## 笔记记录

### 要点 06 - 换元积分法

#### 第一类换元法（凑微分法）

若 $\int f(u) \, du = F(u) + C$，$u = \varphi(x)$ 可微，则：

$$
\int f[\varphi(x)] \, \varphi'(x) \, dx = \int f(u) \, du = F(u) + C = F[\varphi(x)] + C
$$

**核心思想**：将被积函数中一部分"凑"成某个函数的导数，令其为一个新变量。

**常见凑微分形式**：

| 类型 | 凑微分 | 令 $u$ |
|------|--------|--------|
| $\int f(ax+b) \, dx$ | $\displaystyle\frac{1}{a} \int f(ax+b) \, d(ax+b)$ | $u = ax+b$ |
| $\int f(x^n) \cdot x^{n-1} \, dx$ | $\displaystyle\frac{1}{n} \int f(x^n) \, d(x^n)$ | $u = x^n$ |
| $\int f(\sin x) \cos x \, dx$ | $\displaystyle\int f(\sin x) \, d(\sin x)$ | $u = \sin x$ |
| $\int f(\cos x) \sin x \, dx$ | $\displaystyle-\int f(\cos x) \, d(\cos x)$ | $u = \cos x$ |
| $\int f(\tan x) \sec^2 x \, dx$ | $\displaystyle\int f(\tan x) \, d(\tan x)$ | $u = \tan x$ |
| $\int f(e^x) e^x \, dx$ | $\displaystyle\int f(e^x) \, d(e^x)$ | $u = e^x$ |
| $\int f(\ln x) \frac{1}{x} \, dx$ | $\displaystyle\int f(\ln x) \, d(\ln x)$ | $u = \ln x$ |
| $\int f(\arcsin x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\displaystyle\int f(\arcsin x) \, d(\arcsin x)$ | $u = \arcsin x$ |
| $\int f(\arctan x) \frac{dx}{1+x^2}$ | $\displaystyle\int f(\arctan x) \, d(\arctan x)$ | $u = \arctan x$ |

**示例**：

$$
\int \frac{dx}{x \ln x} = \int \frac{d(\ln x)}{\ln x} = \ln|\ln x| + C
$$

---

#### 第二类换元法（变量代换法）

令 $x = \psi(t)$，其中 $\psi(t)$ 单调可导且 $\psi'(t) \neq 0$，则：

$$
\int f(x) \, dx = \int f[\psi(t)] \, \psi'(t) \, dt
$$

**常用代换类型**：

##### 1. 三角代换

| 被积函数含 | 代换 | 适用区间 | 微元 |
|-----------|------|---------|------|
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a \sin t$ | $\displaystyle[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ | $dx = a \cos t \, dt$ |
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a \tan t$ | $\displaystyle(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ | $dx = a \sec^2 t \, dt$ |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a \sec t$ | $\displaystyle[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$ | $dx = a \sec t \tan t \, dt$ |

##### 2. 双曲函数代换

| 被积函数含 | 代换 | 微元 |
|-----------|------|------|
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a \sinh t$ | $dx = a \cosh t \, dt$ |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a \cosh t$ | $dx = a \sinh t \, dt$ |

双曲函数代换优势：无需分类讨论符号，计算更简洁。

##### 3. 根式代换

令 $t = \sqrt[n]{ax + b}$，则 $x = \dfrac{t^n - b}{a}$，$dx = \dfrac{n t^{n-1}}{a} \, dt$

适用类型：$\displaystyle\int R(x, \sqrt[n]{ax+b}) \, dx$

##### 4. 倒代换

令 $x = \dfrac{1}{t}$，则 $dx = -\dfrac{1}{t^2} \, dt$

适用类型：分母次数比分子次数高较多时（通常差 $2$ 次以上）

##### 5. 指数代换

令 $t = e^x$，则 $x = \ln t$，$dx = \dfrac{dt}{t}$

适用类型：$\displaystyle\int R(e^x) \, dx$

##### 6. 万能代换

令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$，则：

$$
\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2} \, dt
$$

适用类型：$R(\sin x, \cos x)$ 有理函数形式（已在要点 05 中列出）

---

#### 两类换元法对比

| 对比项 | 第一类换元法（凑微分） | 第二类换元法（变量代换） |
|-------|----------------------|----------------------|
| 本质 | $u = \varphi(x)$，从 $x$ 到 $u$ | $x = \psi(t)$，从 $x$ 到 $t$ |
| 适用场景 | 被积函数中有"导数因子" | 被积函数含根式、复杂表达式 |
| 操作难度 | 较简单，需观察导数关系 | 较复杂，需选择合适的代换 |
| 常见类型 | 凑微分表 | 三角/双曲/根式/倒代换 |

