## 笔记记录

### 要点 05 - 三角函数积分

#### 降幂公式

$$
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
$$

$$
\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
$$

$$
\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}
$$

$$
\cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4}
$$

#### 基本积分

$$
\int \sin x \, dx = -\cos x + C
$$

$$
\int \cos x \, dx = \sin x + C
$$

$$
\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C
$$

$$
\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C
$$

$$
\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C
$$

$$
\int \csc x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C
$$

$$
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
$$

$$
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
$$

$$
\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C
$$

$$
\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C
$$

#### 万能代换

令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则：

$$
\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2 \, dt}{1 + t^2}
$$

适用类型：$R(\sin x, \cos x)$（有理函数形式）

#### 万能代换判别式分析

对于 $\displaystyle\int \frac{dx}{a + b\cos x}$，令 $t = \tan\frac{x}{2}$，代入万能代换公式得：

$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \int \frac{2\,dt}{(a+b) + (a-b)t^2}$$

记 $A = a + b$，$B = a - b$，则积分化为

$$2\int \frac{dt}{A + B t^2}$$

其判别式为 $D = AB = (a+b)(a-b) = a^2 - b^2$。

| $D$ 的符号 | $A,B$ 关系 | 分母 $A+Bt^2$ | 积分结果类型 |
|------------|-----------|---------------|------------|
| $D > 0$（$a^2 > b^2$）| $A,B$ 同号 | 恒正/恒负，无奇点 | $\arctan$ 型 |
| $D = 0$（$a^2 = b^2$）| $A$ 或 $B = 0$ | 退化为常数或 $t^2$ | $\tan$/多项式 |
| $D < 0$（$a^2 < b^2$）| $A,B$ 异号 | $A+Bt^2$ 可为零 | $\operatorname{artanh}$ / $\ln$ 型 |

**直观理解**：原分母 $a + b\cos x$ 在实数域上是否恒不为零：

- 若 $|a| > |b|$：$|b\cos x| \le |b| < |a|$，$a + b\cos x$ 永不等于零，积分处处有限 → $\arctan$
- 若 $|a| < |b|$：存在 $x$ 使 $\cos x = -a/b$，分母为零 → 积分出现奇点 → 结果为 $\ln$ / $\operatorname{artanh}$

**公式**：

$D > 0$（$a^2 > b^2$）：
$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{2}{\sqrt{a^2 - b^2}} \arctan\!\left( \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}\;\tan\frac{x}{2} \right) + C$$

$D < 0$（$a^2 < b^2$）：
$$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{1}{\sqrt{b^2 - a^2}} \ln\left| \frac{\sqrt{b+a} + \sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}}{\sqrt{b+a} - \sqrt{b-a}\tan\frac{x}{2}} \right| + C$$

> **核心结论**：万能代换虽然能把所有三角有理式化为有理分式，但结果的 **形式**（$\arctan$ vs $\ln$）由判别式 $a^2 - b^2$ 正负决定。不区分 |a| 与 |b| 大小直接套公式会写出不成立的结果。

#### 常用结论

$$
\int \sin^n x \, dx = -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2} x \, dx
$$

$$
\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2} x \, dx
$$

#### sinⁿ 递推公式推导（分部积分法）

设
$$
I_n = \int \sin^n x \, dx, \quad n \ge 2.
$$

取
$$
u = \sin^{n-1}x, \quad dv = \sin x \, dx,
$$
则
$$
du = (n-1)\sin^{n-2}x \cos x \, dx, \quad v = -\cos x.
$$

分部积分：
$$
\begin{aligned}
I_n &= uv - \int v \, du \\
    &= -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)\int \sin^{n-2}x \cos^2 x \, dx.
\end{aligned}
$$

利用 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$：
$$
\int \sin^{n-2}x \cos^2 x \, dx = \int \sin^{n-2}x \, dx - \int \sin^n x \, dx = I_{n-2} - I_n.
$$

代入得
$$
I_n = -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)(I_{n-2} - I_n).
$$

整理含 $I_n$ 的项：
$$
\begin{aligned}
I_n + (n-1)I_n &= -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)I_{n-2}, \\
n I_n &= -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)I_{n-2}.
\end{aligned}
$$

于是
$$
\boxed{I_n = -\frac{\sin^{n-1}x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} I_{n-2}},\quad n\ge 2.
$$

需要两个初始条件：
- $I_0 = \int dx = x + C$
- $I_1 = \int \sin x \, dx = -\cos x + C$

#### cosⁿ 递推公式推导

类似地，设 $J_n = \int \cos^n x \, dx$，取 $u = \cos^{n-1}x$，$dv = \cos x \, dx$，利用 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，可得：
$$
\boxed{J_n = \frac{\cos^{n-1}x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} J_{n-2}},\quad n\ge 2
$$

需要两个初始条件：
- $J_0 = \int dx = x + C$
- $J_1 = \int \cos x \, dx = \sin x + C$

#### 点火公式（Wallis 公式）

利用 $\sin^n$ 递推公式在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上积分，边界项为零：
$$
J_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \frac{n-1}{n} J_{n-2}
$$

**递推过程**：
$$
\begin{aligned}
J_n &= \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx
      = \left[-\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n}\right]_0^{\pi/2} + \frac{n-1}{n} J_{n-2} \\
    &= \frac{n-1}{n} J_{n-2}
\end{aligned}
$$

