## 笔记记录

### 要点 09 - 反常积分的定义与分类

#### 两种类型

| 类型 | 定义 | 记号 |
|------|------|------|
| **无穷限反常积分** | 积分区间无界 | $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx,\ \int_{-\infty}^b f(x)dx,\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$ |
| **瑕积分** | 被积函数无界 | $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$，其中 $f(x)$ 在 $x \to a^+$（或 $x \to b^-$）时无界 |

#### 无穷限反常积分的定义

设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续：

$$\int_a^{+\infty} f(x)dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x)dx$$

若该极限存在，则称积分**收敛**；否则**发散**。

#### 瑕积分的定义

设 $a$ 为瑕点（$f(x)$ 在 $x \to a^+$ 时无界）：

$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)dx$$

若该极限存在，则称积分**收敛**；否则**发散**。

---

### 要点 10 - 反常积分的比较判别法

#### 定理形式（无穷限积分）

设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上非负连续：

**一般形式：** 若存在 $M > 0$，当 $x$ 充分大时 $0 \le f(x) \le M \cdot g(x)$，则：

- $\displaystyle\int_a^{+\infty} g(x)dx$ 收敛 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 收敛
- $\displaystyle\int_a^{+\infty} f(x)dx$ 发散 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{+\infty} g(x)dx$ 发散

**极限形式：** 设 $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)} = l$：

| $l$ 的取值 | 结论 |
|------------|------|
| $0 < l < +\infty$ | $\int f$ 与 $\int g$ 同敛散 |
| $l = 0$ | $\int g$ 收敛 $\Rightarrow$ $\int f$ 收敛 |
| $l = +\infty$ | $\int g$ 发散 $\Rightarrow$ $\int f$ 发散 |

#### 定理形式（瑕积分）

设 $f(x), g(x)$ 在 $(a, b]$ 上非负连续，$a$ 为瑕点：

**一般形式：** 若存在 $M > 0$，当 $x \to a^+$ 时 $0 \le f(x) \le M \cdot g(x)$，则：

- $\displaystyle\int_a^{b} g(x)dx$ 收敛 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{b} f(x)dx$ 收敛
- $\displaystyle\int_a^{b} f(x)dx$ 发散 $\Rightarrow$ $\displaystyle\int_a^{b} g(x)dx$ 发散

**极限形式类同无穷限情形**，区别在于极限取 $x \to a^+$。

#### 常用比较基准

| 积分类型 | 被积函数 | 收敛条件 |
|----------|----------|----------|
| 无穷限 | $\displaystyle\int_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^p}\,dx$ | $p > 1$ 收敛；$p \le 1$ 发散 |
| 瑕积分 | $\displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{x^p}\,dx$ | $p < 1$ 收敛；$p \ge 1$ 发散 |
| 瑕积分（$a$ 为瑕点） | $\displaystyle\int_a^b \dfrac{1}{(x-a)^p}\,dx$ | $p < 1$ 收敛；$p \ge 1$ 发散 |

#### 记忆口诀

- 无穷限：$p > 1$ 收（分母次数要够大，无穷远处衰减快）
- 瑕积分：$p < 1$ 收（分母次数要够小，瑕点附近不炸穿）

#### 解题思路

1. 判断反常积分类型（无穷限 / 瑕积分 / 混合型）
2. 对被积函数取**等价无穷小**找出 $\dfrac{1}{x^p}$（$x \to +\infty$ 或 $x \to a^+$）
3. 根据 $p$ 值与比较判别法的极限形式判定敛散性

#### 典例

判别 $\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\arctan x}{x^p}\,dx$ 的敛散性：

- 当 $x \to 0^+$ 时，$\arctan x \sim x$，$\dfrac{\arctan x}{x^p} \sim \dfrac{1}{x^{p-1}}$（瑕积分，$x=0$ 为瑕点）→ 需 $p-1 < 1$，即 $p < 2$
- 当 $x \to +\infty$ 时，$\arctan x \to \dfrac{\pi}{2}$，$\dfrac{\arctan x}{x^p} \sim \dfrac{\pi}{2x^p}$（无穷限）→ 需 $p > 1$

综合：$1 < p < 2$ 时收敛。

---

### 知识点
- 反常积分的定义（无穷限 + 瑕积分）
- 无穷限反常积分的比较判别法（一般形式与极限形式）
- 瑕积分的比较判别法（一般形式与极限形式）
- 常用比较基准：$\displaystyle\int \frac{1}{x^p}\,dx$
- 等价无穷小在反常积分审敛中的应用
- 混合型反常积分的分段处理