# 常用公式速查

## 乘法公式

- $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$
- $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
- $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
- $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
- $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

## 指数运算

- $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
- $(a^m)^n = a^{mn}$
- $(ab)^n = a^n b^n$
- $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$（$a \neq 0$）
- $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
- $a^0 = 1$（$a \neq 0$）

## 对数运算

- $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$
- $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$
- $\log_a M^n = n \log_a M$
- $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$（换底公式）
- $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$
- $a^{\log_a N} = N$
- $\log_a a = 1,\; \log_a 1 = 0$

## 数列

### 等差数列
- 通项：$a_n = a_1 + (n-1)d$
- 求和：$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$

### 等比数列
- 通项：$a_n = a_1 q^{n-1}$
- 求和：$S_n = \begin{cases} na_1, & q=1 \\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}, & q \neq 1 \end{cases}$

## 不等式

- $a^2 + b^2 \geq 2ab$（当且仅当 $a=b$ 取等）
- $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$（均值不等式，$a,b \geq 0$）
- $a + \frac{1}{a} \geq 2$（$a > 0$）
- $|a| - |b| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b|$（三角不等式）

## 一元二次方程 & 韦达定理

### 求根公式

对于 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

判别式：$\Delta = b^2 - 4ac$
- $\Delta > 0$：两个不等实根
- $\Delta = 0$：两个相等实根
- $\Delta < 0$：无实根（共轭复根）

### 韦达定理

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$

#### 常见变形
- $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
- $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$
- $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

### 根的分布

设 $f(x) = ax^2 + bx + c$：

| 条件 | 结论 |
|------|------|
| $f(k) < 0$ 且 $a > 0$ | 一根在 $k$ 左侧，一根在 $k$ 右侧 |
| $f(k_1) \cdot f(k_2) < 0$ | 在 $(k_1, k_2)$ 内有且仅有一个根 |
| $\Delta \geq 0,\; x_0 < k,\; af(k) > 0$ | 两根均小于 $k$ |
| $\Delta \geq 0,\; x_0 > k,\; af(k) > 0$ | 两根均大于 $k$ |