From 8e89ff2764207a56fa394cc22ccd81b2f930575d Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ViperEkura <3081035982@qq.com> Date: Mon, 18 May 2026 21:54:04 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?feat:=20=E5=A2=9E=E5=8A=A0=E9=94=99=E9=A2=9804-?= =?UTF-8?q?06=EF=BC=88=E5=8F=98=E9=99=90=E7=A7=AF=E5=88=86=E6=B1=82?= =?UTF-8?q?=E5=AF=BC/|x-t|=E5=A5=87=E5=81=B6=E6=80=A7/=E2=88=9Ax=C2=B2?= =?UTF-8?q?=E7=BB=9D=E5=AF=B9=E5=80=BC=E9=99=B7=E9=98=B1=EF=BC=89?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- mistakes/math/04_积分.md | 177 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ mistakes/math/README.md | 3 + 2 files changed, 180 insertions(+) diff --git a/mistakes/math/04_积分.md b/mistakes/math/04_积分.md index d455d97..466e38b 100644 --- a/mistakes/math/04_积分.md +++ b/mistakes/math/04_积分.md @@ -296,3 +296,180 @@ $$\boxed{ - **分母有理化优先**：含 $\sqrt{A} \pm \sqrt{B}$ 型，同乘共轭将分母化为有理式 - $\displaystyle\int\sqrt{x^2 \pm a^2}\,dx$、$\displaystyle\int\sqrt{x^2 \pm a x}\,dx$ 的标准公式（配平方后套用） - 复杂根式换元前先观察能否有理化简化——有理化往往比暴力换元省 80% 的计算量 + +--- + +### 题目 04 + +若函数 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续， + +$$ +g(x) = \int_0^{2x} f\!\left(x + \frac{t}{2}\right) dt +$$ + +则当 $x \to 0^+$ 时，$g(x)$ 是 $\sqrt{x}$ 的 + +(A) 高阶无穷小   (B) 低阶无穷小   (C) 等价无穷小   (D) 同阶但非等价无穷小 + +### 错误原因 + +直接对 $g(x)$ 应用变限积分求导公式，忽略了被积函数 $f(x + t/2)$ 中也含有 $x$，少算了 $\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}$ 项： + +**❌ 错误做法**： + +$$ +g'(x) = f\!\left(x + \frac{2x}{2}\right) \cdot (2x)' = 2f(2x) +$$ + +**正确做法**：先换元将 $x$ 从被积函数中分离出来，再求导。 + +### 正确答案 + +**换元**：令 $u = x + \dfrac{t}{2}$，则 $dt = 2\,du$， + +$$ +t = 0 \Rightarrow u = x,\qquad t = 2x \Rightarrow u = 2x +$$ + +$$ +g(x) = \int_0^{2x} f\!\left(x + \frac{t}{2}\right) dt + = \int_x^{2x} f(u) \cdot 2\,du + = 2\int_x^{2x} f(u)\,du +$$ + +**求导**（此时被积函数不含 $x$）： + +$$ +g'(x) = 2\bigl[ f(2x)\cdot(2x)' - f(x)\cdot x' \bigr] + = 2\bigl[ 2f(2x) - f(x) \bigr] + = 4f(2x) - 2f(x) +$$ + +**确定无穷小的阶**：由积分中值定理，存在 $\xi \in [x, 2x]$ 使得 + +$$ +g(x) = 2\int_x^{2x} f(u)\,du = 2f(\xi)\,(2x - x) = 2x f(\xi) +$$ + +当 $x \to 0^+$ 时 $\xi \to 0^+$，$f(\xi) \to f(0)$（$f$ 连续），故 + +$$ +\lim_{x\to 0^+} \frac{g(x)}{\sqrt{x}} += \lim_{x\to 0^+} \frac{2x f(\xi)}{\sqrt{x}} += \lim_{x\to 0^+} 2\sqrt{x}\,f(\xi) += 0 +$$ + +所以 $g(x)$ 是 $\sqrt{x}$ 的 **高阶无穷小**，选 **A**。 + +### 知识点 +- 含参变量 $x$ 的变限积分，求导前先换元将 $x$ 从被积函数中分离 +- 换元时须同步更新积分上下限 +- Leibniz 公式：$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} F(x,t)\,dt = F(x,b(x))b'(x) - F(x,a(x))a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial F}{\partial x} dt$ +- 无穷小阶数的判定：极限为 $c \neq 0$ 则同阶，$c = 1$ 则等价 + +--- + +### 题目 05 + +设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续且为偶函数，$a>0$， + +$$ +g(x) = \int_{-a}^{a} |x - t|\,f(t)\,dt +$$ + +则在 $[-a,a]$ 上（ ）。 + +(A) $g(x)$ 是单调递增函数   (B) $g(x)$ 是单调递减函数   (C) $g(x)$ 是偶函数   (D) $g(x)$ 是奇函数 + +### 错误原因 + +凭直觉认为 $|x - t|$ 不是偶函数也不是奇函数，加上 $f(t)$ 为偶函数后结果「应该没有奇偶性」，忽略了变量代换后 $|x - t|$ 的对称性恰好使 $g(x)$ 为偶。 + +另一种错误：试图先求导判断单调性，但未意识到 $g'(x)$ 的正负取决于 $f$ 的具体形式，无法确定单调性。 + +### 正确答案 + +**考查奇偶性**：作代换 $u = -t$： + +$$ +\begin{aligned} +g(-x) &= \int_{-a}^{a} |-x - t|\,f(t)\,dt \\ + &= \int_{a}^{-a} |-x + u|\,f(-u)\,(-du) \\ + &= \int_{-a}^{a} |u - x|\,f(u)\,du \qquad (\text{偶性} \Rightarrow f(-u)=f(u)) \\ + &= \int_{-a}^{a} |x - u|\,f(u)\,du = g(x) +\end{aligned} +$$ + +故 $g(x)$ 为 **偶函数**。 + +**考查单调性**（反例）：取 $f(t) \equiv 1$，则 + +$$ +g(x) = \int_{-a}^{a} |x - t|\,dt + = (a^2 + x^2) - \bigl( -a^2 - x^2 \bigr) = 2(a^2 + x^2) +$$ + +$g(x)$ 在 $[-a,0]$ 递减、$[0,a]$ 递增，并非整体单调。故单调性不成立。 + +综上，恒成立的结论是 $g(x)$ 为偶函数，选 **C**。 + +### 知识点 +- 含绝对值的积分奇偶性判断：作变量代换 $t \to -t$ +- 偶函数 $\times$ 偶函数 $\to$ 偶函数；$|x-t|$ 在代换 $x\to -x,\;t\to -t$ 下不变 +- 单调性需具体分析，不能仅由被积函数形式直接推断 + +--- + +### 题目 06 + +若 $y(x) = \displaystyle\int_{2}^{x^{2}} e^{-\sqrt{t}}\,dt$，则 $\left.\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=-1} =$（ ） + +(A) $0$   (B) $1$   (C) $4e^{-1}$   (D) $4e$ + +### 错误原因 + +对 $\sqrt{x^{2}}$ 的处理忽略了绝对值：$\sqrt{x^{2}} = |x|$，而非 $x$。当 $x=-1$ 时，$|x| = 1$，而错误地认为 $\sqrt{(-1)^{2}} = -1$ 会导致符号错误。 + +**❌ 错误做法**： + +$$ +y'(x) = e^{-\sqrt{x^{2}}} \cdot 2x = 2x e^{-x} +\quad\Rightarrow\quad +y''(x) = 2e^{-x}(1 - x) +\quad\Rightarrow\quad +y''(-1) = 2e^{1}(1 + 1) = 4e \quad\text{(选 D)} +$$ + +### 正确答案 + +由 Leibniz 公式： + +$$ +y'(x) = e^{-\sqrt{x^{2}}} \cdot (x^{2})' = 2x\,e^{-|x|} +$$ + +在 $x=-1$ 的邻域内 $x<0$，故 $|x| = -x$，$e^{-|x|} = e^{x}$： + +$$ +y'(x) = 2x\,e^{x} \qquad (x < 0) +$$ + +再求导： + +$$ +y''(x) = 2e^{x} + 2x e^{x} = 2e^{x}(1 + x) +$$ + +代入 $x=-1$： + +$$ +y''(-1) = 2e^{-1}(1 - 1) = 0 +$$ + +选 **A**。 + +### 知识点 +- 变限积分求导：$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a}^{\varphi(x)} f(t)\,dt = f(\varphi(x))\,\varphi'(x)$ +- $\sqrt{x^{2}} = |x|$，分段处理绝对值 +- 复合函数求导注意符号细节 diff --git a/mistakes/math/README.md b/mistakes/math/README.md index 01fa1a0..b937eeb 100644 --- a/mistakes/math/README.md +++ b/mistakes/math/README.md @@ -101,6 +101,9 @@ mistakes/math/ | 04_积分 | [题目01 - 反常积分敛散性判别](04_积分.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ | | 04_积分 | [题目02 - 1/(a+bcosx) 积分讨论](04_积分.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ | | 04_积分 | [题目03 - 1+√((1+x)/x) 积分](04_积分.md#题目-03) | [方法] | ⭐⭐⭐ | +| 04_积分 | [题目04 - 变限积分含参变量求导](04_积分.md#题目-04) | [概念] | ⭐⭐⭐ | +| 04_积分 | [题目05 - |x-t| 含参积分奇偶性](04_积分.md#题目-05) | [概念] | ⭐⭐⭐ | +| 04_积分 | [题目06 - 变限积分二阶导](04_积分.md#题目-06) | [计算] | ⭐⭐⭐ | ### 杂项 | 文件 | 说明 |