## 笔记记录

### 要点 01 - 积分与极限求和式的转化

根据公式

$$
\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x
$$

对于均匀矩形分割的情况，实际上只用分离出 $\frac{1}{n}$

$$
\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f\left(a + \frac{(b-a) i}{n}\right) \frac{b-a}{n}
$$

---

### 要点 02 - 分式型积分

#### 基本公式

$$
\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \quad (a > 0)
$$

**推导**（换元法）：令 $x = a \tan t$，则 $dx = a \sec^2 t \, dt$

$$
\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \int \frac{a \sec^2 t}{a^2 + a^2 \tan^2 t} \, dt
$$

$$
= \int \frac{a \sec^2 t}{a^2 \sec^2 t} \, dt
$$

$$
= \int \frac{dt}{a}
$$

$$
= \frac{t}{a} + C
$$

$$
= \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C
$$

#### 推广形式

$$
\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C
$$

$$
\int \frac{dx}{b^2 + (x + c)^2} = \frac{1}{b} \arctan \frac{x + c}{b} + C
$$

$$
\int \frac{x \, dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{2} \ln(x^2 + a^2) + C
$$

$$
\int \frac{dx}{(x^2 + a^2)^2} = \frac{x}{2a^2(x^2 + a^2)} + \frac{1}{2a^3} \arctan \frac{x}{a} + C
$$

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### 要点 03 - 根号分式型积分

#### 基本公式

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C
$$

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \operatorname{arsinh} \frac{x}{a} + C
$$

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C \quad (|x| > |a|)
$$

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \operatorname{arcosh} \frac{x}{a} + C \quad (|x| > |a|)
$$

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + C \quad (|x| < |a|)
$$

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = -\arccos \frac{x}{a} + C \quad (|x| < |a|)
$$

#### 推导方法

$$
\begin{align}
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + a^2}}
    &= \int \frac{a \cosh t}{a \cosh t} \, dt && (x = a \sinh t) \\
    &= \int dt \\
    &= t + C \\
    &= \ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}}
    &= \int \frac{a \sinh t}{a \sinh t} \, dt && (x = a \cosh t) \\
    &= \int dt \\
    &= t + C \\
    &= \ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}
    &= \int \frac{a \cos t}{a \cos t} \, dt && (x = a \sin t) \\
    &= \int dt \\
    &= t + C \\
    &= \arcsin \frac{x}{a} + C
\end{align}
$$

#### 等效形式

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \ln\left|\frac{x}{a} + \sqrt{\frac{x^2}{a^2} - 1}\right| + C
$$

#### 推广形式

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{(x + b)^2 + a^2}} = \ln\left|x + b + \sqrt{(x + b)^2 + a^2}\right| + C
$$

$$
\int \frac{dx}{\sqrt{(x + b)^2 - a^2}} = \ln\left|x + b + \sqrt{(x + b)^2 - a^2}\right| + C \quad (|x + b| > |a|)
$$

$$
\int \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \sqrt{x^2 + a^2} + C
$$

$$
\int \frac{x \, dx}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \sqrt{x^2 - a^2} + C
$$

$$
\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C
$$

$$
\int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C
$$

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### 要点 04 - 根号二次型积分

#### 基本公式

$$
\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C
$$

$$
\int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C \quad (|x| > |a|)
$$

$$
\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C \quad (|x| < |a|)
$$

#### 推导方法

$$
\begin{align}
\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx
    &= \int a \cosh t \cdot a \cosh t \, dt = a^2 \int \cosh^2 t \, dt && (x = a \sinh t) \\
    &= a^2 \int \frac{\cosh 2t + 1}{2} \, dt = \frac{a^2}{2}\left(\frac{\sinh 2t}{2} + t\right) + C \\
    &= \frac{a^2}{2}(\sinh t \cosh t + t) + C \\
    &= \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
\int \sqrt{x^2 - a^2} \, dx
    &= \int a \sinh t \cdot a \sinh t \, dt = a^2 \int \sinh^2 t \, dt && (x = a \cosh t) \\
    &= a^2 \int \frac{\cosh 2t - 1}{2} \, dt = \frac{a^2}{2}\left(\frac{\sinh 2t}{2} - t\right) + C \\
    &= \frac{a^2}{2}(\sinh t \cosh t - t) + C \\
    &= \frac{x}{2}\sqrt{x^2 - a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 - a^2}\right| + C
\end{align}
$$

