feat: 新增重积分章节（笔记+错题）

mistakes/math/04_积分.md

@@ -296,3 +296,180 @@ $$\boxed{
 - **分母有理化优先**：含 $\sqrt{A} \pm \sqrt{B}$ 型，同乘共轭将分母化为有理式
 - $\displaystyle\int\sqrt{x^2 \pm a^2}\,dx$、$\displaystyle\int\sqrt{x^2 \pm a x}\,dx$ 的标准公式（配平方后套用）
 - 复杂根式换元前先观察能否有理化简化——有理化往往比暴力换元省 80% 的计算量
+
+---
+
+### 题目 04
+
+若函数 $f(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续，
+
+$$
+g(x) = \int_0^{2x} f\!\left(x + \frac{t}{2}\right) dt
+$$
+
+则当 $x \to 0^+$ 时，$g(x)$ 是 $\sqrt{x}$ 的
+
+(A) 高阶无穷小   (B) 低阶无穷小   (C) 等价无穷小   (D) 同阶但非等价无穷小
+
+### 错误原因
+
+直接对 $g(x)$ 应用变限积分求导公式，忽略了被积函数 $f(x + t/2)$ 中也含有 $x$，少算了 $\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}$ 项：
+
+**❌ 错误做法**：
+
+$$
+g'(x) = f\!\left(x + \frac{2x}{2}\right) \cdot (2x)' = 2f(2x)
+$$
+
+**正确做法**：先换元将 $x$ 从被积函数中分离出来，再求导。
+
+### 正确答案
+
+**换元**：令 $u = x + \dfrac{t}{2}$，则 $dt = 2\,du$，
+
+$$
+t = 0 \Rightarrow u = x,\qquad t = 2x \Rightarrow u = 2x
+$$
+
+$$
+g(x) = \int_0^{2x} f\!\left(x + \frac{t}{2}\right) dt
+      = \int_x^{2x} f(u) \cdot 2\,du
+      = 2\int_x^{2x} f(u)\,du
+$$
+
+**求导**（此时被积函数不含 $x$）：
+
+$$
+g'(x) = 2\bigl[ f(2x)\cdot(2x)' - f(x)\cdot x' \bigr]
+      = 2\bigl[ 2f(2x) - f(x) \bigr]
+      = 4f(2x) - 2f(x)
+$$
+
+**确定无穷小的阶**：由积分中值定理，存在 $\xi \in [x, 2x]$ 使得
+
+$$
+g(x) = 2\int_x^{2x} f(u)\,du = 2f(\xi)\,(2x - x) = 2x f(\xi)
+$$
+
+当 $x \to 0^+$ 时 $\xi \to 0^+$，$f(\xi) \to f(0)$（$f$ 连续），故
+
+$$
+\lim_{x\to 0^+} \frac{g(x)}{\sqrt{x}}
+= \lim_{x\to 0^+} \frac{2x f(\xi)}{\sqrt{x}}
+= \lim_{x\to 0^+} 2\sqrt{x}\,f(\xi)
+= 0
+$$
+
+所以 $g(x)$ 是 $\sqrt{x}$ 的 **高阶无穷小**，选 **A**。
+
+### 知识点
+- 含参变量 $x$ 的变限积分，求导前先换元将 $x$ 从被积函数中分离
+- 换元时须同步更新积分上下限
+- Leibniz 公式：$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} F(x,t)\,dt = F(x,b(x))b'(x) - F(x,a(x))a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial F}{\partial x} dt$
+- 无穷小阶数的判定：极限为 $c \neq 0$ 则同阶，$c = 1$ 则等价
+
+---
+
+### 题目 05
+
+设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续且为偶函数，$a>0$，
+
+$$
+g(x) = \int_{-a}^{a} |x - t|\,f(t)\,dt
+$$
+
+则在 $[-a,a]$ 上（ ）。
+
+(A) $g(x)$ 是单调递增函数   (B) $g(x)$ 是单调递减函数   (C) $g(x)$ 是偶函数   (D) $g(x)$ 是奇函数
+
+### 错误原因
+
+凭直觉认为 $|x - t|$ 不是偶函数也不是奇函数，加上 $f(t)$ 为偶函数后结果「应该没有奇偶性」，忽略了变量代换后 $|x - t|$ 的对称性恰好使 $g(x)$ 为偶。
+
+另一种错误：试图先求导判断单调性，但未意识到 $g'(x)$ 的正负取决于 $f$ 的具体形式，无法确定单调性。
+
+### 正确答案
+
+**考查奇偶性**：作代换 $u = -t$：
+
+$$
+\begin{aligned}
+g(-x) &= \int_{-a}^{a} |-x - t|\,f(t)\,dt \\
+      &= \int_{a}^{-a} |-x + u|\,f(-u)\,(-du) \\
+      &= \int_{-a}^{a} |u - x|\,f(u)\,du \qquad (\text{偶性} \Rightarrow f(-u)=f(u)) \\
+      &= \int_{-a}^{a} |x - u|\,f(u)\,du = g(x)
+\end{aligned}
+$$
+
+故 $g(x)$ 为 **偶函数**。
+
+**考查单调性**（反例）：取 $f(t) \equiv 1$，则
+
+$$
+g(x) = \int_{-a}^{a} |x - t|\,dt
+     = (a^2 + x^2) - \bigl( -a^2 - x^2 \bigr) = 2(a^2 + x^2)
+$$
+
+$g(x)$ 在 $[-a,0]$ 递减、$[0,a]$ 递增，并非整体单调。故单调性不成立。
+
+综上，恒成立的结论是 $g(x)$ 为偶函数，选 **C**。
+
+### 知识点
+- 含绝对值的积分奇偶性判断：作变量代换 $t \to -t$
+- 偶函数 $\times$ 偶函数 $\to$ 偶函数；$|x-t|$ 在代换 $x\to -x,\;t\to -t$ 下不变
+- 单调性需具体分析，不能仅由被积函数形式直接推断
+
+---
+
+### 题目 06
+
+若 $y(x) = \displaystyle\int_{2}^{x^{2}} e^{-\sqrt{t}}\,dt$，则 $\left.\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}\right|_{x=-1} =$（ ）
+
+(A) $0$   (B) $1$   (C) $4e^{-1}$   (D) $4e$
+
+### 错误原因
+
+对 $\sqrt{x^{2}}$ 的处理忽略了绝对值：$\sqrt{x^{2}} = |x|$，而非 $x$。当 $x=-1$ 时，$|x| = 1$，而错误地认为 $\sqrt{(-1)^{2}} = -1$ 会导致符号错误。
+
+**❌ 错误做法**：
+
+$$
+y'(x) = e^{-\sqrt{x^{2}}} \cdot 2x = 2x e^{-x}
+\quad\Rightarrow\quad
+y''(x) = 2e^{-x}(1 - x)
+\quad\Rightarrow\quad
+y''(-1) = 2e^{1}(1 + 1) = 4e \quad\text{(选 D)}
+$$
+
+### 正确答案
+
+由 Leibniz 公式：
+
+$$
+y'(x) = e^{-\sqrt{x^{2}}} \cdot (x^{2})' = 2x\,e^{-|x|}
+$$
+
+在 $x=-1$ 的邻域内 $x<0$，故 $|x| = -x$，$e^{-|x|} = e^{x}$：
+
+$$
+y'(x) = 2x\,e^{x} \qquad (x < 0)
+$$
+
+再求导：
+
+$$
+y''(x) = 2e^{x} + 2x e^{x} = 2e^{x}(1 + x)
+$$
+
+代入 $x=-1$：
+
+$$
+y''(-1) = 2e^{-1}(1 - 1) = 0
+$$
+
+选 **A**。
+
+### 知识点
+- 变限积分求导：$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a}^{\varphi(x)} f(t)\,dt = f(\varphi(x))\,\varphi'(x)$
+- $\sqrt{x^{2}} = |x|$，分段处理绝对值
+- 复合函数求导注意符号细节