---

### 要点 07 - 分部积分法

#### 基本公式

由乘法求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 两边积分得：

$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$

或写作：

$$
\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) \, dx
$$

**核心思想**：将被积函数分为两部分 $u$ 和 $dv$，通过公式将不易直接积分的部分转化为更易积分的形式。

---

#### 选择 $u$ 和 $dv$ 的原则

**关键**：$u$ 应使导数变简单，$dv$ 应易于积分。

##### LIATE 优先序（反-对-幂-三-指）

按以下顺序选择 $u$（优先级从高到低）：

| 类别 | 英文 | 示例 |
|-----|------|------|
| **L** - 反三角函数 | **L**ogarithmic inverse | $\arcsin x, \arctan x$ |
| **I** - 对数函数 | **I**nverse trigonometric | $\ln x, \log_a x$ |
| **A** - 幂函数 | **A**lgebraic | $x^n, ax+b$ |
| **T** - 三角函数 | **T**rigonometric | $\sin x, \cos x, \sec^2 x$ |
| **E** - 指数函数 | **E**xponential | $e^x, a^x$ |

**规则**：排名靠前的选为 $u$，靠后的选为 $dv$。

**示例**：

$$
\int x e^x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = x,\; dv = e^x \, dx
$$

$$
\int x \ln x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = \ln x,\; dv = x \, dx
$$

$$
\int e^x \sin x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = \sin x,\; dv = e^x \, dx \text{（指数和三角函数任选其一）}
$$

---

#### 常见类型与技巧

##### 类型 1：幂函数 $\times$ 指数/三角函数（$u$ 取幂函数）

$$
\int x^n e^{ax} \, dx,\quad \int x^n \sin(ax) \, dx,\quad \int x^n \cos(ax) \, dx
$$

令 $u = x^n$，$dv = e^{ax} \, dx$（或 $\sin(ax) \, dx$、$\cos(ax) \, dx$），**需多次分部**直至幂次降为 $0$。

##### 类型 2：幂函数 $\times$ 对数/反三角（$u$ 取对数/反三角）

$$
\int x^n \ln x \, dx,\quad \int x^n \arcsin x \, dx,\quad \int x^n \arctan x \, dx
$$

令 $u = \ln x$（或 $\arcsin x$、$\arctan x$），$dv = x^n \, dx$，一次分部即可消去对数/反三角。

##### 类型 3：指数 $\times$ 三角函数（循环分部）

$$
\int e^{ax} \sin(bx) \, dx,\quad \int e^{ax} \cos(bx) \, dx
$$

任选其一为 $u$，两次分部后出现原积分，**移项求解**。

**示例**：

$$
\begin{align}
I &= \int e^{ax} \sin(bx) \, dx \\
  &= -\frac{e^{ax} \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b} \int e^{ax} \cos(bx) \, dx \\
  &= -\frac{e^{ax} \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b}\left(\frac{e^{ax} \sin(bx)}{b} - \frac{a}{b} I\right) \\
  &\Rightarrow I = \frac{e^{ax}(a \sin(bx) - b \cos(bx))}{a^2 + b^2} + C
\end{align}
$$

##### 类型 4：单独一个函数

$$
\int \ln x \, dx,\quad \int \arcsin x \, dx,\quad \int \arctan x \, dx
$$

令 $u = \ln x$（或 $\arcsin x$、$\arctan x$），**$dv = dx$**（凑出 $1$ 作为 $dv$）。

**示例**：

$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - x + C
$$

##### 类型 5：分部与换元结合

先换元化简，再分部积分。常见于被积函数含复合结构时。

---

#### 分部积分法推广公式

反复应用分部积分法则可得：

$$
\int u v^{(n+1)} \, dx = u v^{(n)} - u' v^{(n-1)} + u'' v^{(n-2)} - \cdots + (-1)^{n+1} \int u^{(n+1)} v \, dx
$$

---