# 杂项随手记

> 个人做題中发现的零散规律、技巧、踩坑记录，不讲究格式。

---

## 积分

### 含 $\ln x$ 的积分/级数审敛规律

对于含 $\ln x$ 因子的反常积分或正项级数，**$\ln x$ 不改变敛散的临界 $p$ 值**：

- 在 $=$ 临界值时，含 $\ln$ 会**发散**
- 在 $>$ 或 $<$ 时，$\ln$ 被幂函数「吃掉」

| 位置 | 不含 $\ln$ | 含 $\ln$ |
|------|-----------|----------|
| $x \to 0^+$（瑕积分） | $\int_0 \frac{dx}{x^p}$：$p<1$ 收 | $\int_0 \frac{|\ln x|}{x^p}dx$：$p<1$ 收，$p=1$ 散 |
| $x \to +\infty$ | $\int^\infty \frac{dx}{x^p}$：$p>1$ 收 | $\int^\infty \frac{\ln x}{x^p}dx$：$p>1$ 收，$p=1$ 散 |
| 正项级数 | $\sum \frac{1}{n^p}$：$p>1$ 收 | $\sum \frac{\ln n}{n^p}$：$p>1$ 收，$p=1$ 散 |

> **一句话**：$\ln$ 只影响 $p = \text{临界值}$ 的情况（翻为发散），不影响 $p > \text{临界}$ 或 $p < \text{临界}$ 时的敛散。

### 比较函数选取技巧

审敛时找不到合适的 $g(x)$？按以下优先级尝试：

1. **等价无穷小/大**：去掉常数和无关因子，保留主部
2. **幂函数**：$1/x^p$ 永远是最佳比较基准
3. **含 $\ln$ 型**：转化为幂函数 $x^\varepsilon \ln x \to 0$ 的放缩

---

## 级数

### 审敛法选用顺序

拿到一个正项级数，按这个顺序试：

1. 通项不趋于 0？→ 直接发散
2. 含 $n!$、$a^n$、$n^n$？→ 比值法
3. 含 $n$ 次方整体？→ 根值法
4. 通项 $\sim 1/n^p$？→ 比较法极限形式
5. 单调递减函数 $f(n)$？→ 积分判别法

### 易错

- 比值/根值法 $\rho = 1$ 时**无法判断**，不能直接用 $=1$ 说收敛或发散
- 交错级数**不能**用比值/根值法（那些只适用于正项级数）
- 绝对收敛做乘积（柯西乘积）仍绝对收敛；条件收敛没有这个性质

---

## 极限

### 指数型极限套路

$\lim f(x)^{g(x)}$ 型 → 一律取对数：

$$\lim f^g = \exp\left(\lim g \cdot \ln f\right)$$

再处理 $\ln f$ 的等价无穷小。

### 等价无穷小替换禁区

- **加减**中不能随便替换（除非是因子）
- 含 $\sin$、$\tan$、$\arctan$ 的混合式，优先泰勒展开到同阶

---

## 一元微分

### 中值定理证明题套路

遇到「存在 $\xi$ 使 $F(\xi, f(\xi), f'(\xi)) = 0$」：

1. 把 $f'$ 换成 $\frac{df}{dx}$，尝试分离变量
2. 构造辅助函数 = 积分因子 × 原方程
3. 对辅助函数用罗尔定理

---

## 做题习惯

- 看到反常积分先判断类型：**无穷限？瑕积分？混合？**
- 混合型反常积分必须**分两端**讨论，取交集
- 遇到 $p$ 取值范围题，边界值单独验证（往往是发散）

---

*持续更新，想起来就记一笔。*