mistakes/math/07_重积分.md

@@ -0,0 +1,129 @@
+## 错题记录
+
+### 题目 01
+
+当 $x \to 0^+$ 时，
+
+$$
+f(x) = \int_{0}^{x^2} dy \int_{y}^{\sqrt{y}} \sin \frac{y}{t} \, dt
+$$
+
+与
+
+$$
+g(x) = a x^b
+$$
+
+是等价无穷小量，则 $ab = \underline{\hspace{2cm}}$ 。
+
+### 错误原因
+
+交换积分次序后，计算内层积分 $\displaystyle\int_{t^2}^{t} \sin \frac{y}{t} \, dy$ 时，原函数为 $\left[-t \cos \dfrac{y}{t}\right]$。代入上下限时**错误地把系数 $t$ 也随 $y$ 的上下限一并代入了值**（例如写成 $-t^2 \cos t$ 等），而正确的做法是：内层对 $y$ 积分时 $t$ 视为常数，系数 $t$ 不参与代入，只有 $\cos \frac{y}{t}$ 中的 $y$ 需要换成上下限。
+
+### 正确答案
+
+**Step 1：交换积分次序**
+
+积分区域 $D = \{(y, t) : 0 \le y \le x^2,\; y \le t \le \sqrt{y}\}$。
+
+由 $y \le t \le \sqrt{y}$ 解得 $t^2 \le y \le t$，结合 $0 \le y \le x^2$，且 $t \in [0, x]$，分两段：
+
+$$
+f(x) = \int_{0}^{x^2} dt \int_{t^2}^{t} \sin \frac{y}{t} \, dy
+      + \int_{x^2}^{x} dt \int_{t^2}^{x^2} \sin \frac{y}{t} \, dy
+$$
+
+**Step 2：计算内层积分**
+
+$\displaystyle\int \sin \frac{y}{t} \, dy = -t \cos \frac{y}{t}$，代入上下限：
+
+$$
+\begin{aligned}
+\int_{t^2}^{t} \sin \frac{y}{t} \, dy &= -t \cos 1 + t \cos t = t(\cos t - \cos 1) \\[4pt]
+\int_{t^2}^{x^2} \sin \frac{y}{t} \, dy &= -t \cos \frac{x^2}{t} + t \cos t = t\!\left(\cos t - \cos \frac{x^2}{t}\right)
+\end{aligned}
+$$
+
+**Step 3：合并**
+
+$$
+\begin{aligned}
+f(x) &= \int_{0}^{x^2} t(\cos t - \cos 1) \, dt
+      + \int_{x^2}^{x} t\!\left(\cos t - \cos \frac{x^2}{t}\right) dt \\[4pt]
+     &= \int_{0}^{x} t \cos t \, dt - \frac{\cos 1}{2} x^4 - \int_{x^2}^{x} t \cos \frac{x^2}{t} \, dt
+\end{aligned}
+$$
+
+其中 $\displaystyle\int_{0}^{x} t \cos t \, dt = x \sin x + \cos x - 1$。
+
+对最后一项作代换 $u = \dfrac{x^2}{t}$（$t = \dfrac{x^2}{u},\; dt = -\dfrac{x^2}{u^2}du$）：
+
+$$
+\int_{x^2}^{x} t \cos \frac{x^2}{t} \, dt = x^4 \int_{x}^{1} \frac{\cos u}{u^3} \, du
+$$
+
+故
+
+$$
+\boxed{f(x) = x \sin x + \cos x - 1 - \frac{\cos 1}{2} x^4 - x^4 \int_{x}^{1} \frac{\cos u}{u^3} \, du}
+$$
+
+**Step 4：用等价无穷小比值法求 $a, b$（$x \to 0^+$）**
+
+先求 $f'(x)$：由变限积分求导，
+
+$$
+f'(x) = 2x \int_{x^2}^{x} \sin \frac{x^2}{t} \, dt
+\;\xrightarrow{u = \frac{x^2}{t}}\;
+2x^3 \int_{x}^{1} \frac{\sin u}{u^2} \, du
+$$
+
+由等价无穷小关系 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{a x^b} = 1$，即 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x^b} = a$。
+
+使用洛必达法则：
+
+$$
+\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x^b}
