feat: 积分-万能代换增加判别式分析（a²-b²决定arctan/ln形式）

subjects/math/04_积分_三角函数.md

@@ -72,6 +72,39 @@ $$
 
 适用类型：$R(\sin x, \cos x)$（有理函数形式）
 
+#### 万能代换判别式分析
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+对于 $\displaystyle\int \frac{dx}{a + b\cos x}$，令 $t = \tan\frac{x}{2}$，代入万能代换公式得：
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+$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \int \frac{2\,dt}{(a+b) + (a-b)t^2}$$
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+记 $A = a + b$，$B = a - b$，则积分化为
+
+$$2\int \frac{dt}{A + B t^2}$$
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+其判别式为 $D = AB = (a+b)(a-b) = a^2 - b^2$。
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+| $D$ 的符号 | $A,B$ 关系 | 分母 $A+Bt^2$ | 积分结果类型 |
+|------------|-----------|---------------|------------|
+| $D > 0$（$a^2 > b^2$）| $A,B$ 同号 | 恒正/恒负，无奇点 | $\arctan$ 型 |
+| $D = 0$（$a^2 = b^2$）| $A$ 或 $B = 0$ | 退化为常数或 $t^2$ | $\tan$/多项式 |
+| $D < 0$（$a^2 < b^2$）| $A,B$ 异号 | $A+Bt^2$ 可为零 | $\operatorname{artanh}$ / $\ln$ 型 |
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+**直观理解**：原分母 $a + b\cos x$ 在实数域上是否恒不为零：
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+- 若 $|a| > |b|$：$|b\cos x| \le |b| < |a|$，$a + b\cos x$ 永不等于零，积分处处有限 → $\arctan$
+- 若 $|a| < |b|$：存在 $x$ 使 $\cos x = -a/b$，分母为零 → 积分出现奇点 → 结果为 $\ln$ / $\operatorname{artanh}$
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+**公式**：
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+$D > 0$（$a^2 > b^2$）：
+$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \arctan\!\left( \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\;\tan\frac{x}{2} \right) + C$$
+
+$D < 0$（$a^2 < b^2$）：
+$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{1}{\sqrt{b^2 - a^2}} \ln\left| \frac{\sqrt{b+a} + \sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{b+a} - \sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}} \right| + C$$
+
+> **核心结论**：万能代换虽然能把所有三角有理式化为有理分式，但结果的 **形式**（$\arctan$ vs $\ln$）由判别式 $a^2 - b^2$ 正负决定。不区分 |a| 与 |b| 大小直接套公式会写出不成立的结果。
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 #### 常用结论
 
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