## 笔记记录

### 要点 01 - 积分与极限求和式的转化

根据公式

$$
\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x
$$

对于均匀矩形分割的情况，实际上只用分离出 $\frac{1}{n}$

$$
\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(a + \frac{(b-a) i}{n} ) \frac{b-a}{n}
$$

### 要点 02 - sec x、csc x 的积分

#### 基本积分公式

$$\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$$

**推导方法**（分子分母策略）：

$$\int \sec x \, dx = \int \sec x \cdot \frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x} \, dx = \int \frac{\sec^2 x + \sec x \tan x}{\sec x + \tan x} \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$$

---

$$\int \csc x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C$$

**推导方法**（类似地）：

$$\int \csc x \, dx = \int \csc x \cdot \frac{\csc x - \cot x}{\csc x - \cot x} \, dx = \int \frac{\csc^2 x - \csc x \cot x}{\csc x - \cot x} \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C$$

#### 其他常用积分

$$\begin{aligned}
\int \sec^2 x \, dx &= \tan x + C \\
\int \csc^2 x \, dx &= -\cot x + C \\
\int \sec x \tan x \, dx &= \sec x + C \\
\int \csc x \cot x \, dx &= -\csc x + C \\
\int \sec^3 x \, dx &= \frac{1}{2}(\sec x \tan x + \ln|\sec x + \tan x|) + C \\
\int \csc^3 x \, dx &= \frac{1}{2}(-\csc x \cot x + \ln|\csc x + \cot x|) + C
\end{aligned}$$

### 知识点
- 定积分的定义
- 黎曼和与积分的关系
- 均匀分割技巧
- sec x、csc x 的积分公式