feat: 补充中值定理与微分方程知识点概要
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00d32cb315
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c857cf21f0
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## 笔记记录
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### 要点 01 - 罗尔定理
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#### 定理内容
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若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) = 0$。
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#### 应用场景
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- 证明方程 $f'(x)=0$ 在区间内有根
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- 作为拉格朗日、柯西中值定理的基础
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- 结合辅助函数证明等式 $\exists\xi,\;F(\xi,f(\xi),f'(\xi))=0$
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### 要点 02 - 拉格朗日中值定理
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#### 定理内容
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若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得
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$$
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f(b) - f(a) = f'(\xi)(b-a)
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$$
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#### 常用形式
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- **增量形式**：$f(x+\Delta x) - f(x) = f'(\xi)\Delta x$
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- **有限增量公式**：$f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x-x_0)$，$\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间
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#### 推论
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1. 若 $\forall x \in (a,b),\, f'(x) = 0$，则 $f(x)$ 为常数
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2. 若 $\forall x \in (a,b),\, f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 单调递增
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3. 若 $\forall x \in (a,b),\, f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 单调递减
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4. $|f(b) - f(a)| \le \sup_{x\in(a,b)}|f'(x)|\cdot|b-a|$
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### 要点 03 - 柯西中值定理
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#### 定理内容
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若 $f(x), g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $g'(x) \neq 0$，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得
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$$
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\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
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#### 与拉格朗日中值定理的关系
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令 $g(x) = x$，则柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理。
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#### 应用场景
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- 证明含两个函数的等式
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- 洛必达法则的理论基础
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### 要点 04 - 泰勒公式
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#### 定理内容
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若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内 $n+1$ 阶可导，则 $\forall x$ 在该邻域内，存在 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，使得
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$$
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f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + R_n(x)
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$$
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其中拉格朗日余项：$R_n(x) = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
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#### 麦克劳林公式 ($x_0=0$)
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$$
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f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \frac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}
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$$
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#### 与中值定理的关系
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- $n=0$ 时（零阶泰勒）为拉格朗日中值定理：$f(x) = f(x_0) + f'(\xi)(x-x_0)$
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- 泰勒公式是中值定理的高阶推广
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### 要点 05 - 积分中值定理
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#### 定理内容
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若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得
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$$
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\int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a)
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$$
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#### 推广形式
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若 $f(x)$ 连续，$g(x)$ 在 $[a,b]$ 上不变号且可积，则存在 $\xi \in [a,b]$，使得
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$$
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\int_a^b f(x) g(x) \, dx = f(\xi) \int_a^b g(x) \, dx
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### 要点 06 - 辅助函数构造法
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#### 核心思想
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将要证明的等式 $H(\xi, f(\xi), f'(\xi)) = 0$ 改写为微分方程形式，解出通解 $F(x, f(x)) = C$，构造 $F(x, f(x))$ 作为辅助函数，应用罗尔定理。
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#### 微分方程积分因子法
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目标式形如 $f'(\xi) + P(\xi)f(\xi) = 0$：
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1. 写作微分方程：$f'(x) + P(x)f(x) = 0$
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2. 积分因子：$\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}$
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3. 通解：$f(x) \cdot \mu(x) = C$
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4. 辅助函数：$F(x) = f(x) \cdot \mu(x)$
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#### 常见辅助函数形式
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| 目标结论 | 辅助函数 |
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|:---|:---|
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| $f'(\xi) = 0$ | $F(x) = f(x)$ |
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| $f'(\xi) + k f(\xi) = 0$ | $F(x) = f(x)e^{kx}$ |