+= \lim_{x \to 0^+} \frac{f'(x)}{b x^{b-1}}
+= \frac{2}{b} \lim_{x \to 0^+} x^{4-b} \int_{x}^{1} \frac{\sin u}{u^2} \, du
+$$
+
+当 $u \to 0^+$ 时 $\dfrac{\sin u}{u^2} \sim \dfrac{1}{u}$，故
+
+$$
+\int_{x}^{1} \frac{\sin u}{u^2} \, du \sim \int_{x}^{1} \frac{1}{u} \, du = -\ln x \qquad (x \to 0^+)
+$$
+
+于是
+
+$$
+\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x^b}
+= -\frac{2}{b} \lim_{x \to 0^+} x^{4-b} \ln x
+$$
+
+分析：
+- 若 $b < 4$，则 $x^{4-b} \ln x \to 0$，极限为 $0$
+- 若 $b > 4$，则 $x^{4-b} \to +\infty$，$x^{4-b} \ln x \to -\infty$，极限为 $+\infty$
+- 若 $b = 4$，则 $\ln x \to -\infty$，极限为 $+\infty$
+
+要使极限为非零有限值，由 $\ln x$ 的存在可知不存在这样的 $b$。
+
+$$
+\boxed{f(x) \sim -\frac{1}{2} x^4 \ln x \quad (x \to 0^+)}
+$$
+
+即 $f(x)$ 主导阶为 $x^4 \ln x$，不是纯幂函数 $a x^b$。
+
+### 知识点
+
+**二重积分：**
+
+- **积分次序交换**：给定积分区域 $D = \{(y,t) \mid a \le y \le b,\; \varphi_1(y) \le t \le \varphi_2(y)\}$，交换次序需从不等式 $\varphi_1(y) \le t \le \varphi_2(y)$ 反解出 $y$ 关于 $t$ 的范围 $\psi_1(t) \le y \le \psi_2(t)$，并确定 $t$ 的新范围 $[c,d]$。本题从 $y \le t \le \sqrt{y}$ 反解得 $t^2 \le y \le t$。
+- **分段处理**：交换次序后若 $\min / \max$ 分段点落在积分区间内，需拆分为多个积分。本题 $\min(t, x^2)$ 在 $t = x^2$ 处切换，故分为 $[0, x^2]$ 和 $[x^2, x]$ 两段。
+- **内层积分时外层变量视为常数**：计算 $\int_{t^2}^{t} \sin \frac{y}{t} \, dy$ 时 $t$ 固定，原函数 $\left[-t \cos \frac{y}{t}\right]$ 中系数 $t$ **不参与代入上下限**（本题错误根源）。
+
+**变限积分与等价无穷小：**
+
+- **变限积分求导**：$F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} h(x, t) \, dt$，若被积函数含 $x$，应先换元分离再求导。本题交换次序后 $x$ 只出现在积分限，可直接用 Leibniz 公式。
+- **洛必达法则判定无穷小阶数**：$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{F(x)}{x^b} = \lim_{x \to 0^+} \frac{F'(x)}{b x^{b-1}}$，逐步降阶直到极限为非零有限值。
+- **$\ln x$ 型奇异性**：$\displaystyle\int_{x}^{1} \frac{\sin u}{u^2} du$ 在 $u \to 0^+$ 时 $\frac{\sin u}{u^2} \sim \frac{1}{u}$，积分 $\sim -\ln x$，导致最终结果含 $\ln x$ 因子，不存在纯幂函数等价无穷小。

mistakes/math/README.md

@@ -101,6 +101,9 @@ mistakes/math/
 | 04_积分 | [题目01 - 反常积分敛散性判别](04_积分.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
 | 04_积分 | [题目02 - 1/(a+bcosx) 积分讨论](04_积分.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
 | 04_积分 | [题目03 - 1+√((1+x)/x) 积分](04_积分.md#题目-03) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
+| 04_积分 | [题目04 - 变限积分含参变量求导](04_积分.md#题目-04) | [概念] | ⭐⭐⭐ |
+| 04_积分 | [题目05 - |x-t| 含参积分奇偶性](04_积分.md#题目-05) | [概念] | ⭐⭐⭐ |
+| 04_积分 | [题目06 - 变限积分二阶导](04_积分.md#题目-06) | [计算] | ⭐⭐⭐ |
 
