因
+
+不区分 $|a|$ 与 $|b|$ 的大小关系直接套用万能代换 $t = \tan\frac{x}{2}$，导致结果形式错误或遗漏奇点。万能代换会将被积函数化为有理分式，但判别式 $\Delta = a^2 - b^2$ 的正负决定了有理分式的分解方式，忽略判别会写出不成立的 arctan 或 ln 形式。
+
+### 正确答案
+
+**万能代换**：令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$，则
+
+$$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad dx = \frac{2}{1+t^2}dt$$
+
+代入得：
+
+$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \int \frac{2}{(a+b) + (a-b)t^2}\,dt$$
+
+---
+
+**情形 1**：$a^2 > b^2$（分母恒正）
+
+令 $\lambda = \sqrt{\dfrac{a-b}{a+b}}$，则：
+
+$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \arctan\!\left( \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\;\tan\frac{x}{2} \right) + C$$
+
+---
+
+**情形 2**：$a^2 = b^2$
+
+- 若 $a = b$：
+
+  $$\int \frac{dx}{a + a\cos x} = \frac{1}{a}\int \frac{dx}{1 + \cos x} = \frac{1}{a}\tan\frac{x}{2} + C$$
+
+- 若 $a = -b$：
+
+  $$\int \frac{dx}{a - a\cos x} = \frac{1}{a}\int \frac{dx}{1 - \cos x} = -\frac{1}{a}\cot\frac{x}{2} + C$$
+
+---
+
+**情形 3**：$a^2 < b^2$（分母可为零，出现瑕点）
+
+$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{1}{\sqrt{b^2 - a^2}} \ln\left| \frac{\sqrt{b^2-a^2}\tan\frac{x}{2} + b + a}{\sqrt{b^2-a^2}\tan\frac{x}{2} - b - a} \right| + C$$
+
+或等价地：
+
+$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{1}{\sqrt{b^2 - a^2}} \ln\left| \frac{\sqrt{b+a} + \sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{b+a} - \sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}} \right| + C$$
+
+---
+
+**结论速查表**
+
+| 条件 | 结果类型 | 关键公式 |
+|------|---------|----------|
+| $a^2 > b^2$ | $\arctan$ 型 | $\dfrac{2}{\sqrt{a^2-b^2}}\arctan\!\left(\sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\tan\frac{x}{2}\right)$ |
+| $a^2 = b^2$ | $\tan$/$\cot$ 型 | $\frac{1}{a}\tan\frac{x}{2}$ 或 $-\frac{1}{a}\cot\frac{x}{2}$ |
+| $a^2 < b^2$ | $\ln$ 型 | $\dfrac{1}{\sqrt{b^2-a^2}}\ln\!\left|\frac{\sqrt{b+a}+\sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{b+a}-\sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}}\right|$ |
+
+### 知识点
+- 万能代换 $t = \tan\frac{x}{2}$ 化三角有理式为有理分式
+- 判别式 $\Delta = a^2 - b^2$ 决定被积函数结构和结果形式
+- $\arctan$ vs $\ln$ 的转换本质：$\displaystyle\int \frac{dt}{\alpha^2 + t^2}$ vs $\displaystyle\int \frac{dt}{t^2 - \alpha^2}$
diff --git a/mistakes/math/README.md b/mistakes/math/README.md
index a696806..7663524 100644
--- a/mistakes/math/README.md
+++ b/mistakes/math/README.md
@@ -99,6 +99,7 @@ mistakes/math/
 | 03_中值定理 | [题目01 - 罗尔定理与辅助函数](03_中值定理.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
 | 03_中值定理 | [题目02 - 拉格朗日中值定理](03_中值定理.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
 | 04_积分 | [题目01 - 反常积分敛散性判别](04_积分.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
+| 04_积分 | [题目02 - 1/(a+bcosx) 积分讨论](04_积分.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
 
 ### 杂项
 | 文件 | 说明 |