feat: 增加sec 积分解释

subjects/math/04_积分.md

@@ -265,6 +265,30 @@ $$
 \int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C
 $$
 
+$$
+\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C
+$$
+
+$$
+\int \csc x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C
+$$
+
+$$
+\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
+$$
+
+$$
+\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
+$$
+
+$$
+\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C
+$$
+
+$$
+\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C
+$$
+
 #### 万能代换
 
 令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则：
@@ -285,6 +309,55 @@ $$
 \int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2} x \, dx
 $$
 
+$$
+\int \sec^n x \, dx = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2} x \, dx \quad (n \neq 1)
+$$
+
+$$
+\int \csc^n x \, dx = -\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2} x \, dx \quad (n \neq 1)
+$$
+
+**secⁿ 递推公式推导**（分部积分法）：
+
+设 $I_n = \int \sec^n x \, dx$，改写为 $\int \sec^{n-2} x \cdot \sec^2 x \, dx$。
+
+令 $u = \sec^{n-2} x$，$dv = \sec^2 x \, dx$，则：
+$$
+du = (n-2)\sec^{n-2} x \tan x \, dx,\quad v = \tan x
+$$
+
+代入分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$：
+$$
+\begin{aligned}
+I_n &= \sec^{n-2} x \tan x - \int \tan x \cdot (n-2)\sec^{n-2} x \tan x \, dx \\
+    &= \sec^{n-2} x \tan x - (n-2)\int \sec^{n-2} x \tan^2 x \, dx
+\end{aligned}
+$$
+
+利用 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$：
+$$
+I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2)\int \sec^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx
+$$
+
+$$
+I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2) I_n + (n-2) I_{n-2}
+$$
+
+移项合并 $I_n$ 项：
+$$
+(n-1) I_n = \sec^{n-2} x \tan x + (n-2) I_{n-2}
+$$
+
+$$
+\boxed{I_n = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} I_{n-2}}
+$$
+
+需要两个初始条件：
+- $I_1 = \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$
+- $I_2 = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
+
+**cscⁿ 递推公式推导**类似，利用 $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$。
+
 #### 积化和差
 
 $$