 ### 杂项
 | 文件 | 说明 |

subjects/cn/03_数据链路层.md

@@ -0,0 +1,225 @@
+## 数据链路层
+
+### 1. 数据链路层功能
+
+| 功能 | 说明 |
+|------|------|
+| 组帧 | 将网络层数据包封装成帧，添加首部和尾部 |
+| 差错控制 | 检测或纠正传输中的比特错误 |
+| 流量控制 | 协调收发双方速率，防止接收方溢出 |
+| 介质访问控制 | 控制多个节点共享信道时的有序访问（MAC 子层） |
+| 链路管理 | 建立、维护、释放数据链路连接 |
+
+> **服务访问点（SAP）**：网络层与数据链路层的接口，帧中通过类型字段（EtherType）标识上层协议。
+
+### 2. 组帧（Framing）
+
+#### 2.1 字符计数法
+
+- 帧首部用计数字段标识帧长
+- 计数字段出错则无法同步，现已很少使用
+
+#### 2.2 字符填充法
+
+- 用特殊标志字符界定帧的起止（如 `DLE STX` / `DLE ETX`）
+- 数据中出现标志字符时在其前插入转义字符 `DLE`
+
+#### 2.3 零比特填充法（HDLC）
+
+- 以 `01111110` 作为帧边界
+- 数据中每出现连续的 5 个 `1` 后自动插入一个 `0`（透明传输）
+- 接收端检测到 `01111110` 即帧边界，自动删除数据中的填充 `0`
+
+#### 2.4 物理层编码违例法
+
+- 利用物理层编码的冗余信号表示帧边界（如曼彻斯特编码的高-高/低-低）
+
+### 3. 差错控制
+
+#### 3.1 检错编码
+
+| 编码 | 原理 | 特点 |
+|------|------|------|
+| 奇偶校验 | 添加一位使 `1` 个数为奇/偶 | 只能检出奇数位错误，检错率低 |
+| 循环冗余校验（CRC） | 数据多项式除以生成多项式，余数作为 FCS | 检错能力强，硬件实现简单 |
+
+**CRC 步骤**：
+
+1. 选定生成多项式 $G(x)$，阶数为 $r$
+2. 数据后补 $r$ 个 0，模 2 除以 $G(x)$（异或运算）
+3. 余数（$r$ 位）即为帧检验序列（FCS），替换补的 0
+4. 接收端用同一 $G(x)$ 除整个帧，余数为 0 则无错
+
+> **CRC 是检错码，不是纠错码**，发现错误后要求重传。
+
+#### 3.2 纠错编码（海明码）
+
+**海明不等式**：$2^k \ge n + k + 1$，其中 $n$ 为有效数据的位数，$k$ 为校验位的位数。
+
+**校验位位置**：放在 $2^{i}$ 位置（$i = 0,1,2,\dots$），即第 $1,2,4,8,\dots$ 位。
+
+**检错与纠错**：每个校验位负责一组数据位，出错时多个校验位联合定位错误位，可纠正 1 位错误。
+
+| 能力 | 说明 |
+|------|------|
+| 检 2 位错 + 纠 1 位错 | 增加一位全局奇偶校验位实现 |
+| 仅纠 1 位错 | 标准海明码 |
+
+### 4. 流量控制与可靠传输机制
+
+#### 4.1 停止-等待协议（Stop-and-Wait）
+
+- 发送方每发一帧，等待 ACK 后再发下一帧
+- 超时未收到 ACK 则重传（需编号区分重复帧）
+- **信道利用率**很低：$U = \dfrac{T_D}{T_D + RTT + T_A}$
+
+> 在卫星链路等高延迟信道中效率极低，仅适用于低带宽或简单场景。
+
+#### 4.2 后退 N 帧协议（GBN）
+
+- 发送窗口 $W_T > 1$，接收窗口 $W_R = 1$
+- 发送方可连续发多帧，接收方只按序接收
+- 某帧出错 → 丢弃该帧及之后所有帧，发送方超时后从出错帧开始全部重发
+- 信道利用率高于停等，但大量重传浪费带宽
+
+#### 4.3 选择重传协议（SR）
+
+- 发送窗口 $W_T > 1$，接收窗口 $W_R > 1$
+- 接收方缓存乱序到达的正确帧，仅要求重传出错帧
+- 窗口大小限制：$W_{\max} = 2^{n-1}$（$n$ 为帧序号位数）
+- 信道利用率最高，但实现复杂
+
+**三个协议对比**：
+
+| 协议 | 发送窗口 | 接收窗口 | 重传策略 | 利用率 |
+|:----|:-------:|:-------:|---------|:-----:|
+| 停等 | 1 | 1 | 出错帧超时重发 | 最低 |
+| GBN | $>1$ | 1 | 从出错帧起全部重传 | 中等 |
+| SR | $>1$ | $>1$ | 仅重传出错帧 | 最高 |
+
+> **滑动窗口机制**：帧序号位数 $n$ 决定可用序号空间 $[0, 2^n-1]$，窗口大小不得超过序号空间的一半或总数（SR 要求 $W_T + W_R \le 2^n$）。
+
+### 5. 介质访问控制（MAC）
+
+#### 5.1 信道划分介质访问控制
+
+基于**复用技术**，各节点共享信道而互不干扰：
+
+| 方式 | 原理 | 典型应用 |
+|:----|------|---------|
+| 频分多路复用（FDMA） | 各节点占用不同频率 | 广播电视、ADSL |
+| 时分多路复用（TDMA） | 各节点占用不同时隙 | 2G GSM |
+| 码分多路复用（CDMA） | 各节点使用正交码序列 | 3G 移动通信 |
+| 波分多路复用（WDMA） | 各节点使用不同波长 | 光纤通信 |
+
+#### 5.2 随机访问介质访问控制
+
+| 协议 | 核心思想 | 特点 |
+|:----|---------|------|
+| ALOHA | 有数据直接发，冲突后随机等待重发 | 纯 ALOHA 利用率 $1/2e$，时隙 ALOHA $1/e$ |
