feat: 增加杂项随手记（个人发现与零散规律总结）

mistakes/math/README.md

@@ -40,7 +40,8 @@ mistakes/math/
 ├── 20_大数定律与中心极限定理.md
 ├── 21_抽样分布.md
 ├── 22_参数估计.md
-└── 23_假设检验.md
+├── 23_假设检验.md
+└── misc_杂项.md
 ```
 
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@@ -99,6 +100,11 @@ mistakes/math/
 | 03_中值定理 | [题目02 - 拉格朗日中值定理](03_中值定理.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
 | 04_积分 | [题目01 - 反常积分敛散性判别](04_积分.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
 
+### 杂项
+| 文件 | 说明 |
+|------|------|
+| [杂项随手记](misc_杂项.md) | 个人做题发现、零散规律、易错点 |
+
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 ## 错题记录格式

mistakes/math/misc_杂项.md

@@ -0,0 +1,91 @@
+# 杂项随手记
+
+> 个人做題中发现的零散规律、技巧、踩坑记录，不讲究格式。
+
+---
+
+## 积分
+
+### 含 $\ln x$ 的积分/级数审敛规律
+
+对于含 $\ln x$ 因子的反常积分或正项级数，**$\ln x$ 不改变敛散的临界 $p$ 值**：
+
+- 在 $=$ 临界值时，含 $\ln$ 会**发散**
+- 在 $>$ 或 $<$ 时，$\ln$ 被幂函数「吃掉」
+
+| 位置 | 不含 $\ln$ | 含 $\ln$ |
+|------|-----------|----------|
+| $x \to 0^+$（瑕积分） | $\int_0 \frac{dx}{x^p}$：$p<1$ 收 | $\int_0 \frac{|\ln x|}{x^p}dx$：$p<1$ 收，$p=1$ 散 |
+| $x \to +\infty$ | $\int^\infty \frac{dx}{x^p}$：$p>1$ 收 | $\int^\infty \frac{\ln x}{x^p}dx$：$p>1$ 收，$p=1$ 散 |
+| 正项级数 | $\sum \frac{1}{n^p}$：$p>1$ 收 | $\sum \frac{\ln n}{n^p}$：$p>1$ 收，$p=1$ 散 |
+
+> **一句话**：$\ln$ 只影响 $p = \text{临界值}$ 的情况（翻为发散），不影响 $p > \text{临界}$ 或 $p < \text{临界}$ 时的敛散。
+
+### 比较函数选取技巧
+
+审敛时找不到合适的 $g(x)$？按以下优先级尝试：
+
+1. **等价无穷小/大**：去掉常数和无关因子，保留主部
+2. **幂函数**：$1/x^p$ 永远是最佳比较基准
+3. **含 $\ln$ 型**：转化为幂函数 $x^\varepsilon \ln x \to 0$ 的放缩
+
+---
+
+## 级数
+
+### 审敛法选用顺序
+
+拿到一个正项级数，按这个顺序试：
+
+1. 通项不趋于 0？→ 直接发散
+2. 含 $n!$、$a^n$、$n^n$？→ 比值法
+3. 含 $n$ 次方整体？→ 根值法
+4. 通项 $\sim 1/n^p$？→ 比较法极限形式
+5. 单调递减函数 $f(n)$？→ 积分判别法
+
+### 易错
+
+- 比值/根值法 $\rho = 1$ 时**无法判断**，不能直接用 $=1$ 说收敛或发散
+- 交错级数**不能**用比值/根值法（那些只适用于正项级数）
+- 绝对收敛做乘积（柯西乘积）仍绝对收敛；条件收敛没有这个性质
+
+---
+
+## 极限
+
+### 指数型极限套路
+
+$\lim f(x)^{g(x)}$ 型 → 一律取对数：
+
+$$\lim f^g = \exp\left(\lim g \cdot \ln f\right)$$
+
+再处理 $\ln f$ 的等价无穷小。
+
+### 等价无穷小替换禁区
+
+- **加减**中不能随便替换（除非是因子）
+- 含 $\sin$、$\tan$、$\arctan$ 的混合式，优先泰勒展开到同阶
+
+---
+
+## 一元微分
+
+### 中值定理证明题套路
+
+遇到「存在 $\xi$ 使 $F(\xi, f(\xi), f'(\xi)) = 0$」：
+
+1. 把 $f'$ 换成 $\frac{df}{dx}$，尝试分离变量
+2. 构造辅助函数 = 积分因子 × 原方程
+3. 对辅助函数用罗尔定理
+
+---
+
+## 做题习惯
+
+- 看到反常积分先判断类型：**无穷限？瑕积分？混合？**
+- 混合型反常积分必须**分两端**讨论，取交集
+- 遇到 $p$ 取值范围题，边界值单独验证（往往是发散）
+
+---
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+*持续更新，想起来就记一笔。*