## 笔记记录

### 要点 01 - 数列不动点问题

#### 定理

设 $x^*$ 是 $T$ 的不动点，$T$ 在 $x^*$ 邻域内连续可微，且 $|T'(x^*)| < 1$，则存在邻域 $U = [x^* - \delta, x^* + \delta]$，使对任意 $x_0 \in U$，迭代 $x_{n+1}=T(x_n)$ 收敛到 $x^*$。

#### 证明

**1. 构造压缩邻域**

由 $|T'(x^*)| < 1$，取 $L$ 使 $|T'(x^*)| < L < 1$。由 $T'$ 连续性，存在 $\delta > 0$，当 $|x - x^*| \le \delta$ 时，$|T'(x)| \le L$。令 $U = [x^* - \delta, x^* + \delta]$。

**2. 证明压缩性**

对任意 $x, y \in U$，由**微分中值定理**，存在 $\xi \in U$ 使
$$
|T(x) - T(y)| = |T'(\xi)| \cdot |x - y| \le L |x - y|.
$$
故 $T$ 在 $U$ 上是压缩映射（$L < 1$）。

**3. 验证不变性**

对任意 $x \in U$，
$$
|T(x) - x^*| = |T(x) - T(x^*)| \le L |x - x^*| \le L\delta < \delta,
$$
所以 $T(x) \in U$，即 $T(U) \subseteq U$。

**4. 应用 Banach 不动点定理**

$U$ 是完备度量空间（闭区间），$T: U \to U$ 是压缩映射。由 **Banach 不动点定理**，$T$ 在 $U$ 内有唯一不动点 $x^*$，且对任意 $x_0 \in U$，迭代 $x_{n+1}=T(x_n)$ 收敛到 $x^*$。

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### 要点 02 - 正项级数收敛的充要条件

#### 定义

若对任意 $n$，$u_n \ge 0$，则称 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 为**正项级数**。

#### 充要条件

正项级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 $\iff$ 部分和数列 $\{S_n\}$ 有上界。

#### 常见比较基准

| 级数 | 形式 | 收敛性 |
|------|------|--------|
| $p$ 级数 | $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n^p}$ | $p > 1$ 收敛；$p \le 1$ 发散 |
| 几何级数 | $\displaystyle\sum aq^{n-1}$ | $\|q\| < 1$ 收敛；$\|q\| \ge 1$ 发散 |
| 调和级数 | $\displaystyle\sum \dfrac{1}{n}$ | 发散（$p=1$ 特例） |

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### 要点 03 - 比较判别法

#### 一般形式

设 $\displaystyle\sum u_n$ 和 $\displaystyle\sum v_n$ 均为正项级数，且存在 $N$，当 $n > N$ 时 $u_n \le v_n$，则：

- 若 $\displaystyle\sum v_n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum u_n$ 收敛
- 若 $\displaystyle\sum u_n$ 发散，则 $\displaystyle\sum v_n$ 发散

#### 极限形式

设 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{u_n}{v_n} = l$（$0 \le l \le +\infty$）：

| $l$ 的取值 | 结论 |
|------------|------|
| $0 < l < +\infty$ | $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 同敛散 |
| $l = 0$ | 若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛 |
| $l = +\infty$ | 若 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散 |

#### 常用技巧

$$u_n \sim \frac{1}{n^p} \quad (n \to \infty)$$

通过等价无穷小找出 $p$，根据 $p > 1$ 还是 $p \le 1$ 判断敛散性。

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### 要点 04 - 比值判别法（达朗贝尔判别法）

设 $\displaystyle\sum u_n$ 为正项级数，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$：

| $\rho$ 的取值 | 结论 |
|---------------|------|
| $\rho < 1$ | 级数收敛 |
| $\rho > 1$ | 级数发散 |
| $\rho = 1$ | 判别法失效，需用其他方法 |

#### 适用场景

- $u_n$ 中含有 $n!$、$a^n$、$n^n$ 等因式时优先考虑
- 阶乘型、指数型级数最为适用

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### 要点 05 - 根值判别法（柯西判别法）

设 $\displaystyle\sum u_n$ 为正项级数，$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$：

| $\rho$ 的取值 | 结论 |
|---------------|------|
| $\rho < 1$ | 级数收敛 |
| $\rho > 1$ | 级数发散 |
| $\rho = 1$ | 判别法失效，需用其他方法 |

#### 适用场景

- $u_n$ 中含有 $n$ 次方（如 $a^{n^2}$、$(f(n))^n$）时优先考虑

#### 重要极限

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1, \qquad \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1 \;(a>0)$$

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### 要点 06 - 积分判别法（柯西积分判别法）

设 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上非负单调递减，$u_n = f(n)$，则：

$$\sum_{n=1}^{\infty} u_n \text{ 与 } \int_1^{+\infty} f(x)\,dx \text{ 同敛散}$$

#### 典例：$p$ 级数的证明

$f(x) = \dfrac{1}{x^p}$ 单调递减：

$$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛}, & p > 1 \\ \text{发散}, & p \le 1 \end{cases}$$

#### 适用场景

- 通项 $u_n$ 可以看作某单调递减函数 $f(x)$ 在 $x=n$ 处的值
- 常用于 $u_n = \dfrac{1}{n \ln^p n}$ 等不易用比值/根值法判断的情形

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### 要点 07 - 交错级数与莱布尼兹判别法

#### 定义

形如 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} u_n$（$u_n > 0$）的级数称为**交错级数**。

#### 莱布尼兹判别法

若交错级数 $\displaystyle\sum (-1)^{n-1} u_n$ 满足：

1. $u_n \ge u_{n+1} > 0$（$\{u_n\}$ 单调递减）
2. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} u_n = 0$

则级数收敛，且余项 $\|R_n\| \le u_{n+1}$。

#### 余项估计

$$\|S - S_n\| = \|R_n\| \le u_{n+1}$$

即用部分和近似级数和时，误差不超过被截断的首项绝对值。

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### 要点 08 - 绝对收敛与条件收敛

#### 定义

对任意项级数 $\displaystyle\sum u_n$（$u_n$ 可正可负）：

| 类型 | 定义 | 关系 |
|------|------|------|
| 绝对收敛 | $\displaystyle\sum \|u_n\|$ 收敛 | 绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛 |
| 条件收敛 | $\displaystyle\sum u_n$ 收敛，但 $\sum \|u_n\|$ 发散 | 条件收敛级数重排可改变和值 |

#### 判别流程

```mermaid
flowchart TD
    A[任意项级数 Σu_n] --> B{检查绝对收敛}
    B -->|Σ|u_n| 收敛| C[原级数绝对收敛 ✓]
    B -->|Σ|u_n| 发散| D{是否交错级数?}
    D -->|是| E{莱布尼兹判别法}
    E -->|满足| F[条件收敛]
    E -->|不满足| G{用其他方法}
    D -->|否| G
    G -->|收敛| F
    G -->|发散| H[原级数发散 ✗]
```

#### 绝对收敛的性质

- 绝对收敛级数任意重排后和不变
- 绝对收敛级数的乘积（柯西乘积）仍绝对收敛

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### 知识点
- 不动点的定义
- 压缩映射原理
- Banach 不动点定理
- 微分中值定理
- 迭代收敛性
- 正项级数的定义与充要条件
- $p$ 级数与几何级数
- 比较判别法（一般形式与极限形式）
- 比值判别法（达朗贝尔判别法）
- 根值判别法（柯西判别法）
- 积分判别法（柯西积分判别法）
- 交错级数与莱布尼兹判别法
- 绝对收敛与条件收敛
- 级数余项估计