+| CSMA | 发前先听信道，忙则等待 | 非坚持/1-坚持/p-坚持三种策略 |
+| CSMA/CD | 边发边听，检测到冲突立即停止（有线） | 用于以太网，最小帧长确保冲突检测 |
+| CSMA/CA | 发前先预约信道（无线） | 用于 802.11 WLAN，避免隐蔽站问题 |
+
+**CSMA/CD 要点**：
+
+- 争用期（碰撞窗口）= $2\tau$（$\tau$ 为单程传播时延）
+- 最小帧长 = 争用期 × 数据传输速率
+- 二进制指数退避算法：第 $i$ 次冲突后从 $[0, 2^i-1]$ 随机选退避时间
+
+#### 5.3 轮询访问介质访问控制
+
+| 方式 | 原理 | 特点 |
+|:----|------|------|
+| 轮询（Polling） | 主节点依次询问从节点 | 无冲突，但有轮询开销和等待延迟 |
+| 令牌传递（Token Passing） | 持有令牌的节点才能发送 | 用于令牌环网和令牌总线 |
+
+### 6. 局域网
+
+#### 6.1 以太网（Ethernet，IEEE 802.3）
+
+**MAC 地址**：48 位全球唯一地址，前 24 位为 OUI（厂商代码），后 24 位为序列号。
+
+**以太网帧格式**：
+| 字段 | 前导码 | 定界符 | MAC 目的地址 | MAC 源地址 | 长度/类型 | 数据 | 填充 | FCS（CRC） |
+|:----|:-----:|:-----:|:----------:|:--------:|:--------:|:---:|:---:|:--------:|
+| 长度（B） | 7 | 1 | 6 | 6 | 2 | 46-1500 | 可变 | 4 |
+
+> **最小帧长 64B**：保证在检测到冲突前帧尚未发送完毕（CSMA/CD 要求）。数据不足 46B 时需填充。
+
+**以太网速率演进**：
+| 标准 | 速率 | 介质 |
+|:----|:---:|------|
+| 10BASE-T | 10 Mbps | 双绞线 |
+| 100BASE-T（快速以太网） | 100 Mbps | 双绞线 |
+| 1000BASE-T（千兆以太网） | 1 Gbps | 双绞线/光纤 |
+| 10GBASE-T（万兆以太网） | 10 Gbps | 光纤/双绞线 |
+
+#### 6.2 虚拟局域网（VLAN）
+
+- 基于交换机端口/MAC 地址/协议/IP 子网等划分逻辑工作组
+- **IEEE 802.1Q 帧标记**：在标准以太网帧中插入 4B VLAN 标记（VID 12 位），最大 4096 个 VLAN
+- 隔离广播域，提高安全性和灵活性
+
+#### 6.3 无线局域网（WLAN，IEEE 802.11）
+
+**CSMA/CA**：发送前先等待 DIFS，然后退避随机时间；接收方回复 ACK 前等待 SIFS。
+
+**帧类型**：
+| 类型 | 用途 |
+|:----|------|
+| 管理帧 | 关联、认证、信标（Beacon） |
+| 控制帧 | RTS/CTS、ACK |
+| 数据帧 | 传输上层数据 |
+
+> **隐蔽站问题**：站 A 和 C 分别位于 AP 两侧，彼此无法感知对方发送，使用 RTS/CTS（请求发送/允许发送）解决。
+
+### 7. 广域网
+
+#### 7.1 PPP 协议（点对点协议）
+
+- 提供**点对点**链路上的数据封装
+- 三个组件：HDLC 封装、LCP（链路控制协议）、NCP（网络控制协议）
+- **透明传输**：异步链路用字符填充法，同步链路用零比特填充法
+- 无需流量控制和纠错（只做检错）
+
+> PPP 常用于拨号上网、PPPoE（以太网上的 PPP，宽带接入）。
+
+#### 7.2 HDLC 协议（高级数据链路控制）
+
+- 面向比特的同步链路控制协议
+- 三种站：主站（命令）、从站（响应）、复合站
+- 三种帧：**信息帧（I）**、**监控帧（S）**、**无编号帧（U）**
+- 使用零比特填充法透明传输
+
+**PPP vs HDLC**：
+| 特性 | PPP | HDLC |
+|:----|:---:|:----:|
+| 面向方式 | 字节 | 比特 |
+| 透明传输 | 字符填充/零比特填充 | 零比特填充 |
+| ACK | 不需要 | 需要 |
+| 差错控制 | 只检错 | 检错 + 重传 |
+| 流量控制 | 不支持 | 滑动窗口 |
+
+### 8. 数据链路层设备
+
+| 设备 | 层级 | 转发依据 | 功能 |
+|:----|:---:|---------|------|
+| 网桥 | 2 | MAC 地址 | 隔离冲突域（不隔离广播域），连接两个网段 |
+| 交换机 | 2 | MAC 地址 | 多端口的网桥，全双工，每个端口独立带宽 |
+
+> **冲突域**：同一时刻只能有一台设备发送数据的区域（交换机每个端口独立冲突域）。
+> **广播域**：广播帧能到达的范围（交换机不隔离广播域，VLAN 可隔离）。
+
+**自学习算法**（交换机/网桥地址表建立）：
+1. 收到帧时记录源 MAC 地址及入端口
+2. 目的 MAC 在表中 → 只转发到对应端口
+3. 目的 MAC 不在表中 → 从所有端口广播（洪泛）
+4. 地址表条目有老化时间
+
+**交换机三种交换方式**：
+| 方式 | 转发时机 | 延迟 | 错误检测 |
+|:----|---------|:---:|:-------:|
+| 直通交换 | 只查目的 MAC 地址即转发 | 低 | 无 |
+| 存储转发 | 完整接收一帧，查 FCS 无误后转发 | 高 | 完整检测 |
+| 无碎片交换 | 接收前 64B（最小帧长）后转发 | 中 | 可滤除冲突碎片 |