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| $f'(\xi) = k$ | $F(x) = f(x) - kx$ |
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| $f'(\xi)g(\xi) = f(\xi)g'(\xi)$ | $F(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$ |
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| $f'(\xi) + P(\xi)f(\xi) = 0$ | $F(x) = f(x)e^{\int P(x)dx}$ |
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@ -0,0 +1,188 @@
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## 笔记记录
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### 要点 01 - 一阶可分离变量方程
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#### 标准形式
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\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)
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#### 解法
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分离变量后两边积分：
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\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x) \, dx + C
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注意 $h(y)=0$ 的特解可能丢失。
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### 要点 02 - 一阶齐次方程
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#### 标准形式
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$$
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\frac{dy}{dx} = \varphi\!\left(\frac{y}{x}\right)
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$$
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#### 解法
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令 $u = \dfrac{y}{x}$，则 $y = ux$，$\dfrac{dy}{dx} = u + x\dfrac{du}{dx}$，代入得：
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$$
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u + x\frac{du}{dx} = \varphi(u) \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{\varphi(u)-u} = \frac{dx}{x}
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$$
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化为可分离变量方程求解。
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### 要点 03 - 一阶线性微分方程
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#### 标准形式
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$$
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y' + P(x)y = Q(x)
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$$
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#### 解法（常数变易法）
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1. 先解齐次方程 $y' + P(x)y = 0$，得通解 $y = Ce^{-\int P(x)dx}$
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2. 将常数 $C$ 变易为函数 $C(x)$，代入原方程得：
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$$
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y = e^{-\int P(x)dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)dx} \, dx + C \right)
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$$
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#### 记忆公式
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通解为 $y = e^{-\int P\,dx}\left(\int Q e^{\int P\,dx}dx + C\right)$，即 $y = \dfrac{1}{\mu}\left(\int Q\mu\,dx + C\right)$，其中 $\mu = e^{\int P\,dx}$ 为积分因子。
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### 要点 04 - 伯努利方程
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#### 标准形式
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$$
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y' + P(x)y = Q(x)y^n \quad (n \neq 0, 1)
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$$
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#### 解法
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令 $z = y^{1-n}$，则 $z' = (1-n)y^{-n}y'$，代入后化为一阶线性方程：
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$$
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z' + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x)
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$$
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### 要点 05 - 可降阶的高阶微分方程
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#### 类型一：$y^{(n)} = f(x)$
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直接逐次积分 $n$ 次。
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#### 类型二：$y'' = f(x, y')$（不显含 $y$）
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令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，方程化为 $p' = f(x, p)$，为一阶方程。
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#### 类型三：$y'' = f(y, y')$（不显含 $x$）
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令 $p = y'$，则 $y'' = \dfrac{dp}{dx} = \dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx} = p\dfrac{dp}{dy}$，方程化为 $p\dfrac{dp}{dy} = f(y, p)$，为一阶方程。
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### 要点 06 - 常系数齐次线性微分方程
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#### 标准形式
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$$
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y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1}y' + a_n y = 0
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$$
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其中 $a_1, \dots, a_n$ 为常数。
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#### 解法——特征方程法
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设 $y = e^{rx}$，代入得**特征方程**：
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$$
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r^n + a_1 r^{n-1} + \cdots + a_{n-1} r + a_n = 0
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$$
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#### 解的形式
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| 特征根 | 通解中的对应项 |
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|:---|:---|
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| 单实根 $r$ | $C e^{rx}$ |
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| $k$ 重实根 $r$ | $(C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k-1}) e^{rx}$ |
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| 单重复根 $\alpha \pm i\beta$ | $e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$ |
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| $k$ 重复根 $\alpha \pm i\beta$ | $e^{\alpha x}\big[(C_1 + C_2 x + \cdots + C_k x^{k-1})\cos\beta x + (D_1 + D_2 x + \cdots + D_k x^{k-1})\sin\beta x\big]$ |
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二阶特例：$y'' + py' + qy = 0$ 的特征方程 $r^2 + pr + q = 0$：
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- $\Delta > 0$：$y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
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- $\Delta = 0$：$y = (C_1 + C_2 x)e^{r x}$
