feat：增加递推部分

subjects/math/04_积分.md

@@ -265,6 +265,30 @@ $$
 \int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C
 $$
 
+$$
+\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C
+$$
+
+$$
+\int \csc x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C
+$$
+
+$$
+\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
+$$
+
+$$
+\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
+$$
+
+$$
+\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C
+$$
+
+$$
+\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C
+$$
+
 #### 万能代换
 
 令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则：
@@ -285,6 +309,164 @@ $$
 \int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2} x \, dx
 $$
 
+#### 点火公式（Wallis 公式）
+
+利用 $\sin^n$ 递推公式在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上积分，边界项为零：
+$$
+J_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \frac{n-1}{n} J_{n-2}
+$$
+
+**递推过程**：
+$$
+\begin{aligned}
+J_n &= \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx
+      = \left[-\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n}\right]_0^{\pi/2} + \frac{n-1}{n} J_{n-2} \\
+    &= \frac{n-1}{n} J_{n-2}
+\end{aligned}
+$$
+
+同理 $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = J_n$（对称性）。
+
+**点火链条**（初始条件 $J_0 = \frac{\pi}{2},\; J_1 = 1$）：
+$$
+\begin{aligned}
+n \text{ 为偶数} &: \quad J_n = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot J_0
+                  = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2} \\[4pt]
+n \text{ 为奇数} &: \quad J_n = \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot J_1
+                  = \frac{(n-1)!!}{n!!}
+\end{aligned}
+$$
+
+**记忆口诀**："点火公式"即链条式递推，偶数多一个 $\frac{\pi}{2}$（引信），奇数直接出结果（哑火）。
+
+常见值：
+$$
+J_2 = \frac{\pi}{4},\quad J_3 = \frac{2}{3},\quad J_4 = \frac{3\pi}{16},\quad J_5 = \frac{8}{15}
+$$
+
+---
+
+$$
+\int \sec^n x \, dx = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2} x \, dx \quad (n \neq 1)
+$$
+
+$$
+\int \csc^n x \, dx = -\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2} x \, dx \quad (n \neq 1)
+$$
+
+**secⁿ 递推公式推导**（分部积分法）：
+
+设 $I_n = \int \sec^n x \, dx$，改写为 $\int \sec^{n-2} x \cdot \sec^2 x \, dx$。
+
+令 $u = \sec^{n-2} x$，$dv = \sec^2 x \, dx$，则：
+$$
+du = (n-2)\sec^{n-2} x \tan x \, dx,\quad v = \tan x
+$$
+
+代入分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$：
+$$
+\begin{aligned}
+I_n &= \sec^{n-2} x \tan x - \int \tan x \cdot (n-2)\sec^{n-2} x \tan x \, dx \\
+    &= \sec^{n-2} x \tan x - (n-2)\int \sec^{n-2} x \tan^2 x \, dx
+\end{aligned}
+$$
+
+利用 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$：
+$$
+I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2)\int \sec^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx
+$$
+
+$$
+I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2) I_n + (n-2) I_{n-2}
+$$
+
+移项合并 $I_n$ 项：
+$$
+(n-1) I_n = \sec^{n-2} x \tan x + (n-2) I_{n-2}
+$$
+
+$$
+\boxed{I_n = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} I_{n-2}}
+$$
+
+需要两个初始条件：
+- $I_1 = \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$
+- $I_2 = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$
+
+**cscⁿ 递推公式推导**类似，利用 $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$。
+
+---
+
+#### 递推式的完全展开
+
+递推公式重复代入即可展开为有限项和（初等函数的闭式表达）。
+
+**sinⁿ / cosⁿ 的完全展开**（不定积分，设 \(I_n = \int \sin^n x \, dx\)）：
+
+边界条件 \(I_0 = x + C,\; I_1 = -\cos x + C\)
+
+$$
+\begin{aligned}
+I_n &= -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n}
+      + \frac{n-1}{n} \left(-\frac{\sin^{n-3} x \cos x}{n-2}\right)
+      + \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2} \left(-\frac{\sin^{n-5} x \cos x}{n-4}\right) + \cdots \\[4pt]
+    &= -\cos x \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!!}{(n-k)!!} \cdot \frac{\sin^{n-k} x}{(n-k+1)!!} \quad \text{（示意模式）}
+\end{aligned}
+$$
+
+更清晰地，按奇偶展开：
+
+**\(n\) 为偶数**（\(n=2m\)）：
+$$
+\int \sin^{2m} x \, dx = -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2k+2)}
+                        \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+1} + C_{2m}
+$$
+其中 \(C_{2m}\) 为常数项（来自 \(I_0\)）。
+
+**\(n\) 为奇数**（\(n=2m+1\)）：
+$$
+\int \sin^{2m+1} x \, dx = -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)}{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}
+                        \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+2} + C_{2m+1}
+$$
+其中 \(C_{2m+1}\) 来自 \(I_1 = -\cos x\) 项。
+
+**实际记忆**：通常直接用递推公式比记忆展开式更实用，考试中一般只需求特定 \(n\) 的值或用到递推关系。
+
+**secⁿ 的完全展开**（设 \(I_n = \int \sec^n x \, dx\)）：
+
+递推式同样可展开，以奇数/偶数分界：
+
+**\(n\) 为偶数**（\(n=2m\)，终止于 \(I_2 = \tan x + C\)）：
+$$
+I_{2m} = \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2k+2)}{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)} \cdot \frac{\sec^{2m-2k} x \tan x}{2m-2k+1} + C
+$$
+
+例如：
+$$
+\begin{aligned}
+I_2 &= \tan x + C \\[2pt]
+I_4 &= \frac{1}{3}\sec^2 x \tan x + \frac{2}{3}\tan x + C \\[2pt]
+I_6 &= \frac{1}{5}\sec^4 x \tan x + \frac{4}{15}\sec^2 x \tan x + \frac{8}{15}\tan x + C
+\end{aligned}
+$$
+
+**\(n\) 为奇数**（\(n=2m+1\)，终止于 \(I_1 = \ln|\sec x + \tan x| + C\)）：
+$$
+I_{2m+1} = \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)} \cdot \frac{\sec^{2m-2k+1} x \tan x}{2m-2k+2}
+          + \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \ln|\sec x + \tan x| + C
+$$
+
+例如：
+$$
+\begin{aligned}
+I_1 &= \ln|\sec x + \tan x| + C \\[2pt]
+I_3 &= \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C \\[2pt]
+I_5 &= \frac{1}{4}\sec^3 x \tan x + \frac{3}{8}\sec x \tan x + \frac{3}{8}\ln|\sec x + \tan x| + C
+\end{aligned}
+$$
+
+---
+
 #### 积化和差
 
 $$