feat: 增加错题04-06（变限积分求导/|x-t|奇偶性/√x²绝对值陷阱）
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@ -296,3 +296,180 @@ $$\boxed{
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- **分母有理化优先**：含 $\sqrt{A} \pm \sqrt{B}$ 型，同乘共轭将分母化为有理式
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- $\displaystyle\int\sqrt{x^2 \pm a^2}\,dx$、$\displaystyle\int\sqrt{x^2 \pm a x}\,dx$ 的标准公式（配平方后套用）
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- 复杂根式换元前先观察能否有理化简化——有理化往往比暴力换元省 80% 的计算量
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### 题目 04
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若函数 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续，
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g(x) = \int_0^{2x} f\!\left(x + \frac{t}{2}\right) dt
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则当 $x \to 0^+$ 时，$g(x)$ 是 $\sqrt{x}$ 的
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(A) 高阶无穷小   (B) 低阶无穷小   (C) 等价无穷小   (D) 同阶但非等价无穷小
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### 错误原因
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直接对 $g(x)$ 应用变限积分求导公式，忽略了被积函数 $f(x + t/2)$ 中也含有 $x$，少算了 $\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}$ 项：
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**❌ 错误做法**：
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g'(x) = f\!\left(x + \frac{2x}{2}\right) \cdot (2x)' = 2f(2x)
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**正确做法**：先换元将 $x$ 从被积函数中分离出来，再求导。
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### 正确答案
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**换元**：令 $u = x + \dfrac{t}{2}$，则 $dt = 2\,du$，
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t = 0 \Rightarrow u = x,\qquad t = 2x \Rightarrow u = 2x
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g(x) = \int_0^{2x} f\!\left(x + \frac{t}{2}\right) dt
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= \int_x^{2x} f(u) \cdot 2\,du
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= 2\int_x^{2x} f(u)\,du
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**求导**（此时被积函数不含 $x$）：
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g'(x) = 2\bigl[ f(2x)\cdot(2x)' - f(x)\cdot x' \bigr]
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= 2\bigl[ 2f(2x) - f(x) \bigr]
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= 4f(2x) - 2f(x)
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**确定无穷小的阶**：由积分中值定理，存在 $\xi \in [x, 2x]$ 使得
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g(x) = 2\int_x^{2x} f(u)\,du = 2f(\xi)\,(2x - x) = 2x f(\xi)
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当 $x \to 0^+$ 时 $\xi \to 0^+$，$f(\xi) \to f(0)$（$f$ 连续），故
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\lim_{x\to 0^+} \frac{g(x)}{\sqrt{x}}
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= \lim_{x\to 0^+} \frac{2x f(\xi)}{\sqrt{x}}
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= \lim_{x\to 0^+} 2\sqrt{x}\,f(\xi)
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= 0
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$$
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所以 $g(x)$ 是 $\sqrt{x}$ 的 **高阶无穷小**，选 **A**。
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### 知识点
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- 含参变量 $x$ 的变限积分，求导前先换元将 $x$ 从被积函数中分离
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- 换元时须同步更新积分上下限
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- Leibniz 公式：$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} F(x,t)\,dt = F(x,b(x))b'(x) - F(x,a(x))a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial F}{\partial x} dt$
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- 无穷小阶数的判定：极限为 $c \neq 0$ 则同阶，$c = 1$ 则等价
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### 题目 05
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设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续且为偶函数，$a>0$，
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$$
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g(x) = \int_{-a}^{a} |x - t|\,f(t)\,dt
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则在 $[-a,a]$ 上（ ）。
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(A) $g(x)$ 是单调递增函数   (B) $g(x)$ 是单调递减函数   (C) $g(x)$ 是偶函数   (D) $g(x)$ 是奇函数
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### 错误原因
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凭直觉认为 $|x - t|$ 不是偶函数也不是奇函数，加上 $f(t)$ 为偶函数后结果「应该没有奇偶性」，忽略了变量代换后 $|x - t|$ 的对称性恰好使 $g(x)$ 为偶。
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另一种错误：试图先求导判断单调性，但未意识到 $g'(x)$ 的正负取决于 $f$ 的具体形式，无法确定单调性。
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### 正确答案
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**考查奇偶性**：作代换 $u = -t$：
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\begin{aligned}
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g(-x) &= \int_{-a}^{a} |-x - t|\,f(t)\,dt \\
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&= \int_{a}^{-a} |-x + u|\,f(-u)\,(-du) \\