同理 $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = J_n$（对称性）。

常见值：
$$
J_2 = \frac{\pi}{4},\quad J_3 = \frac{2}{3},\quad J_4 = \frac{3\pi}{16},\quad J_5 = \frac{8}{15}
$$

---

$$
\int \sec^n x \, dx = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2} x \, dx \quad (n \neq 1)
$$

$$
\int \csc^n x \, dx = -\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2} x \, dx \quad (n \neq 1)
$$

**secⁿ 递推公式推导**（分部积分法）：

设 $I_n = \int \sec^n x \, dx$，改写为 $\int \sec^{n-2} x \cdot \sec^2 x \, dx$。

令 $u = \sec^{n-2} x$，$dv = \sec^2 x \, dx$，则：
$$
du = (n-2)\sec^{n-2} x \tan x \, dx,\quad v = \tan x
$$

代入分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$：
$$
\begin{aligned}
I_n &= \sec^{n-2} x \tan x - \int \tan x \cdot (n-2)\sec^{n-2} x \tan x \, dx \\
    &= \sec^{n-2} x \tan x - (n-2)\int \sec^{n-2} x \tan^2 x \, dx
\end{aligned}
$$

利用 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$：
$$
I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2)\int \sec^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx
$$

$$
I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2) I_n + (n-2) I_{n-2}
$$

移项合并 $I_n$ 项：
$$
(n-1) I_n = \sec^{n-2} x \tan x + (n-2) I_{n-2}
$$

$$
\boxed{I_n = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} I_{n-2}}
$$

需要两个初始条件：
- $I_1 = \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$
- $I_2 = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

**cscⁿ 递推公式推导**类似，利用 $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$。

---

#### 递推式的完全展开

递推公式重复代入即可展开为有限项和（初等函数的闭式表达）。

**sinⁿ / cosⁿ 的完全展开**（不定积分，设 $I_n = \int \sin^n x \, dx$）：

边界条件 $I_0 = x + C,\; I_1 = -\cos x + C$

$$
\begin{aligned}
I_n &= -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n}
      + \frac{n-1}{n} \left(-\frac{\sin^{n-3} x \cos x}{n-2}\right)
      + \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2} \left(-\frac{\sin^{n-5} x \cos x}{n-4}\right) + \cdots \\[4pt]
    &= -\cos x \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!!}{(n-k)!!} \cdot \frac{\sin^{n-k} x}{(n-k+1)!!} \quad \text{（示意模式）}
\end{aligned}
$$

更清晰地，按奇偶展开：

**$n$ 为偶数**（$n=2m$）：
$$
\begin{aligned}
\int \sin^{2m} x \, dx &= -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2k+2)}
                        \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+1} + C
\end{aligned}
$$
其中 $C$ 为常数项（来自 $I_0$）。

**$n$ 为奇数**（$n=2m+1$）：
$$
\begin{aligned}
\int \sin^{2m+1} x \, dx &= -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)}{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}
                        \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+2} + C
\end{aligned}
$$
其中 $C$ 来自 $I_1 = -\cos x$ 项。

**实际记忆**：通常直接用递推公式比记忆展开式更实用，考试中一般只需求特定 $n$ 的值或用到递推关系。

**secⁿ 的完全展开**（设 $I_n = \int \sec^n x \, dx$）：

递推式同样可展开，以奇数/偶数分界：

**$n$ 为偶数**（$n=2m$，终止于 $I_2 = \tan x + C$）：
$$
I_{2m} = \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2k+2)}{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)} \cdot \frac{\sec^{2m-2k} x \tan x}{2m-2k+1} + C
$$

例如：
$$
\begin{aligned}
I_2 &= \tan x + C \\[2pt]
I_4 &= \frac{1}{3}\sec^2 x \tan x + \frac{2}{3}\tan x + C \\[2pt]
I_6 &= \frac{1}{5}\sec^4 x \tan x + \frac{4}{15}\sec^2 x \tan x + \frac{8}{15}\tan x + C
\end{aligned}
$$

**$n$ 为奇数**（$n=2m+1$，终止于 $I_1 = \ln|\sec x + \tan x| + C$）：
$$
\begin{aligned}
I_{2m+1} &= \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)} \cdot \frac{\sec^{2m-2k+1} x \tan x}{2m-2k+2}
           + \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \ln|\sec x + \tan x| + C
\end{aligned}
$$

例如：
$$
\begin{aligned}
I_1 &= \ln|\sec x + \tan x| + C \\[2pt]
I_3 &= \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C \\[2pt]
I_5 &= \frac{1}{4}\sec^3 x \tan x + \frac{3}{8}\sec x \tan x + \frac{3}{8}\ln|\sec x + \tan x| + C
\end{aligned}
$$

---

#### 积化和差

$$
\sin A \cos B = \frac{1}{2}\sin(A+B) + \frac{1}{2}\sin(A-B)
$$

$$
\cos A \cos B = \frac{1}{2}\cos(A+B) + \frac{1}{2}\cos(A-B)
$$

$$
\sin A \sin B = \frac{1}{2}\cos(A-B) - \frac{1}{2}\cos(A+B)
$$