fix: 统一内联数学格式为\$..."

subjects/math/04_积分.md

@@ -401,9 +401,9 @@ $$
 
 递推公式重复代入即可展开为有限项和（初等函数的闭式表达）。
 
-**sinⁿ / cosⁿ 的完全展开**（不定积分，设 \(I_n = \int \sin^n x \, dx\)）：
+**sinⁿ / cosⁿ 的完全展开**（不定积分，设 $I_n = \int \sin^n x \, dx$）：
 
-边界条件 \(I_0 = x + C,\; I_1 = -\cos x + C\)
+边界条件 $I_0 = x + C,\; I_1 = -\cos x + C$
 
 $$
 \begin{aligned}
@@ -416,27 +416,31 @@ $$
 
 更清晰地，按奇偶展开：
 
-**\(n\) 为偶数**（\(n=2m\)）：
+**$n$ 为偶数**（$n=2m$）：
 $$
-\int \sin^{2m} x \, dx = -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2k+2)}
+\begin{aligned}
-                        \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+1} + C_{2m}
+\int \sin^{2m} x \, dx &= -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2k+2)}
+                        \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+1} + C
+\end{aligned}
 $$
-其中 \(C_{2m}\) 为常数项（来自 \(I_0\)）。
+其中 $C$ 为常数项（来自 $I_0$）。
 
-**\(n\) 为奇数**（\(n=2m+1\)）：
+**$n$ 为奇数**（$n=2m+1$）：
 $$
-\int \sin^{2m+1} x \, dx = -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)}{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}
+\begin{aligned}
-                        \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+2} + C_{2m+1}
+\int \sin^{2m+1} x \, dx &= -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)}{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}
+                        \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+2} + C
+\end{aligned}
 $$
-其中 \(C_{2m+1}\) 来自 \(I_1 = -\cos x\) 项。
+其中 $C$ 来自 $I_1 = -\cos x$ 项。
 
-**实际记忆**：通常直接用递推公式比记忆展开式更实用，考试中一般只需求特定 \(n\) 的值或用到递推关系。
+**实际记忆**：通常直接用递推公式比记忆展开式更实用，考试中一般只需求特定 $n$ 的值或用到递推关系。
 
-**secⁿ 的完全展开**（设 \(I_n = \int \sec^n x \, dx\)）：
+**secⁿ 的完全展开**（设 $I_n = \int \sec^n x \, dx$）：
 
 递推式同样可展开，以奇数/偶数分界：
 
-**\(n\) 为偶数**（\(n=2m\)，终止于 \(I_2 = \tan x + C\)）：
+**$n$ 为偶数**（$n=2m$，终止于 $I_2 = \tan x + C$）：
 $$
 I_{2m} = \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2k+2)}{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)} \cdot \frac{\sec^{2m-2k} x \tan x}{2m-2k+1} + C
 $$
@@ -450,10 +454,12 @@ I_6 &= \frac{1}{5}\sec^4 x \tan x + \frac{4}{15}\sec^2 x \tan x + \frac{8}{15}\t
 \end{aligned}
 $$
 
-**\(n\) 为奇数**（\(n=2m+1\)，终止于 \(I_1 = \ln|\sec x + \tan x| + C\)）：
+**$n$ 为奇数**（$n=2m+1$，终止于 $I_1 = \ln|\sec x + \tan x| + C$）：
 $$
-I_{2m+1} = \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)} \cdot \frac{\sec^{2m-2k+1} x \tan x}{2m-2k+2}
+\begin{aligned}
+I_{2m+1} &= \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)} \cdot \frac{\sec^{2m-2k+1} x \tan x}{2m-2k+2}
            + \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \ln|\sec x + \tan x| + C
+\end{aligned}
 $$
 
 例如：