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&= \int_{-a}^{a} |u - x|\,f(u)\,du \qquad (\text{偶性} \Rightarrow f(-u)=f(u)) \\
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&= \int_{-a}^{a} |x - u|\,f(u)\,du = g(x)
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\end{aligned}
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$$
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故 $g(x)$ 为 **偶函数**。
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**考查单调性**（反例）：取 $f(t) \equiv 1$，则
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$$
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g(x) = \int_{-a}^{a} |x - t|\,dt
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= (a^2 + x^2) - \bigl( -a^2 - x^2 \bigr) = 2(a^2 + x^2)
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$$
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$g(x)$ 在 $[-a,0]$ 递减、$[0,a]$ 递增，并非整体单调。故单调性不成立。
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综上，恒成立的结论是 $g(x)$ 为偶函数，选 **C**。
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### 知识点
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- 含绝对值的积分奇偶性判断：作变量代换 $t \to -t$
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- 偶函数 $\times$ 偶函数 $\to$ 偶函数；$|x-t|$ 在代换 $x\to -x,\;t\to -t$ 下不变
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- 单调性需具体分析，不能仅由被积函数形式直接推断
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### 题目 06
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若 $y(x) = \displaystyle\int_{2}^{x^{2}} e^{-\sqrt{t}}\,dt$，则 $\left.\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=-1} =$（ ）
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(A) $0$   (B) $1$   (C) $4e^{-1}$   (D) $4e$
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### 错误原因
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对 $\sqrt{x^{2}}$ 的处理忽略了绝对值：$\sqrt{x^{2}} = |x|$，而非 $x$。当 $x=-1$ 时，$|x| = 1$，而错误地认为 $\sqrt{(-1)^{2}} = -1$ 会导致符号错误。
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**❌ 错误做法**：
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y'(x) = e^{-\sqrt{x^{2}}} \cdot 2x = 2x e^{-x}
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\quad\Rightarrow\quad
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y''(x) = 2e^{-x}(1 - x)
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\quad\Rightarrow\quad
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y''(-1) = 2e^{1}(1 + 1) = 4e \quad\text{(选 D)}
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### 正确答案
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由 Leibniz 公式：
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y'(x) = e^{-\sqrt{x^{2}}} \cdot (x^{2})' = 2x\,e^{-|x|}
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$$
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在 $x=-1$ 的邻域内 $x<0$，故 $|x| = -x$，$e^{-|x|} = e^{x}$：
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$$
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y'(x) = 2x\,e^{x} \qquad (x < 0)
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$$
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再求导：
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$$
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y''(x) = 2e^{x} + 2x e^{x} = 2e^{x}(1 + x)
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$$
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代入 $x=-1$：
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$$
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y''(-1) = 2e^{-1}(1 - 1) = 0
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$$
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选 **A**。
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### 知识点
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- 变限积分求导：$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a}^{\varphi(x)} f(t)\,dt = f(\varphi(x))\,\varphi'(x)$
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- $\sqrt{x^{2}} = |x|$，分段处理绝对值
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- 复合函数求导注意符号细节
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@ -101,6 +101,9 @@ mistakes/math/
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| 04_积分 | [题目01 - 反常积分敛散性判别](04_积分.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
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| 04_积分 | [题目02 - 1/(a+bcosx) 积分讨论](04_积分.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
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| 04_积分 | [题目03 - 1+√((1+x)/x) 积分](04_积分.md#题目-03) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
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| 04_积分 | [题目04 - 变限积分含参变量求导](04_积分.md#题目-04) | [概念] | ⭐⭐⭐ |
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| 04_积分 | [题目05 - |x-t| 含参积分奇偶性](04_积分.md#题目-05) | [概念] | ⭐⭐⭐ |
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| 04_积分 | [题目06 - 变限积分二阶导](04_积分.md#题目-06) | [计算] | ⭐⭐⭐ |
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### 杂项
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| 文件 | 说明 |
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