subjects/math/04_积分.md

@@ -23,6 +23,7 @@ $$
 - [04_积分_换元与分部.md](./04_积分_换元与分部.md) — 换元积分法、分部积分法
 - [04_积分_有理分式.md](./04_积分_有理分式.md) — 有理分式积分
 - [04_积分_反常积分.md](./04_积分_反常积分.md) — 反常积分的定义与比较判别法
+- [04_积分_变限积分.md](./04_积分_变限积分.md) — 变限积分求导、含参变量积分、奇偶性
 
 ### 知识点
 - 定积分的定义
@@ -40,3 +41,8 @@ $$
 - 反常积分的定义与分类（无穷限 + 瑕积分）
 - 反常积分的比较判别法（一般形式与极限形式）
 - 常用反常积分比较基准：$\int \frac{1}{x^p}\,dx$
+- 变限积分求导公式（基本形式 + Leibniz 公式）
+- 含参变量变限积分：先换元分离 $x$，再求导
+- 变限积分中的绝对值处理（$\sqrt{x^2}=|x|$）
+- 变限积分与无穷小阶数判定（积分中值定理）
+- 变限积分的奇偶性（$f$ 奇 $\Rightarrow$ $F$ 偶，$f$ 偶 $\Rightarrow$ $F$ 奇）