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- $\Delta < 0$：$y = e^{\alpha x}(C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$
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### 要点 07 - 常系数非齐次线性微分方程
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#### 标准形式
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$$
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y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_n y = f(x)
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$$
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#### 解的结构
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非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解：
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y = \bar{y} + y^*
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$$
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#### 待定系数法——$f(x)$ 的两种形式
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**形式一**：$f(x) = P_m(x) e^{\lambda x}$
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设特解 $y^* = x^k Q_m(x) e^{\lambda x}$，其中：
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- $k$ 为 $\lambda$ 作为特征根的重数（$k=0,1,2$）
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- $Q_m(x)$ 为 $m$ 次待定多项式
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**形式二**：$f(x) = e^{\alpha x}\big[P_l(x)\cos\beta x + P_n(x)\sin\beta x\big]$
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设特解 $y^* = x^k e^{\alpha x}\big[R_m(x)\cos\beta x + S_m(x)\sin\beta x\big]$，其中：
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- $m = \max(l, n)$
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- $k$ 为 $\alpha \pm i\beta$ 作为特征根的重数（$k=0,1$）
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- $R_m, S_m$ 为 $m$ 次待定多项式
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### 要点 08 - 欧拉方程
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#### 标准形式
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$$
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x^n y^{(n)} + a_1 x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} x y' + a_n y = f(x)
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$$
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#### 解法
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令 $x = e^t$（或 $t = \ln x$），记 $D = \dfrac{d}{dt}$，则：
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$$
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\begin{aligned}
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x y' &= D y \\
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x^2 y'' &= D(D-1)y = D^2 y - D y \\
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x^3 y''' &= D(D-1)(D-2)y
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\end{aligned}
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$$
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将原方程化为以 $t$ 为自变量的常系数线性微分方程求解，再将 $t = \ln x$ 代回。
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@ -10,6 +10,14 @@
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- [要点 02 - 隐函数求导](./02_导数与微分.md#要点-02---隐函数求导)
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- [要点 03 - 曲率](./02_导数与微分.md#要点-03---曲率)
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### [03_中值定理.md](./03_中值定理.md)
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- [要点 01 - 罗尔定理](./03_中值定理.md#要点-01---罗尔定理)
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- [要点 02 - 拉格朗日中值定理](./03_中值定理.md#要点-02---拉格朗日中值定理)
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||||
- [要点 03 - 柯西中值定理](./03_中值定理.md#要点-03---柯西中值定理)
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||||
- [要点 04 - 泰勒公式](./03_中值定理.md#要点-04---泰勒公式)
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||||
- [要点 05 - 积分中值定理](./03_中值定理.md#要点-05---积分中值定理)
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- [要点 06 - 辅助函数构造法](./03_中值定理.md#要点-06---辅助函数构造法)
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### [04_积分.md](./04_积分.md)
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- [要点 01 - 积分与极限求和式的转化](./04_积分.md#要点-01---积分与极限求和式的转化)
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- [要点 02 - 分式型积分](./04_积分.md#要点-02---分式型积分)
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@ -19,6 +27,16 @@
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- [要点 06 - 换元积分法](./04_积分.md#要点-06---换元积分法)
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- [要点 07 - 分部积分法](./04_积分.md#要点-07---分部积分法)
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### [05_微分方程.md](./05_微分方程.md)
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- [要点 01 - 一阶可分离变量方程](./05_微分方程.md#要点-01---一阶可分离变量方程)
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||||
- [要点 02 - 一阶齐次方程](./05_微分方程.md#要点-02---一阶齐次方程)
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||||
- [要点 03 - 一阶线性微分方程](./05_微分方程.md#要点-03---一阶线性微分方程)
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- [要点 04 - 伯努利方程](./05_微分方程.md#要点-04---伯努利方程)
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||||
- [要点 05 - 可降阶的高阶微分方程](./05_微分方程.md#要点-05---可降阶的高阶微分方程)
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||||
- [要点 06 - 常系数齐次线性微分方程](./05_微分方程.md#要点-06---常系数齐次线性微分方程)
|
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- [要点 07 - 常系数非齐次线性微分方程](./05_微分方程.md#要点-07---常系数非齐次线性微分方程)
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- [要点 08 - 欧拉方程](./05_微分方程.md#要点-08---欧拉方程)
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### [09_级数.md](./09_级数.md)
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- [要点 01 - 数列不动点问题](./09_级数.md#要点-01---数列不动点问题)
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@ -30,7 +48,9 @@
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| 01 极限 | 等价无穷小、泰勒展开 | 1 |
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| 02 导数与微分 | 莱布尼兹公式、隐函数求导、曲率 | 3 |
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| 03 中值定理 | 罗尔/拉格朗日/柯西中值定理、泰勒公式、辅助函数构造 | 6 |
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| 04 积分 | 各类积分公式、三角函数、换元、分部 | 7 |
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| 05 微分方程 | 一阶/高阶方程、常系数、欧拉方程 | 8 |
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| 09 级数 | 数列不动点 | 1 |
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**总计：12 个要点**
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**总计：26 个要点**
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