## 笔记记录

### 要点 08 - 有理分式积分

#### 基本概念

**有理分式**：两个多项式的比 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$

**真分式**：分子次数 $<$ 分母次数

**假分式**：分子次数 $\geq$ 分母次数，需先化为多项式 + 真分式

#### 部分分式分解法

将真分式分解为若干简单分式之和：

##### 1. 分母仅有线性因子

若分母可分解为 $(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}\cdots$，则：

$$
\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-a_1} + \frac{A_2}{(x-a_1)^2} + \cdots + \frac{A_{m_1}}{(x-a_1)^{m_1}} + \frac{B_1}{x-a_2} + \cdots
$$

##### 2. 分母含二次因子

若分母含不可约二次因子 $x^2+px+q$，则对应项为：

$$
\frac{Ax+B}{x^2+px+q}, \quad \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n}
$$

#### 常见积分类型

##### 类型 1：一次因子

$$
\int \frac{dx}{x-a} = \ln|x-a| + C
$$

$$
\int \frac{dx}{(x-a)^n} = -\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \quad (n \neq 1)
$$

##### 类型 2：二次质因子

配方后分项积分：

$$
\int \frac{x}{x^2+px+q} \, dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+px+q) - \frac{p}{2}\int \frac{dx}{x^2+px+q}
$$

对于 $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+px+q}$，配方：

$$
x^2+px+q = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2 + \left(q-\frac{p^2}{4}\right)
$$

则：

$$
\int \frac{dx}{x^2+px+q} = \frac{2}{\sqrt{4q-p^2}} \arctan \frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}} + C \quad (4q > p^2)
$$

##### 类型 3：二次因子幂次

$$
\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n} = \frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2a^2(n-1)}\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{n-1}}
$$

特别地，当 $n=2$ 时：

$$
\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^2} = \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\frac{x}{a} + C
$$

#### 积分步骤总结

1. **化简**：假分式化为多项式 + 真分式
2. **分解**：对分母因式分解，写出部分分式形式
3. **待定系数**：比较系数或代值法求系数
4. **积分**：逐项积分

#### 示例

**例**：求 $\displaystyle\int \frac{x+3}{x^2-5x+6} \, dx$

解：分母因式分解 $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$

设 $\displaystyle\frac{x+3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$

则 $x+3 = A(x-3) + B(x-2) = (A+B)x - (3A+2B)$

比较系数：$\begin{cases} A+B=1 \\ 3A+2B=-3 \end{cases} \Rightarrow A=-5, B=6$

故 $\displaystyle\int \frac{x+3}{x^2-5x+6} \, dx = \int\left(\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3}\right)dx = -5\ln|x-2| + 6\ln|x-3| + C$

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