$$
\begin{align}
\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx
    &= \int a \cos t \cdot a \cos t \, dt = a^2 \int \cos^2 t \, dt && (x = a \sin t) \\
    &= \frac{a^2}{2}\left(t + \frac{\sin 2t}{2}\right) + C \\
    &= \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C
\end{align}
$$

#### 推广形式

$$
\int (x + b)\sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{3}(x + b)(x^2 + a^2)^{3/2} - \frac{b}{2}x\sqrt{x^2 + a^2} - \frac{ab^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2 + a^2}\right| + C
$$

$$
\int x\sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{3}(x^2 + a^2)^{3/2} + C
$$

$$
\int x\sqrt{x^2 - a^2} \, dx = \frac{1}{3}(x^2 - a^2)^{3/2} + C
$$

$$
\int x\sqrt{a^2 - x^2} \, dx = -\frac{1}{3}(a^2 - x^2)^{3/2} + C
$$

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### 要点 05 - 三角函数积分

#### 降幂公式

$$
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
$$

$$
\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
$$

$$
\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}
$$

$$
\cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}
$$

#### 基本积分

$$
\int \sin x \, dx = -\cos x + C
$$

$$
\int \cos x \, dx = \sin x + C
$$

$$
\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C
$$

$$
\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C
$$

#### 万能代换

令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则：

$$
\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2 \, dt}{1 + t^2}
$$

适用类型：$R(\sin x, \cos x)$（有理函数形式）

#### 常用结论

$$
\int \sin^n x \, dx = -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2} x \, dx
$$

$$
\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2} x \, dx
$$

#### 积化和差

$$
\sin A \cos B = \frac{1}{2}\sin(A+B) + \frac{1}{2}\sin(A-B)
$$

$$
\cos A \cos B = \frac{1}{2}\cos(A+B) + \frac{1}{2}\cos(A-B)
$$

$$
\sin A \sin B = \frac{1}{2}\cos(A-B) - \frac{1}{2}\cos(A+B)
$$

---

### 要点 06 - 换元积分法

#### 第一类换元法（凑微分法）

若 $\int f(u) \, du = F(u) + C$，$u = \varphi(x)$ 可微，则：

$$
\int f[\varphi(x)] \, \varphi'(x) \, dx = \int f(u) \, du = F(u) + C = F[\varphi(x)] + C
$$

**核心思想**：将被积函数中一部分"凑"成某个函数的导数，令其为一个新变量。

**常见凑微分形式**：

| 类型 | 凑微分 | 令 $u$ |
|------|--------|--------|
| $\int f(ax+b) \, dx$ | $\displaystyle\frac{1}{a} \int f(ax+b) \, d(ax+b)$ | $u = ax+b$ |
| $\int f(x^n) \cdot x^{n-1} \, dx$ | $\displaystyle\frac{1}{n} \int f(x^n) \, d(x^n)$ | $u = x^n$ |
| $\int f(\sin x) \cos x \, dx$ | $\displaystyle\int f(\sin x) \, d(\sin x)$ | $u = \sin x$ |
| $\int f(\cos x) \sin x \, dx$ | $\displaystyle-\int f(\cos x) \, d(\cos x)$ | $u = \cos x$ |
| $\int f(\tan x) \sec^2 x \, dx$ | $\displaystyle\int f(\tan x) \, d(\tan x)$ | $u = \tan x$ |
| $\int f(e^x) e^x \, dx$ | $\displaystyle\int f(e^x) \, d(e^x)$ | $u = e^x$ |
| $\int f(\ln x) \frac{1}{x} \, dx$ | $\displaystyle\int f(\ln x) \, d(\ln x)$ | $u = \ln x$ |
| $\int f(\arcsin x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\displaystyle\int f(\arcsin x) \, d(\arcsin x)$ | $u = \arcsin x$ |
| $\int f(\arctan x) \frac{dx}{1+x^2}$ | $\displaystyle\int f(\arctan x) \, d(\arctan x)$ | $u = \arctan x$ |