subjects/math/04_积分_变限积分.md

@@ -0,0 +1,178 @@
+## 笔记记录
+
+### 要点 11 - 变限积分求导公式（基本形式）
+
+设 $f(t)$ 连续，$a(x), b(x)$ 可导，则：
+
+$$
+\frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f\big(b(x)\big)\,b'(x) - f\big(a(x)\big)\,a'(x)
+$$
+
+**特例**：
+
+| 情况 | 公式 |
+|------|------|
+| 下限为常数 $a$ | $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^{b(x)} f(t)\,dt = f(b(x))\,b'(x)$ |
+| 上限为常数 $b$ | $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^b f(t)\,dt = -f(a(x))\,a'(x)$ |
+| 上下限均为常数 | $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^b f(t)\,dt = 0$ |
+
+**推导思路**：设 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的原函数，则：
+
+$$
+\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = F(b(x)) - F(a(x))
+$$
+
+两边求导即得公式。
+
+---
+
+### 要点 12 - 含参变量的变限积分求导（Leibniz 公式）
+
+当被积函数也含有 $x$ 时，需使用 **Leibniz 公式**：
+
+$$
+\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} F(x,t)\,dt
+= F\big(x,b(x)\big)\,b'(x) - F\big(x,a(x)\big)\,a'(x)
++ \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial F(x,t)}{\partial x}\,dt
+$$
+
+**关键策略：先换元，再求导**
+
+若 $F(x,t) = f(x + g(t))$ 这类形式，直接求导容易漏掉 $\frac{\partial F}{\partial x}$ 项。推荐做法：
+
+1. 先换元将 $x$ 从被积函数中分离
+2. 使被积函数仅含积分变量，不再含 $x$
+3. 再用基本变限积分求导公式
+
+**典例**：设 $g(x) = \displaystyle\int_0^{2x} f\!\left(x + \dfrac{t}{2}\right) dt$，求 $g'(x)$。
+
+**解**：令 $u = x + \dfrac{t}{2}$，则 $dt = 2\,du$，
+
+$$
+t = 0 \Rightarrow u = x,\qquad t = 2x \Rightarrow u = 2x
+$$
+
+$$
+g(x) = \int_0^{2x} f\!\left(x + \frac{t}{2}\right) dt
+      = \int_x^{2x} f(u) \cdot 2\,du
+      = 2\int_x^{2x} f(u)\,du
+$$
+
+此时被积函数不含 $x$，直接用基本公式：
+
+$$
+g'(x) = 2\bigl[ f(2x)\cdot 2 - f(x)\cdot 1 \bigr]
+      = 4f(2x) - 2f(x)
+$$
+
+**易错点**：若直接用 Leibniz 公式，容易漏掉第三项 $\int \frac{\partial F}{\partial x} dt$。
+
+---
+
+### 要点 13 - 变限积分中的绝对值处理
+
+当变限积分上限/下限或被积函数中出现 $\sqrt{x^2}$ 等含绝对值表达式时，需分段讨论。
+
+**核心等式**：$\sqrt{x^2} = |x|$
+
+**典例**：设 $y(x) = \displaystyle\int_2^{x^2} e^{-\sqrt{t}}\,dt$，求 $y''(-1)$。
+
+**解**：
+
+由基本公式：
+
+$$
+y'(x) = e^{-\sqrt{x^2}} \cdot (x^2)' = 2x\,e^{-|x|}
+$$
+
+在 $x = -1$ 的邻域内 $x < 0$，故 $|x| = -x$，$e^{-|x|} = e^x$：
+
+$$
+y'(x) = 2x\,e^x \qquad (x < 0)
+$$
+
+再求导：
+
+$$
+y''(x) = 2e^x + 2x e^x = 2e^x(1 + x)
+$$
+
+代入 $x = -1$：
+
+$$
+y''(-1) = 2e^{-1}(1 - 1) = 0
+$$
+
+**易错点**：直接写 $e^{-\sqrt{x^2}} = e^{-x}$ 而忽略 $|x|$，导致 $y''(-1) = 4e$（错误）。
+
+---
+
+### 要点 14 - 变限积分与无穷小阶数的判定
+
+变限积分常与极限问题结合，判定无穷小阶数时常用技巧：
+
+**1. 直接使用变限积分求导 + 洛必达法则**
+
+当 $x \to 0$ 时 $\int_0^x f(t)\,dt \sim f(0)\,x$（若 $f(0) \neq 0$），利用此等价关系快速判定阶数。
+
+**2. 积分中值定理**
+
+若 $\xi$ 介于积分上下限之间：
+
+$$
+\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f(\xi)\big(b(x) - a(x)\big)
+$$
+
+当 $a(x) \to 0, b(x) \to 0$ 时 $\xi \to 0$，$f(\xi) \to f(0)$（$f$ 连续）。
+
+**典例**：$g(x) = 2\displaystyle\int_x^{2x} f(u)\,du$，判定 $x \to 0^+$ 时 $g(x)$ 与 $\sqrt{x}$ 的阶数关系。
+
+$$
+g(x) = 2f(\xi)(2x - x) = 2x f(\xi), \quad \xi \in [x, 2x]
+$$
+
+$$
+\lim_{x\to 0^+} \frac{g(x)}{\sqrt{x}} = \lim_{x\to 0^+} 2\sqrt{x}\,f(\xi) = 0
+$$
+
+故 $g(x)$ 是 $\sqrt{x}$ 的高阶无穷小。
+
+---
+
+### 要点 15 - 变限积分的奇偶性
+
+设 $f(x)$ 为连续函数，利用变量代换判断含参积分的奇偶性。
+
+**基本结论**：
+
+| $f(x)$ 的奇偶性 | $F(x) = \displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ 的奇偶性 |
+|:---:|:---:|
+| $f$ 为奇函数 | $F$ 为偶函数 |
+| $f$ 为偶函数 | $F$ 为奇函数（当 $F(0)=0$） |
+
+**含绝对值的含参积分**：作代换 $t \to -t$ 检验。
+
+**典例**：$g(x) = \displaystyle\int_{-a}^a |x - t|\,f(t)\,dt$，$f$ 为偶函数，判定 $g(x)$ 的奇偶性。
+
+$$
+\begin{aligned}
+g(-x) &= \int_{-a}^a |-x - t|\,f(t)\,dt \\
+      &= \int_{a}^{-a} |-x + u|\,f(-u)\,(-du) \quad (u = -t) \\
+      &= \int_{-a}^a |u - x|\,f(u)\,du \quad (f(-u)=f(u)) \\
+      &= g(x)
+\end{aligned}
+$$
+
+故 $g(x)$ 为偶函数。
+
+---
+
+### 知识点
+- 变限积分求导基本公式：$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)dt = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)$
+- Leibniz 公式：被积函数含 $x$ 时须加 $\int \frac{\partial F}{\partial x} dt$ 项
+- 含参变量变限积分的求导策略：先换元分离 $x$，再求导
+- $\sqrt{x^2} = |x|$，分段处理绝对值
+- 变限积分与无穷小阶数判定（洛必达 / 积分中值定理）
+- $\displaystyle\int_0^x f(t)dt \sim f(0)\,x$（$x \to 0$，$f$ 连续）
+- 变限积分奇偶性：$f$ 奇 $\Rightarrow$ $F$ 偶；$f$ 偶 $\Rightarrow$ $F$ 奇
+- 变量代换法判断含绝对值含参积分的奇偶性

