## 笔记记录

### 要点 01 - 罗尔定理

#### 定理内容

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) = 0$。

#### 应用场景

- 证明方程 $f'(x)=0$ 在区间内有根
- 作为拉格朗日、柯西中值定理的基础
- 结合辅助函数证明等式 $\exists\xi,\;F(\xi,f(\xi),f'(\xi))=0$

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### 要点 02 - 拉格朗日中值定理

#### 定理内容

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得

$$
f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)
$$

#### 常用形式

- **增量形式**：$f(x+\Delta x) - f(x) = f'(\xi)\Delta x$
- **有限增量公式**：$f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x-x_0)$，$\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间

#### 推论

1. 若 $\forall x \in (a,b),\, f'(x) = 0$，则 $f(x)$ 为常数
2. 若 $\forall x \in (a,b),\, f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 单调递增
3. 若 $\forall x \in (a,b),\, f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 单调递减
4. $|f(b) - f(a)| \le \sup_{x\in(a,b)}|f'(x)|\cdot|b-a|$

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### 要点 03 - 柯西中值定理

#### 定理内容

若 $f(x), g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $g'(x) \neq 0$，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得

$$
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
$$

#### 与拉格朗日中值定理的关系

令 $g(x) = x$，则柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理。

#### 应用场景

- 证明含两个函数的等式
- 洛必达法则的理论基础

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### 要点 04 - 泰勒公式

#### 定理内容

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内 $n+1$ 阶可导，则 $\forall x$ 在该邻域内，存在 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，使得

$$
f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x)
$$

其中拉格朗日余项：$R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$

#### 麦克劳林公式 ($x_0=0$)

$$
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}
$$

#### 与中值定理的关系

- $n=0$ 时（零阶泰勒）为拉格朗日中值定理：$f(x) = f(x_0) + f'(\xi)(x-x_0)$
- 泰勒公式是中值定理的高阶推广

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### 要点 05 - 积分中值定理

#### 定理内容

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得

$$
\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a)
$$

#### 推广形式

若 $f(x)$ 连续，$g(x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号且可积，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得

$$
\int_a^b f(x) g(x) \, dx = f(\xi) \int_a^b g(x) \, dx
$$

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### 要点 06 - 辅助函数构造法

#### 核心思想

将要证明的等式 $H(\xi, f(\xi), f'(\xi)) = 0$ 改写为微分方程形式，解出通解 $F(x, f(x)) = C$，构造 $F(x, f(x))$ 作为辅助函数，应用罗尔定理。

#### 微分方程积分因子法

目标式形如 $f'(\xi) + P(\xi)f(\xi) = 0$：

1. 写作微分方程：$f'(x) + P(x)f(x) = 0$
2. 积分因子：$\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}$
3. 通解：$f(x) \cdot \mu(x) = C$
4. 辅助函数：$F(x) = f(x) \cdot \mu(x)$

#### 常见辅助函数形式

| 目标结论 | 辅助函数 |
|:---|:---|
| $f'(\xi) = 0$ | $F(x) = f(x)$ |
| $f'(\xi) + k f(\xi) = 0$ | $F(x) = f(x)e^{kx}$ |
| $f'(\xi) = k$ | $F(x) = f(x) - kx$ |
| $f'(\xi)g(\xi) = f(\xi)g'(\xi)$ | $F(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$ |
| $f'(\xi) + P(\xi)f(\xi) = 0$ | $F(x) = f(x)e^{\int P(x)dx}$ |