**示例**：

$$
\int \frac{dx}{x \ln x} = \int \frac{d(\ln x)}{\ln x} = \ln|\ln x| + C
$$

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#### 第二类换元法（变量代换法）

令 $x = \psi(t)$，其中 $\psi(t)$ 单调可导且 $\psi'(t) \neq 0$，则：

$$
\int f(x) \, dx = \int f[\psi(t)] \, \psi'(t) \, dt
$$

**常用代换类型**：

##### 1. 三角代换

| 被积函数含 | 代换 | 适用区间 | 微元 |
|-----------|------|---------|------|
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a \sin t$ | $\displaystyle[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ | $dx = a \cos t \, dt$ |
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a \tan t$ | $\displaystyle(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ | $dx = a \sec^2 t \, dt$ |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a \sec t$ | $\displaystyle[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$ | $dx = a \sec t \tan t \, dt$ |

##### 2. 双曲函数代换

| 被积函数含 | 代换 | 微元 |
|-----------|------|------|
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a \sinh t$ | $dx = a \cosh t \, dt$ |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a \cosh t$ | $dx = a \sinh t \, dt$ |

双曲函数代换优势：无需分类讨论符号，计算更简洁。

##### 3. 根式代换

令 $t = \sqrt[n]{ax + b}$，则 $x = \dfrac{t^n - b}{a}$，$dx = \dfrac{n t^{n-1}}{a} \, dt$

适用类型：$\displaystyle\int R(x, \sqrt[n]{ax+b}) \, dx$

##### 4. 倒代换

令 $x = \dfrac{1}{t}$，则 $dx = -\dfrac{1}{t^2} \, dt$

适用类型：分母次数比分子次数高较多时（通常差 $2$ 次以上）

##### 5. 指数代换

令 $t = e^x$，则 $x = \ln t$，$dx = \dfrac{dt}{t}$

适用类型：$\displaystyle\int R(e^x) \, dx$

##### 6. 万能代换

令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$，则：

$$
\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2} \, dt
$$

适用类型：$R(\sin x, \cos x)$ 有理函数形式（已在要点 05 中列出）

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#### 两类换元法对比

| 对比项 | 第一类换元法（凑微分） | 第二类换元法（变量代换） |
|-------|----------------------|----------------------|
| 本质 | $u = \varphi(x)$，从 $x$ 到 $u$ | $x = \psi(t)$，从 $x$ 到 $t$ |
| 适用场景 | 被积函数中有"导数因子" | 被积函数含根式、复杂表达式 |
| 操作难度 | 较简单，需观察导数关系 | 较复杂，需选择合适的代换 |
| 常见类型 | 凑微分表 | 三角/双曲/根式/倒代换 |