subjects/math/07_重积分.md

@@ -0,0 +1,84 @@
+## 笔记记录
+
+### 要点 01 - 二重积分的积分次序交换
+
+二重积分交换次序的核心步骤：
+
+1. **画出积分区域**：根据原积分限写出不等式，在坐标系中标出区域 $D$
+2. **反解不等式**：将"先 $t$ 后 $y$"的不等式组改写为"先 $y$ 后 $t$"的形式
+3. **确定新限**：写出交换后的累次积分
+
+**示例**：设原积分为 $\displaystyle\int_a^b dy \int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)} f(y,t)\,dt$，交换后为 $\displaystyle\int_c^d dt \int_{\psi_1(t)}^{\psi_2(t)} f(y,t)\,dy$。
+
+---
+
+### 要点 02 - 由不等式反解积分限
+
+给定 $a \le y \le b,\; \varphi_1(y) \le t \le \varphi_2(y)$：
+
+- 从 $\varphi_1(y) \le t \le \varphi_2(y)$ 解出 $y$ 的范围：$\psi_1(t) \le y \le \psi_2(t)$
+- $t$ 的范围为 $[c,d] = [\min \varphi_1(y), \max \varphi_2(y)]$（$y \in [a,b]$）
+
+**常见反解关系**：
+
+| 原关系 | 反解 |
+|--------|------|
+| $y \le t$ | $y \le t$ |
+| $t \le \sqrt{y}$ | $y \ge t^2$ |
+| $t \le y^2$ | $y \ge \sqrt{t}$ |
+| $t \ge y^2$ | $y \le \sqrt{t}$ |
+
+---
+
+### 要点 03 - 分段处理（$\min$/$\max$ 切换）
+
+交换次序后，若上限/下限含 $\min$ 或 $\max$，需在切换点处拆分为多段积分。
+
+设 $y \in [t^2, \min(t, x^2)]$，切换点为 $t = x^2$：
+
+- 当 $0 \le t \le x^2$ 时：$\min(t, x^2) = t$，故 $y \in [t^2, t]$
+- 当 $x^2 \le t \le x$ 时：$\min(t, x^2) = x^2$，故 $y \in [t^2, x^2]$
+
+积分拆为两段：
+$$\int_0^{x^2} dt \int_{t^2}^t f\,dy + \int_{x^2}^x dt \int_{t^2}^{x^2} f\,dy$$
+
+---
+
+### 要点 04 - 内层积分时外层变量视为常数
+
+计算累次积分 $\displaystyle\int dt \int g(y, t)\,dy$ 时：
+
+- 先对 $y$ 积分，此时 $t$ 视为**常数**
+- 原函数中的 $t$（来自被积函数或换元）**不参与代入上下限**
+- 只有含 $y$ 的部分受上下限影响
+
+**❌ 常见错误**：$\displaystyle\int_{t^2}^t t \cdot h(y,t)\,dy$ 代入时把系数 $t$ 也随 $y$ 限代值，写成 $t \cdot h(t,t) - t^2 \cdot h(t^2,t)$ 之类。
+
+**✅ 正确做法**：系数 $t$ 提出积分号或保持不动：
+$$\int_{t^2}^t t \cdot h(y,t)\,dy = t \int_{t^2}^t h(y,t)\,dy$$
+
+---
+
+### 要点 05 - 二重积分的变量代换
+
+对 $\displaystyle\iint_D f(y,t)\,dy\,dt$，作代换 $(y,t) \to (u,v)$：
+
+$$
+\iint_D f(y,t)\,dy\,dt = \iint_{D'} f\big(y(u,v), t(u,v)\big) \cdot |J| \, du\,dv
+$$
+
+其中 Jacobi 行列式 $J = \dfrac{\partial(y,t)}{\partial(u,v)}$。
+
+**常用代换**：
+- 极坐标：$y = r\cos\theta,\; t = r\sin\theta$，$|J| = r$
+- 线性代换：$u = ay + bt,\; v = cy + dt$，$|J| = |ad - bc|^{-1}$
+
+---
+
+### 知识点
+
+- 二重积分交换次序：画出区域 → 反解不等式 → 写出新积分限
+- $\min/\max$ 型边界需分段处理
+- 累次积分中，内层积分时外层变量为常数，不可随内层限代值
+- 变量代换的 Jacobi 行列式
+- 极坐标变换：$dx\,dy \to r\,dr\,d\theta$

subjects/math/README.md

@@ -29,6 +29,11 @@
 - [要点 08 - 有理分式积分](./04_积分_有理分式.md#要点-08---有理分式积分)
 - [要点 09 - 反常积分的定义与分类](./04_积分_反常积分.md#要点-09---反常积分的定义与分类)
 - [要点 10 - 反常积分的比较判别法](./04_积分_反常积分.md#要点-10---反常积分的比较判别法)
+- [要点 11 - 变限积分求导公式（基本形式）](./04_积分_变限积分.md#要点-11---变限积分求导公式基本形式)
+- [要点 12 - 含参变量的变限积分求导（Leibniz 公式）](./04_积分_变限积分.md#要点-12---含参变量的变限积分求导leibniz-公式)
+- [要点 13 - 变限积分中的绝对值处理](./04_积分_变限积分.md#要点-13---变限积分中的绝对值处理)
+- [要点 14 - 变限积分与无穷小阶数的判定](./04_积分_变限积分.md#要点-14---变限积分与无穷小阶数的判定)
+- [要点 15 - 变限积分的奇偶性](./04_积分_变限积分.md#要点-15---变限积分的奇偶性)
 
 ### [05_微分方程.md](./05_微分方程.md)
 - [要点 01 - 一阶可分离变量方程](./05_微分方程.md#要点-01---一阶可分离变量方程)
@@ -71,10 +76,10 @@
 | 01 极限 | 等价无穷小、泰勒展开 | 1 |
 | 02 导数与微分 | 莱布尼兹公式、隐函数求导、曲率 | 3 |
 | 03 中值定理 | 罗尔/拉格朗日/柯西中值定理、泰勒公式、辅助函数构造 | 6 |
-| 04 积分 | 分式/根号/三角/换元/分部/有理分式/反常积分 | 10（分 5 子章节） |
+| 04 积分 | 分式/根号/三角/换元/分部/有理分式/反常积分/变限积分 | 15（分 6 子章节） |
 | 05 微分方程 | 一阶/高阶方程、常系数、欧拉方程 | 8 |
 | 09 级数 | 数列不动点、正项级数审敛 | 8 |
 | e01 常用公式速查 | 乘/指/对/数列/不等式/韦达定理 | — |
 | e02 三角函数 | 奇变偶不变、和差化积、sec/csc/cot、积分递推 | — |
 
-**总计：36 个要点（04 积分拆为 5 子章节）+ 2 篇杂项**
+**总计：41 个要点（04 积分拆为 6 子章节）+ 2 篇杂项**