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### 要点 07 - 分部积分法

#### 基本公式

由乘法求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 两边积分得：

$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$

或写作：

$$
\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) \, dx
$$

**核心思想**：将被积函数分为两部分 $u$ 和 $dv$，通过公式将不易直接积分的部分转化为更易积分的形式。

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#### 选择 $u$ 和 $dv$ 的原则

**关键**：$u$ 应使导数变简单，$dv$ 应易于积分。

##### LIATE 优先序（反-对-幂-三-指）

按以下顺序选择 $u$（优先级从高到低）：

| 类别 | 英文 | 示例 |
|-----|------|------|
| **L** - 反三角函数 | **L**ogarithmic inverse | $\arcsin x, \arctan x$ |
| **I** - 对数函数 | **I**nverse trigonometric | $\ln x, \log_a x$ |
| **A** - 幂函数 | **A**lgebraic | $x^n, ax+b$ |
| **T** - 三角函数 | **T**rigonometric | $\sin x, \cos x, \sec^2 x$ |
| **E** - 指数函数 | **E**xponential | $e^x, a^x$ |

**规则**：排名靠前的选为 $u$，靠后的选为 $dv$。

**示例**：

$$
\int x e^x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = x,\; dv = e^x \, dx
$$

$$
\int x \ln x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = \ln x,\; dv = x \, dx
$$

$$
\int e^x \sin x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = \sin x,\; dv = e^x \, dx \text{（指数和三角函数任选其一）}
$$

---

#### 常见类型与技巧

##### 类型 1：幂函数 $\times$ 指数/三角函数（$u$ 取幂函数）

$$
\int x^n e^{ax} \, dx,\quad \int x^n \sin(ax) \, dx,\quad \int x^n \cos(ax) \, dx
$$

令 $u = x^n$，$dv = e^{ax} \, dx$（或 $\sin(ax) \, dx$、$\cos(ax) \, dx$），**需多次分部**直至幂次降为 $0$。

##### 类型 2：幂函数 $\times$ 对数/反三角（$u$ 取对数/反三角）

$$
\int x^n \ln x \, dx,\quad \int x^n \arcsin x \, dx,\quad \int x^n \arctan x \, dx
$$

令 $u = \ln x$（或 $\arcsin x$、$\arctan x$），$dv = x^n \, dx$，一次分部即可消去对数/反三角。

##### 类型 3：指数 $\times$ 三角函数（循环分部）

$$
\int e^{ax} \sin(bx) \, dx,\quad \int e^{ax} \cos(bx) \, dx
$$

任选其一为 $u$，两次分部后出现原积分，**移项求解**。

**示例**：

$$
\begin{align}
I &= \int e^{ax} \sin(bx) \, dx \\
  &= -\frac{e^{ax} \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b} \int e^{ax} \cos(bx) \, dx \\
  &= -\frac{e^{ax} \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b}\left(\frac{e^{ax} \sin(bx)}{b} - \frac{a}{b} I\right) \\
  &\Rightarrow I = \frac{e^{ax}(a \sin(bx) - b \cos(bx))}{a^2 + b^2} + C
\end{align}
$$

##### 类型 4：单独一个函数

$$
\int \ln x \, dx,\quad \int \arcsin x \, dx,\quad \int \arctan x \, dx
$$

令 $u = \ln x$（或 $\arcsin x$、$\arctan x$），**$dv = dx$**（凑出 $1$ 作为 $dv$）。

**示例**：

$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - x + C
$$

##### 类型 5：分部与换元结合

先换元化简，再分部积分。常见于被积函数含复合结构时。

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#### 分部积分法推广公式

反复应用分部积分法则可得：

$$
\int u v^{(n+1)} \, dx = u v^{(n)} - u' v^{(n-1)} + u'' v^{(n-2)} - \cdots + (-1)^{n+1} \int u^{(n+1)} v \, dx
$$

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### 知识点
- 定积分的定义
- 黎曼和与积分的关系
- 均匀分割技巧
- $\frac{1}{x^2 + a^2}$ 型积分公式
- $\frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}$ 型积分公式
- $\sqrt{x^2 \pm a^2}$ 型积分公式
- 三角函数积分（降幂、万能代换、积化和差）
- 第一类换元法（凑微分法）
- 第二类换元法（变量代换法：三角/双曲/根式/倒代换）
- 分部积分法（LIATE 优先序）
- 循环分部与移项求解