From 5640bb167f58a7d4d70368bde7dc18dd435cb193 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ViperEkura <3081035982@qq.com> Date: Fri, 8 May 2026 18:17:33 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?refactor:=20=E6=8B=86=E5=88=86=E7=A7=AF?= =?UTF-8?q?=E5=88=86=E7=AB=A0=E8=8A=82=E4=B8=BA4=E4=B8=AA=E5=AD=90?= =?UTF-8?q?=E7=AB=A0=E8=8A=82=EF=BC=8C=E6=9B=B4=E6=96=B0README=E5=AF=BC?= =?UTF-8?q?=E8=88=AA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- subjects/math/04_积分.md | 828 +------------------------- subjects/math/04_积分_三角函数.md | 312 ++++++++++ subjects/math/04_积分_分式与根号型.md | 192 ++++++ subjects/math/04_积分_换元与分部.md | 224 +++++++ subjects/math/04_积分_有理分式.md | 98 +++ subjects/math/README.md | 16 +- 6 files changed, 839 insertions(+), 831 deletions(-) create mode 100644 subjects/math/04_积分_三角函数.md create mode 100644 subjects/math/04_积分_分式与根号型.md create mode 100644 subjects/math/04_积分_换元与分部.md create mode 100644 subjects/math/04_积分_有理分式.md diff --git a/subjects/math/04_积分.md b/subjects/math/04_积分.md index 70c4c81..bcb0ed2 100644 --- a/subjects/math/04_积分.md +++ b/subjects/math/04_积分.md @@ -1,4 +1,4 @@ -## 笔记记录 +## 笔记记录 ### 要点 01 - 积分与极限求和式的转化 @@ -16,828 +16,12 @@ $$ --- -### 要点 02 - 分式型积分（$a, b > 0$） +### 子章节 -#### 基本公式 - -$$ -\int \frac{dx}{a^2 x^2 + b^2} = \frac{1}{ab} \arctan \frac{ax}{b} + C -$$ - -**推导**（换元法）：令 $t = \dfrac{a}{b} x$，则 $x = \dfrac{b}{a} t$，$dx = \dfrac{b}{a} dt$ - -$$ -\int \frac{dx}{a^2 x^2 + b^2} = \int \frac{\frac{b}{a} dt}{b^2 t^2 + b^2} -= \frac{1}{ab} \int \frac{dt}{t^2 + 1} -= \frac{1}{ab} \arctan t + C -= \frac{1}{ab} \arctan \frac{ax}{b} + C -$$ - -#### 推广形式 - -$$ -\int \frac{dx}{a^2 (x + c)^2 + b^2} = \frac{1}{ab} \arctan \frac{a(x + c)}{b} + C -$$ - -$$ -\int \frac{x \, dx}{a^2 x^2 + b^2} = \frac{1}{2a^2} \ln(a^2 x^2 + b^2) + C -$$ - -$$ -\int \frac{dx}{(a^2 x^2 + b^2)^2} = \frac{x}{2b^2(a^2 x^2 + b^2)} + \frac{1}{2ab^3} \arctan \frac{ax}{b} + C -$$ - ---- - -### 要点 03 - 根号分式型积分（$a, b > 0$） - -#### 基本公式 - -**型 I**：$a^2 x^2 + b^2$ - -$$ -\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 x^2 + b^2}} = \frac{1}{a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 + b^2}\right| + C -= \frac{1}{a} \operatorname{arsinh} \frac{ax}{b} + C -$$ - -**型 II**：$a^2 x^2 - b^2$ - -$$ -\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 x^2 - b^2}} = \frac{1}{a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 - b^2}\right| + C \quad (|ax| > |b|) -= \frac{1}{a} \operatorname{arcosh} \frac{ax}{b} + C -$$ - -**型 III**：$b^2 - a^2 x^2$ - -$$ -\int \frac{dx}{\sqrt{b^2 - a^2 x^2}} = \frac{1}{a} \arcsin \frac{ax}{b} + C \quad (|ax| < |b|) -$$ - -#### 推导方法 - -令 $t = ax$，则 $x = \dfrac{t}{a}$，$dx = \dfrac{dt}{a}$，化为标准形式后代入已知公式。 - -**型 I**（$x = \frac{b}{a} \sinh t$ 或 $t = b \sinh u$）： - -$$ -\begin{align} -\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 x^2 + b^2}} - &= \frac{1}{a} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + b^2}} - = \frac{1}{a} \ln\left|t + \sqrt{t^2 + b^2}\right| + C \\ - &= \frac{1}{a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 + b^2}\right| + C -\end{align} -$$ - -**型 II**（$x = \frac{b}{a} \cosh t$）： - -$$ -\begin{align} -\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 x^2 - b^2}} - &= \frac{1}{a} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - b^2}} - = \frac{1}{a} \ln\left|t + \sqrt{t^2 - b^2}\right| + C \quad (|t| > |b|) \\ - &= \frac{1}{a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 - b^2}\right| + C -\end{align} -$$ - -**型 III**（$x = \frac{b}{a} \sin t$）： - -$$ -\begin{align} -\int \frac{dx}{\sqrt{b^2 - a^2 x^2}} - &= \frac{1}{a} \int \frac{dt}{\sqrt{b^2 - t^2}} - = \frac{1}{a} \arcsin \frac{t}{b} + C \quad (|t| < |b|) \\ - &= \frac{1}{a} \arcsin \frac{ax}{b} + C -\end{align} -$$ - -#### 推广形式 - -$$ -\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 (x + c)^2 + b^2}} = \frac{1}{a} \ln\left|a(x + c) + \sqrt{a^2 (x + c)^2 + b^2}\right| + C -$$ - -$$ -\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 (x + c)^2 - b^2}} = \frac{1}{a} \ln\left|a(x + c) + \sqrt{a^2 (x + c)^2 - b^2}\right| + C \quad (|a(x + c)| > |b|) -$$ - -$$ -\int \frac{x \, dx}{\sqrt{a^2 x^2 + b^2}} = \frac{1}{a^2} \sqrt{a^2 x^2 + b^2} + C -$$ - -$$ -\int \frac{x \, dx}{\sqrt{a^2 x^2 - b^2}} = \frac{1}{a^2} \sqrt{a^2 x^2 - b^2} + C -$$ - ---- - -### 要点 04 - 根号二次型积分（$a, b > 0$） - -#### 基本公式 - -令 $t = ax$，统一化为标准形式后积分。 - -**型 I**：$\sqrt{a^2 x^2 + b^2}$ - -$$ -\int \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 x^2 + b^2} + \frac{b^2}{2a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 + b^2}\right| + C -$$ - -**型 II**：$\sqrt{a^2 x^2 - b^2}$ - -$$ -\int \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 x^2 - b^2} - \frac{b^2}{2a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 - b^2}\right| + C \quad (|ax| > |b|) -$$ - -**型 III**：$\sqrt{b^2 - a^2 x^2}$ - -$$ -\int \sqrt{b^2 - a^2 x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{b^2 - a^2 x^2} + \frac{b^2}{2a} \arcsin\frac{ax}{b} + C \quad (|ax| < |b|) -$$ - -#### 推导方法 - -令 $t = ax$，则 $x = \frac{t}{a}$，$dx = \frac{dt}{a}$，化为对 $t$ 的标准形式。 - -**型 I**（$t = b \sinh u$）： - -$$ -\begin{align} -\int \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \, dx - &= \frac{1}{a} \int \sqrt{t^2 + b^2} \, dt - = \frac{1}{a} \left( \frac{t}{2}\sqrt{t^2 + b^2} + \frac{b^2}{2}\ln\left|t + \sqrt{t^2 + b^2}\right| \right) + C \\ - &= \frac{x}{2}\sqrt{a^2 x^2 + b^2} + \frac{b^2}{2a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 + b^2}\right| + C -\end{align} -$$ - -**型 II**（$t = b \cosh u$）： - -$$ -\begin{align} -\int \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \, dx - &= \frac{1}{a} \int \sqrt{t^2 - b^2} \, dt - = \frac{1}{a} \left( \frac{t}{2}\sqrt{t^2 - b^2} - \frac{b^2}{2}\ln\left|t + \sqrt{t^2 - b^2}\right| \right) + C \\ - &= \frac{x}{2}\sqrt{a^2 x^2 - b^2} - \frac{b^2}{2a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 - b^2}\right| + C -\end{align} -$$ - -**型 III**（$t = b \sin u$）： - -$$ -\begin{align} -\int \sqrt{b^2 - a^2 x^2} \, dx - &= \frac{1}{a} \int \sqrt{b^2 - t^2} \, dt - = \frac{1}{a} \left( \frac{t}{2}\sqrt{b^2 - t^2} + \frac{b^2}{2}\arcsin\frac{t}{b} \right) + C \\ - &= \frac{x}{2}\sqrt{b^2 - a^2 x^2} + \frac{b^2}{2a} \arcsin\frac{ax}{b} + C -\end{align} -$$ - -#### 推广形式 - -$$ -\int x\sqrt{a^2 x^2 + b^2} \, dx = \frac{1}{3a^2}(a^2 x^2 + b^2)^{3/2} + C -$$ - -$$ -\int x\sqrt{a^2 x^2 - b^2} \, dx = \frac{1}{3a^2}(a^2 x^2 - b^2)^{3/2} + C -$$ - -$$ -\int x\sqrt{b^2 - a^2 x^2} \, dx = -\frac{1}{3a^2}(b^2 - a^2 x^2)^{3/2} + C -$$ - ---- - -### 要点 05 - 三角函数积分 - -#### 降幂公式 - -$$ -\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} -$$ - -$$ -\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} -$$ - -$$ -\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4} -$$ - -$$ -\cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4} -$$ - -#### 基本积分 - -$$ -\int \sin x \, dx = -\cos x + C -$$ - -$$ -\int \cos x \, dx = \sin x + C -$$ - -$$ -\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C -$$ - -$$ -\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C -$$ - -$$ -\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C -$$ - -$$ -\int \csc x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C -$$ - -$$ -\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C -$$ - -$$ -\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C -$$ - -$$ -\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C -$$ - -$$ -\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C -$$ - -#### 万能代换 - -令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则： - -$$ -\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2 \, dt}{1 + t^2} -$$ - -适用类型：$R(\sin x, \cos x)$（有理函数形式） - -#### 常用结论 - -$$ -\int \sin^n x \, dx = -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2} x \, dx -$$ - -$$ -\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2} x \, dx -$$ - -#### sinⁿ 递推公式推导（分部积分法） - -设 -$$ -I_n = \int \sin^n x \, dx, \quad n \ge 2. -$$ - -取 -$$ -u = \sin^{n-1}x, \quad dv = \sin x \, dx, -$$ -则 -$$ -du = (n-1)\sin^{n-2}x \cos x \, dx, \quad v = -\cos x. -$$ - -分部积分： -$$ -\begin{aligned} -I_n &= uv - \int v \, du \\ - &= -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)\int \sin^{n-2}x \cos^2 x \, dx. -\end{aligned} -$$ - -利用 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$： -$$ -\int \sin^{n-2}x \cos^2 x \, dx = \int \sin^{n-2}x \, dx - \int \sin^n x \, dx = I_{n-2} - I_n. -$$ - -代入得 -$$ -I_n = -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)(I_{n-2} - I_n). -$$ - -整理含 $I_n$ 的项： -$$ -\begin{aligned} -I_n + (n-1)I_n &= -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)I_{n-2}, \\ -n I_n &= -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)I_{n-2}. -\end{aligned} -$$ - -于是 -$$ -\boxed{I_n = -\frac{\sin^{n-1}x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} I_{n-2}},\quad n\ge 2. -$$ - -需要两个初始条件： -- $I_0 = \int dx = x + C$ -- $I_1 = \int \sin x \, dx = -\cos x + C$ - -#### cosⁿ 递推公式推导 - -类似地，设 $J_n = \int \cos^n x \, dx$，取 $u = \cos^{n-1}x$，$dv = \cos x \, dx$，利用 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，可得： -$$ -\boxed{J_n = \frac{\cos^{n-1}x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} J_{n-2}},\quad n\ge 2 -$$ - -需要两个初始条件： -- $J_0 = \int dx = x + C$ -- $J_1 = \int \cos x \, dx = \sin x + C$ - -#### 点火公式（Wallis 公式） - -利用 $\sin^n$ 递推公式在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上积分，边界项为零： -$$ -J_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \frac{n-1}{n} J_{n-2} -$$ - -**递推过程**： -$$ -\begin{aligned} -J_n &= \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx - = \left[-\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n}\right]_0^{\pi/2} + \frac{n-1}{n} J_{n-2} \\ - &= \frac{n-1}{n} J_{n-2} -\end{aligned} -$$ - -同理 $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = J_n$（对称性）。 - -常见值： -$$ -J_2 = \frac{\pi}{4},\quad J_3 = \frac{2}{3},\quad J_4 = \frac{3\pi}{16},\quad J_5 = \frac{8}{15} -$$ - ---- - -$$ -\int \sec^n x \, dx = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2} x \, dx \quad (n \neq 1) -$$ - -$$ -\int \csc^n x \, dx = -\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2} x \, dx \quad (n \neq 1) -$$ - -**secⁿ 递推公式推导**（分部积分法）： - -设 $I_n = \int \sec^n x \, dx$，改写为 $\int \sec^{n-2} x \cdot \sec^2 x \, dx$。 - -令 $u = \sec^{n-2} x$，$dv = \sec^2 x \, dx$，则： -$$ -du = (n-2)\sec^{n-2} x \tan x \, dx,\quad v = \tan x -$$ - -代入分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$： -$$ -\begin{aligned} -I_n &= \sec^{n-2} x \tan x - \int \tan x \cdot (n-2)\sec^{n-2} x \tan x \, dx \\ - &= \sec^{n-2} x \tan x - (n-2)\int \sec^{n-2} x \tan^2 x \, dx -\end{aligned} -$$ - -利用 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$： -$$ -I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2)\int \sec^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx -$$ - -$$ -I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2) I_n + (n-2) I_{n-2} -$$ - -移项合并 $I_n$ 项： -$$ -(n-1) I_n = \sec^{n-2} x \tan x + (n-2) I_{n-2} -$$ - -$$ -\boxed{I_n = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} I_{n-2}} -$$ - -需要两个初始条件： -- $I_1 = \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$ -- $I_2 = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$ - -**cscⁿ 递推公式推导**类似，利用 $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$。 - ---- - -#### 递推式的完全展开 - -递推公式重复代入即可展开为有限项和（初等函数的闭式表达）。 - -**sinⁿ / cosⁿ 的完全展开**（不定积分，设 $I_n = \int \sin^n x \, dx$）： - -边界条件 $I_0 = x + C,\; I_1 = -\cos x + C$ - -$$ -\begin{aligned} -I_n &= -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} - + \frac{n-1}{n} \left(-\frac{\sin^{n-3} x \cos x}{n-2}\right) - + \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2} \left(-\frac{\sin^{n-5} x \cos x}{n-4}\right) + \cdots \\[4pt] - &= -\cos x \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!!}{(n-k)!!} \cdot \frac{\sin^{n-k} x}{(n-k+1)!!} \quad \text{（示意模式）} -\end{aligned} -$$ - -更清晰地，按奇偶展开： - -**$n$ 为偶数**（$n=2m$）： -$$ -\begin{aligned} -\int \sin^{2m} x \, dx &= -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2k+2)} - \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+1} + C -\end{aligned} -$$ -其中 $C$ 为常数项（来自 $I_0$）。 - -**$n$ 为奇数**（$n=2m+1$）： -$$ -\begin{aligned} -\int \sin^{2m+1} x \, dx &= -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)}{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)} - \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+2} + C -\end{aligned} -$$ -其中 $C$ 来自 $I_1 = -\cos x$ 项。 - -**实际记忆**：通常直接用递推公式比记忆展开式更实用，考试中一般只需求特定 $n$ 的值或用到递推关系。 - -**secⁿ 的完全展开**（设 $I_n = \int \sec^n x \, dx$）： - -递推式同样可展开，以奇数/偶数分界： - -**$n$ 为偶数**（$n=2m$，终止于 $I_2 = \tan x + C$）： -$$ -I_{2m} = \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2k+2)}{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)} \cdot \frac{\sec^{2m-2k} x \tan x}{2m-2k+1} + C -$$ - -例如： -$$ -\begin{aligned} -I_2 &= \tan x + C \\[2pt] -I_4 &= \frac{1}{3}\sec^2 x \tan x + \frac{2}{3}\tan x + C \\[2pt] -I_6 &= \frac{1}{5}\sec^4 x \tan x + \frac{4}{15}\sec^2 x \tan x + \frac{8}{15}\tan x + C -\end{aligned} -$$ - -**$n$ 为奇数**（$n=2m+1$，终止于 $I_1 = \ln|\sec x + \tan x| + C$）： -$$ -\begin{aligned} -I_{2m+1} &= \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)} \cdot \frac{\sec^{2m-2k+1} x \tan x}{2m-2k+2} - + \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \ln|\sec x + \tan x| + C -\end{aligned} -$$ - -例如： -$$ -\begin{aligned} -I_1 &= \ln|\sec x + \tan x| + C \\[2pt] -I_3 &= \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C \\[2pt] -I_5 &= \frac{1}{4}\sec^3 x \tan x + \frac{3}{8}\sec x \tan x + \frac{3}{8}\ln|\sec x + \tan x| + C -\end{aligned} -$$ - ---- - -#### 积化和差 - -$$ -\sin A \cos B = \frac{1}{2}\sin(A+B) + \frac{1}{2}\sin(A-B) -$$ - -$$ -\cos A \cos B = \frac{1}{2}\cos(A+B) + \frac{1}{2}\cos(A-B) -$$ - -$$ -\sin A \sin B = \frac{1}{2}\cos(A-B) - \frac{1}{2}\cos(A+B) -$$ - ---- - -### 要点 06 - 换元积分法 - -#### 第一类换元法（凑微分法） - -若 $\int f(u) \, du = F(u) + C$，$u = \varphi(x)$ 可微，则： - -$$ -\int f[\varphi(x)] \, \varphi'(x) \, dx = \int f(u) \, du = F(u) + C = F[\varphi(x)] + C -$$ - -**核心思想**：将被积函数中一部分"凑"成某个函数的导数，令其为一个新变量。 - -**常见凑微分形式**： - -| 类型 | 凑微分 | 令 $u$ | -|------|--------|--------| -| $\int f(ax+b) \, dx$ | $\displaystyle\frac{1}{a} \int f(ax+b) \, d(ax+b)$ | $u = ax+b$ | -| $\int f(x^n) \cdot x^{n-1} \, dx$ | $\displaystyle\frac{1}{n} \int f(x^n) \, d(x^n)$ | $u = x^n$ | -| $\int f(\sin x) \cos x \, dx$ | $\displaystyle\int f(\sin x) \, d(\sin x)$ | $u = \sin x$ | -| $\int f(\cos x) \sin x \, dx$ | $\displaystyle-\int f(\cos x) \, d(\cos x)$ | $u = \cos x$ | -| $\int f(\tan x) \sec^2 x \, dx$ | $\displaystyle\int f(\tan x) \, d(\tan x)$ | $u = \tan x$ | -| $\int f(e^x) e^x \, dx$ | $\displaystyle\int f(e^x) \, d(e^x)$ | $u = e^x$ | -| $\int f(\ln x) \frac{1}{x} \, dx$ | $\displaystyle\int f(\ln x) \, d(\ln x)$ | $u = \ln x$ | -| $\int f(\arcsin x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\displaystyle\int f(\arcsin x) \, d(\arcsin x)$ | $u = \arcsin x$ | -| $\int f(\arctan x) \frac{dx}{1+x^2}$ | $\displaystyle\int f(\arctan x) \, d(\arctan x)$ | $u = \arctan x$ | - -**示例**： - -$$ -\int \frac{dx}{x \ln x} = \int \frac{d(\ln x)}{\ln x} = \ln|\ln x| + C -$$ - ---- - -#### 第二类换元法（变量代换法） - -令 $x = \psi(t)$，其中 $\psi(t)$ 单调可导且 $\psi'(t) \neq 0$，则： - -$$ -\int f(x) \, dx = \int f[\psi(t)] \, \psi'(t) \, dt -$$ - -**常用代换类型**： - -##### 1. 三角代换 - -| 被积函数含 | 代换 | 适用区间 | 微元 | -|-----------|------|---------|------| -| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a \sin t$ | $\displaystyle[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ | $dx = a \cos t \, dt$ | -| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a \tan t$ | $\displaystyle(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ | $dx = a \sec^2 t \, dt$ | -| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a \sec t$ | $\displaystyle[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$ | $dx = a \sec t \tan t \, dt$ | - -##### 2. 双曲函数代换 - -| 被积函数含 | 代换 | 微元 | -|-----------|------|------| -| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a \sinh t$ | $dx = a \cosh t \, dt$ | -| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a \cosh t$ | $dx = a \sinh t \, dt$ | - -双曲函数代换优势：无需分类讨论符号，计算更简洁。 - -##### 3. 根式代换 - -令 $t = \sqrt[n]{ax + b}$，则 $x = \dfrac{t^n - b}{a}$，$dx = \dfrac{n t^{n-1}}{a} \, dt$ - -适用类型：$\displaystyle\int R(x, \sqrt[n]{ax+b}) \, dx$ - -##### 4. 倒代换 - -令 $x = \dfrac{1}{t}$，则 $dx = -\dfrac{1}{t^2} \, dt$ - -适用类型：分母次数比分子次数高较多时（通常差 $2$ 次以上） - -##### 5. 指数代换 - -令 $t = e^x$，则 $x = \ln t$，$dx = \dfrac{dt}{t}$ - -适用类型：$\displaystyle\int R(e^x) \, dx$ - -##### 6. 万能代换 - -令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$，则： - -$$ -\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2} \, dt -$$ - -适用类型：$R(\sin x, \cos x)$ 有理函数形式（已在要点 05 中列出） - ---- - -#### 两类换元法对比 - -| 对比项 | 第一类换元法（凑微分） | 第二类换元法（变量代换） | -|-------|----------------------|----------------------| -| 本质 | $u = \varphi(x)$，从 $x$ 到 $u$ | $x = \psi(t)$，从 $x$ 到 $t$ | -| 适用场景 | 被积函数中有"导数因子" | 被积函数含根式、复杂表达式 | -| 操作难度 | 较简单，需观察导数关系 | 较复杂，需选择合适的代换 | -| 常见类型 | 凑微分表 | 三角/双曲/根式/倒代换 | - ---- - -### 要点 07 - 分部积分法 - -#### 基本公式 - -由乘法求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 两边积分得： - -$$ -\int u \, dv = uv - \int v \, du -$$ - -或写作： - -$$ -\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) \, dx -$$ - -**核心思想**：将被积函数分为两部分 $u$ 和 $dv$，通过公式将不易直接积分的部分转化为更易积分的形式。 - ---- - -#### 选择 $u$ 和 $dv$ 的原则 - -**关键**：$u$ 应使导数变简单，$dv$ 应易于积分。 - -##### LIATE 优先序（反-对-幂-三-指） - -按以下顺序选择 $u$（优先级从高到低）： - -| 类别 | 英文 | 示例 | -|-----|------|------| -| **L** - 反三角函数 | **L**ogarithmic inverse | $\arcsin x, \arctan x$ | -| **I** - 对数函数 | **I**nverse trigonometric | $\ln x, \log_a x$ | -| **A** - 幂函数 | **A**lgebraic | $x^n, ax+b$ | -| **T** - 三角函数 | **T**rigonometric | $\sin x, \cos x, \sec^2 x$ | -| **E** - 指数函数 | **E**xponential | $e^x, a^x$ | - -**规则**：排名靠前的选为 $u$，靠后的选为 $dv$。 - -**示例**： - -$$ -\int x e^x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = x,\; dv = e^x \, dx -$$ - -$$ -\int x \ln x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = \ln x,\; dv = x \, dx -$$ - -$$ -\int e^x \sin x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = \sin x,\; dv = e^x \, dx \text{（指数和三角函数任选其一）} -$$ - ---- - -#### 常见类型与技巧 - -##### 类型 1：幂函数 $\times$ 指数/三角函数（$u$ 取幂函数） - -$$ -\int x^n e^{ax} \, dx,\quad \int x^n \sin(ax) \, dx,\quad \int x^n \cos(ax) \, dx -$$ - -令 $u = x^n$，$dv = e^{ax} \, dx$（或 $\sin(ax) \, dx$、$\cos(ax) \, dx$），**需多次分部**直至幂次降为 $0$。 - -##### 类型 2：幂函数 $\times$ 对数/反三角（$u$ 取对数/反三角） - -$$ -\int x^n \ln x \, dx,\quad \int x^n \arcsin x \, dx,\quad \int x^n \arctan x \, dx -$$ - -令 $u = \ln x$（或 $\arcsin x$、$\arctan x$），$dv = x^n \, dx$，一次分部即可消去对数/反三角。 - -##### 类型 3：指数 $\times$ 三角函数（循环分部） - -$$ -\int e^{ax} \sin(bx) \, dx,\quad \int e^{ax} \cos(bx) \, dx -$$ - -任选其一为 $u$，两次分部后出现原积分，**移项求解**。 - -**示例**： - -$$ -\begin{align} -I &= \int e^{ax} \sin(bx) \, dx \\ - &= -\frac{e^{ax} \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b} \int e^{ax} \cos(bx) \, dx \\ - &= -\frac{e^{ax} \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b}\left(\frac{e^{ax} \sin(bx)}{b} - \frac{a}{b} I\right) \\ - &\Rightarrow I = \frac{e^{ax}(a \sin(bx) - b \cos(bx))}{a^2 + b^2} + C -\end{align} -$$ - -##### 类型 4：单独一个函数 - -$$ -\int \ln x \, dx,\quad \int \arcsin x \, dx,\quad \int \arctan x \, dx -$$ - -令 $u = \ln x$（或 $\arcsin x$、$\arctan x$），**$dv = dx$**（凑出 $1$ 作为 $dv$）。 - -**示例**： - -$$ -\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - x + C -$$ - -##### 类型 5：分部与换元结合 - -先换元化简，再分部积分。常见于被积函数含复合结构时。 - ---- - -#### 分部积分法推广公式 - -反复应用分部积分法则可得： - -$$ -\int u v^{(n+1)} \, dx = u v^{(n)} - u' v^{(n-1)} + u'' v^{(n-2)} - \cdots + (-1)^{n+1} \int u^{(n+1)} v \, dx -$$ - ---- - -### 要点 08 - 有理分式积分 - -#### 基本概念 - -**有理分式**：两个多项式的比 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ - -**真分式**：分子次数 $<$ 分母次数 - -**假分式**：分子次数 $\geq$ 分母次数，需先化为多项式 + 真分式 - -#### 部分分式分解法 - -将真分式分解为若干简单分式之和： - -##### 1. 分母仅有线性因子 - -若分母可分解为 $(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}\cdots$，则： - -$$ -\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-a_1} + \frac{A_2}{(x-a_1)^2} + \cdots + \frac{A_{m_1}}{(x-a_1)^{m_1}} + \frac{B_1}{x-a_2} + \cdots -$$ - -##### 2. 分母含二次因子 - -若分母含不可约二次因子 $x^2+px+q$，则对应项为： - -$$ -\frac{Ax+B}{x^2+px+q}, \quad \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n} -$$ - -#### 常见积分类型 - -##### 类型 1：一次因子 - -$$ -\int \frac{dx}{x-a} = \ln|x-a| + C -$$ - -$$ -\int \frac{dx}{(x-a)^n} = -\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \quad (n \neq 1) -$$ - -##### 类型 2：二次质因子 - -配方后分项积分： - -$$ -\int \frac{x}{x^2+px+q} \, dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+px+q) - \frac{p}{2}\int \frac{dx}{x^2+px+q} -$$ - -对于 $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+px+q}$，配方： - -$$ -x^2+px+q = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2 + \left(q-\frac{p^2}{4}\right) -$$ - -则： - -$$ -\int \frac{dx}{x^2+px+q} = \frac{2}{\sqrt{4q-p^2}} \arctan \frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}} + C \quad (4q > p^2) -$$ - -##### 类型 3：二次因子幂次 - -$$ -\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n} = \frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2a^2(n-1)}\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{n-1}} -$$ - -特别地，当 $n=2$ 时： - -$$ -\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^2} = \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\frac{x}{a} + C -$$ - -#### 积分步骤总结 - -1. **化简**：假分式化为多项式 + 真分式 -2. **分解**：对分母因式分解，写出部分分式形式 -3. **待定系数**：比较系数或代值法求系数 -4. **积分**：逐项积分 - -#### 示例 - -**例**：求 $\displaystyle\int \frac{x+3}{x^2-5x+6} \, dx$ - -解：分母因式分解 $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$ - -设 $\displaystyle\frac{x+3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$ - -则 $x+3 = A(x-3) + B(x-2) = (A+B)x - (3A+2B)$ - -比较系数：$\begin{cases} A+B=1 \\ 3A+2B=-3 \end{cases} \Rightarrow A=-5, B=6$ - -故 $\displaystyle\int \frac{x+3}{x^2-5x+6} \, dx = \int\left(\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3}\right)dx = -5\ln|x-2| + 6\ln|x-3| + C$ - ---- +- [04_积分_分式与根号型.md](./04_积分_分式与根号型.md) — 分式型积分、根号分式型积分、根号二次型积分 +- [04_积分_三角函数.md](./04_积分_三角函数.md) — 三角函数积分、Wallis 公式、递推公式 +- [04_积分_换元与分部.md](./04_积分_换元与分部.md) — 换元积分法、分部积分法 +- [04_积分_有理分式.md](./04_积分_有理分式.md) — 有理分式积分 ### 知识点 - 定积分的定义 diff --git a/subjects/math/04_积分_三角函数.md b/subjects/math/04_积分_三角函数.md new file mode 100644 index 0000000..41d46d9 --- /dev/null +++ b/subjects/math/04_积分_三角函数.md @@ -0,0 +1,312 @@ +## 笔记记录 + +### 要点 05 - 三角函数积分 + +#### 降幂公式 + +$$ +\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} +$$ + +$$ +\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} +$$ + +$$ +\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4} +$$ + +$$ +\cos^3 x = \frac{3\cos x + \cos 3x}{4} +$$ + +#### 基本积分 + +$$ +\int \sin x \, dx = -\cos x + C +$$ + +$$ +\int \cos x \, dx = \sin x + C +$$ + +$$ +\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C +$$ + +$$ +\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C +$$ + +$$ +\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C +$$ + +$$ +\int \csc x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C +$$ + +$$ +\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C +$$ + +$$ +\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C +$$ + +$$ +\int \sec x \tan x \, dx = \sec x + C +$$ + +$$ +\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x + C +$$ + +#### 万能代换 + +令 $t = \tan\frac{x}{2}$，则： + +$$ +\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}, \quad \cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}, \quad dx = \frac{2 \, dt}{1 + t^2} +$$ + +适用类型：$R(\sin x, \cos x)$（有理函数形式） + +#### 常用结论 + +$$ +\int \sin^n x \, dx = -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2} x \, dx +$$ + +$$ +\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2} x \, dx +$$ + +#### sinⁿ 递推公式推导（分部积分法） + +设 +$$ +I_n = \int \sin^n x \, dx, \quad n \ge 2. +$$ + +取 +$$ +u = \sin^{n-1}x, \quad dv = \sin x \, dx, +$$ +则 +$$ +du = (n-1)\sin^{n-2}x \cos x \, dx, \quad v = -\cos x. +$$ + +分部积分： +$$ +\begin{aligned} +I_n &= uv - \int v \, du \\ + &= -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)\int \sin^{n-2}x \cos^2 x \, dx. +\end{aligned} +$$ + +利用 $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$： +$$ +\int \sin^{n-2}x \cos^2 x \, dx = \int \sin^{n-2}x \, dx - \int \sin^n x \, dx = I_{n-2} - I_n. +$$ + +代入得 +$$ +I_n = -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)(I_{n-2} - I_n). +$$ + +整理含 $I_n$ 的项： +$$ +\begin{aligned} +I_n + (n-1)I_n &= -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)I_{n-2}, \\ +n I_n &= -\sin^{n-1}x \cos x + (n-1)I_{n-2}. +\end{aligned} +$$ + +于是 +$$ +\boxed{I_n = -\frac{\sin^{n-1}x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n} I_{n-2}},\quad n\ge 2. +$$ + +需要两个初始条件： +- $I_0 = \int dx = x + C$ +- $I_1 = \int \sin x \, dx = -\cos x + C$ + +#### cosⁿ 递推公式推导 + +类似地，设 $J_n = \int \cos^n x \, dx$，取 $u = \cos^{n-1}x$，$dv = \cos x \, dx$，利用 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，可得： +$$ +\boxed{J_n = \frac{\cos^{n-1}x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} J_{n-2}},\quad n\ge 2 +$$ + +需要两个初始条件： +- $J_0 = \int dx = x + C$ +- $J_1 = \int \cos x \, dx = \sin x + C$ + +#### 点火公式（Wallis 公式） + +利用 $\sin^n$ 递推公式在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上积分，边界项为零： +$$ +J_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \frac{n-1}{n} J_{n-2} +$$ + +**递推过程**： +$$ +\begin{aligned} +J_n &= \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx + = \left[-\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n}\right]_0^{\pi/2} + \frac{n-1}{n} J_{n-2} \\ + &= \frac{n-1}{n} J_{n-2} +\end{aligned} +$$ + +同理 $\displaystyle \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx = J_n$（对称性）。 + +常见值： +$$ +J_2 = \frac{\pi}{4},\quad J_3 = \frac{2}{3},\quad J_4 = \frac{3\pi}{16},\quad J_5 = \frac{8}{15} +$$ + +--- + +$$ +\int \sec^n x \, dx = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2} x \, dx \quad (n \neq 1) +$$ + +$$ +\int \csc^n x \, dx = -\frac{\csc^{n-2} x \cot x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2} x \, dx \quad (n \neq 1) +$$ + +**secⁿ 递推公式推导**（分部积分法）： + +设 $I_n = \int \sec^n x \, dx$，改写为 $\int \sec^{n-2} x \cdot \sec^2 x \, dx$。 + +令 $u = \sec^{n-2} x$，$dv = \sec^2 x \, dx$，则： +$$ +du = (n-2)\sec^{n-2} x \tan x \, dx,\quad v = \tan x +$$ + +代入分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$： +$$ +\begin{aligned} +I_n &= \sec^{n-2} x \tan x - \int \tan x \cdot (n-2)\sec^{n-2} x \tan x \, dx \\ + &= \sec^{n-2} x \tan x - (n-2)\int \sec^{n-2} x \tan^2 x \, dx +\end{aligned} +$$ + +利用 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$： +$$ +I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2)\int \sec^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx +$$ + +$$ +I_n = \sec^{n-2} x \tan x - (n-2) I_n + (n-2) I_{n-2} +$$ + +移项合并 $I_n$ 项： +$$ +(n-1) I_n = \sec^{n-2} x \tan x + (n-2) I_{n-2} +$$ + +$$ +\boxed{I_n = \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} + \frac{n-2}{n-1} I_{n-2}} +$$ + +需要两个初始条件： +- $I_1 = \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$ +- $I_2 = \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$ + +**cscⁿ 递推公式推导**类似，利用 $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$。 + +--- + +#### 递推式的完全展开 + +递推公式重复代入即可展开为有限项和（初等函数的闭式表达）。 + +**sinⁿ / cosⁿ 的完全展开**（不定积分，设 $I_n = \int \sin^n x \, dx$）： + +边界条件 $I_0 = x + C,\; I_1 = -\cos x + C$ + +$$ +\begin{aligned} +I_n &= -\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + + \frac{n-1}{n} \left(-\frac{\sin^{n-3} x \cos x}{n-2}\right) + + \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2} \left(-\frac{\sin^{n-5} x \cos x}{n-4}\right) + \cdots \\[4pt] + &= -\cos x \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!!}{(n-k)!!} \cdot \frac{\sin^{n-k} x}{(n-k+1)!!} \quad \text{（示意模式）} +\end{aligned} +$$ + +更清晰地，按奇偶展开： + +**$n$ 为偶数**（$n=2m$）： +$$ +\begin{aligned} +\int \sin^{2m} x \, dx &= -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2k+2)} + \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+1} + C +\end{aligned} +$$ +其中 $C$ 为常数项（来自 $I_0$）。 + +**$n$ 为奇数**（$n=2m+1$）： +$$ +\begin{aligned} +\int \sin^{2m+1} x \, dx &= -\cos x \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)}{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)} + \cdot \frac{\sin^{2m-2k+1} x}{2m-2k+2} + C +\end{aligned} +$$ +其中 $C$ 来自 $I_1 = -\cos x$ 项。 + +**实际记忆**：通常直接用递推公式比记忆展开式更实用，考试中一般只需求特定 $n$ 的值或用到递推关系。 + +**secⁿ 的完全展开**（设 $I_n = \int \sec^n x \, dx$）： + +递推式同样可展开，以奇数/偶数分界： + +**$n$ 为偶数**（$n=2m$，终止于 $I_2 = \tan x + C$）： +$$ +I_{2m} = \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-2)(2m-4)\cdots(2m-2k+2)}{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)} \cdot \frac{\sec^{2m-2k} x \tan x}{2m-2k+1} + C +$$ + +例如： +$$ +\begin{aligned} +I_2 &= \tan x + C \\[2pt] +I_4 &= \frac{1}{3}\sec^2 x \tan x + \frac{2}{3}\tan x + C \\[2pt] +I_6 &= \frac{1}{5}\sec^4 x \tan x + \frac{4}{15}\sec^2 x \tan x + \frac{8}{15}\tan x + C +\end{aligned} +$$ + +**$n$ 为奇数**（$n=2m+1$，终止于 $I_1 = \ln|\sec x + \tan x| + C$）： +$$ +\begin{aligned} +I_{2m+1} &= \sum_{k=1}^{m} \frac{(2m-1)(2m-3)\cdots(2m-2k+1)}{(2m)(2m-2)\cdots(2m-2k+2)} \cdot \frac{\sec^{2m-2k+1} x \tan x}{2m-2k+2} + + \frac{(2m-1)!!}{(2m)!!} \ln|\sec x + \tan x| + C +\end{aligned} +$$ + +例如： +$$ +\begin{aligned} +I_1 &= \ln|\sec x + \tan x| + C \\[2pt] +I_3 &= \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C \\[2pt] +I_5 &= \frac{1}{4}\sec^3 x \tan x + \frac{3}{8}\sec x \tan x + \frac{3}{8}\ln|\sec x + \tan x| + C +\end{aligned} +$$ + +--- + +#### 积化和差 + +$$ +\sin A \cos B = \frac{1}{2}\sin(A+B) + \frac{1}{2}\sin(A-B) +$$ + +$$ +\cos A \cos B = \frac{1}{2}\cos(A+B) + \frac{1}{2}\cos(A-B) +$$ + +$$ +\sin A \sin B = \frac{1}{2}\cos(A-B) - \frac{1}{2}\cos(A+B) +$$ + diff --git a/subjects/math/04_积分_分式与根号型.md b/subjects/math/04_积分_分式与根号型.md new file mode 100644 index 0000000..4340ca9 --- /dev/null +++ b/subjects/math/04_积分_分式与根号型.md @@ -0,0 +1,192 @@ +## 笔记记录 + +### 要点 02 - 分式型积分（$a, b > 0$） + +#### 基本公式 + +$$ +\int \frac{dx}{a^2 x^2 + b^2} = \frac{1}{ab} \arctan \frac{ax}{b} + C +$$ + +**推导**（换元法）：令 $t = \dfrac{a}{b} x$，则 $x = \dfrac{b}{a} t$，$dx = \dfrac{b}{a} dt$ + +$$ +\int \frac{dx}{a^2 x^2 + b^2} = \int \frac{\frac{b}{a} dt}{b^2 t^2 + b^2} += \frac{1}{ab} \int \frac{dt}{t^2 + 1} += \frac{1}{ab} \arctan t + C += \frac{1}{ab} \arctan \frac{ax}{b} + C +$$ + +#### 推广形式 + +$$ +\int \frac{dx}{a^2 (x + c)^2 + b^2} = \frac{1}{ab} \arctan \frac{a(x + c)}{b} + C +$$ + +$$ +\int \frac{x \, dx}{a^2 x^2 + b^2} = \frac{1}{2a^2} \ln(a^2 x^2 + b^2) + C +$$ + +$$ +\int \frac{dx}{(a^2 x^2 + b^2)^2} = \frac{x}{2b^2(a^2 x^2 + b^2)} + \frac{1}{2ab^3} \arctan \frac{ax}{b} + C +$$ + +--- + +### 要点 03 - 根号分式型积分（$a, b > 0$） + +#### 基本公式 + +**型 I**：$a^2 x^2 + b^2$ + +$$ +\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 x^2 + b^2}} = \frac{1}{a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 + b^2}\right| + C += \frac{1}{a} \operatorname{arsinh} \frac{ax}{b} + C +$$ + +**型 II**：$a^2 x^2 - b^2$ + +$$ +\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 x^2 - b^2}} = \frac{1}{a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 - b^2}\right| + C \quad (|ax| > |b|) += \frac{1}{a} \operatorname{arcosh} \frac{ax}{b} + C +$$ + +**型 III**：$b^2 - a^2 x^2$ + +$$ +\int \frac{dx}{\sqrt{b^2 - a^2 x^2}} = \frac{1}{a} \arcsin \frac{ax}{b} + C \quad (|ax| < |b|) +$$ + +#### 推导方法 + +令 $t = ax$，则 $x = \dfrac{t}{a}$，$dx = \dfrac{dt}{a}$，化为标准形式后代入已知公式。 + +**型 I**（$x = \frac{b}{a} \sinh t$ 或 $t = b \sinh u$）： + +$$ +\begin{align} +\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 x^2 + b^2}} + &= \frac{1}{a} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 + b^2}} + = \frac{1}{a} \ln\left|t + \sqrt{t^2 + b^2}\right| + C \\ + &= \frac{1}{a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 + b^2}\right| + C +\end{align} +$$ + +**型 II**（$x = \frac{b}{a} \cosh t$）： + +$$ +\begin{align} +\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 x^2 - b^2}} + &= \frac{1}{a} \int \frac{dt}{\sqrt{t^2 - b^2}} + = \frac{1}{a} \ln\left|t + \sqrt{t^2 - b^2}\right| + C \quad (|t| > |b|) \\ + &= \frac{1}{a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 - b^2}\right| + C +\end{align} +$$ + +**型 III**（$x = \frac{b}{a} \sin t$）： + +$$ +\begin{align} +\int \frac{dx}{\sqrt{b^2 - a^2 x^2}} + &= \frac{1}{a} \int \frac{dt}{\sqrt{b^2 - t^2}} + = \frac{1}{a} \arcsin \frac{t}{b} + C \quad (|t| < |b|) \\ + &= \frac{1}{a} \arcsin \frac{ax}{b} + C +\end{align} +$$ + +#### 推广形式 + +$$ +\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 (x + c)^2 + b^2}} = \frac{1}{a} \ln\left|a(x + c) + \sqrt{a^2 (x + c)^2 + b^2}\right| + C +$$ + +$$ +\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 (x + c)^2 - b^2}} = \frac{1}{a} \ln\left|a(x + c) + \sqrt{a^2 (x + c)^2 - b^2}\right| + C \quad (|a(x + c)| > |b|) +$$ + +$$ +\int \frac{x \, dx}{\sqrt{a^2 x^2 + b^2}} = \frac{1}{a^2} \sqrt{a^2 x^2 + b^2} + C +$$ + +$$ +\int \frac{x \, dx}{\sqrt{a^2 x^2 - b^2}} = \frac{1}{a^2} \sqrt{a^2 x^2 - b^2} + C +$$ + +--- + +### 要点 04 - 根号二次型积分（$a, b > 0$） + +#### 基本公式 + +令 $t = ax$，统一化为标准形式后积分。 + +**型 I**：$\sqrt{a^2 x^2 + b^2}$ + +$$ +\int \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 x^2 + b^2} + \frac{b^2}{2a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 + b^2}\right| + C +$$ + +**型 II**：$\sqrt{a^2 x^2 - b^2}$ + +$$ +\int \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 x^2 - b^2} - \frac{b^2}{2a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 - b^2}\right| + C \quad (|ax| > |b|) +$$ + +**型 III**：$\sqrt{b^2 - a^2 x^2}$ + +$$ +\int \sqrt{b^2 - a^2 x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{b^2 - a^2 x^2} + \frac{b^2}{2a} \arcsin\frac{ax}{b} + C \quad (|ax| < |b|) +$$ + +#### 推导方法 + +令 $t = ax$，则 $x = \frac{t}{a}$，$dx = \frac{dt}{a}$，化为对 $t$ 的标准形式。 + +**型 I**（$t = b \sinh u$）： + +$$ +\begin{align} +\int \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \, dx + &= \frac{1}{a} \int \sqrt{t^2 + b^2} \, dt + = \frac{1}{a} \left( \frac{t}{2}\sqrt{t^2 + b^2} + \frac{b^2}{2}\ln\left|t + \sqrt{t^2 + b^2}\right| \right) + C \\ + &= \frac{x}{2}\sqrt{a^2 x^2 + b^2} + \frac{b^2}{2a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 + b^2}\right| + C +\end{align} +$$ + +**型 II**（$t = b \cosh u$）： + +$$ +\begin{align} +\int \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \, dx + &= \frac{1}{a} \int \sqrt{t^2 - b^2} \, dt + = \frac{1}{a} \left( \frac{t}{2}\sqrt{t^2 - b^2} - \frac{b^2}{2}\ln\left|t + \sqrt{t^2 - b^2}\right| \right) + C \\ + &= \frac{x}{2}\sqrt{a^2 x^2 - b^2} - \frac{b^2}{2a} \ln\left|ax + \sqrt{a^2 x^2 - b^2}\right| + C +\end{align} +$$ + +**型 III**（$t = b \sin u$）： + +$$ +\begin{align} +\int \sqrt{b^2 - a^2 x^2} \, dx + &= \frac{1}{a} \int \sqrt{b^2 - t^2} \, dt + = \frac{1}{a} \left( \frac{t}{2}\sqrt{b^2 - t^2} + \frac{b^2}{2}\arcsin\frac{t}{b} \right) + C \\ + &= \frac{x}{2}\sqrt{b^2 - a^2 x^2} + \frac{b^2}{2a} \arcsin\frac{ax}{b} + C +\end{align} +$$ + +#### 推广形式 + +$$ +\int x\sqrt{a^2 x^2 + b^2} \, dx = \frac{1}{3a^2}(a^2 x^2 + b^2)^{3/2} + C +$$ + +$$ +\int x\sqrt{a^2 x^2 - b^2} \, dx = \frac{1}{3a^2}(a^2 x^2 - b^2)^{3/2} + C +$$ + +$$ +\int x\sqrt{b^2 - a^2 x^2} \, dx = -\frac{1}{3a^2}(b^2 - a^2 x^2)^{3/2} + C +$$ + +--- diff --git a/subjects/math/04_积分_换元与分部.md b/subjects/math/04_积分_换元与分部.md new file mode 100644 index 0000000..09b0f3b --- /dev/null +++ b/subjects/math/04_积分_换元与分部.md @@ -0,0 +1,224 @@ +## 笔记记录 + +### 要点 06 - 换元积分法 + +#### 第一类换元法（凑微分法） + +若 $\int f(u) \, du = F(u) + C$，$u = \varphi(x)$ 可微，则： + +$$ +\int f[\varphi(x)] \, \varphi'(x) \, dx = \int f(u) \, du = F(u) + C = F[\varphi(x)] + C +$$ + +**核心思想**：将被积函数中一部分"凑"成某个函数的导数，令其为一个新变量。 + +**常见凑微分形式**： + +| 类型 | 凑微分 | 令 $u$ | +|------|--------|--------| +| $\int f(ax+b) \, dx$ | $\displaystyle\frac{1}{a} \int f(ax+b) \, d(ax+b)$ | $u = ax+b$ | +| $\int f(x^n) \cdot x^{n-1} \, dx$ | $\displaystyle\frac{1}{n} \int f(x^n) \, d(x^n)$ | $u = x^n$ | +| $\int f(\sin x) \cos x \, dx$ | $\displaystyle\int f(\sin x) \, d(\sin x)$ | $u = \sin x$ | +| $\int f(\cos x) \sin x \, dx$ | $\displaystyle-\int f(\cos x) \, d(\cos x)$ | $u = \cos x$ | +| $\int f(\tan x) \sec^2 x \, dx$ | $\displaystyle\int f(\tan x) \, d(\tan x)$ | $u = \tan x$ | +| $\int f(e^x) e^x \, dx$ | $\displaystyle\int f(e^x) \, d(e^x)$ | $u = e^x$ | +| $\int f(\ln x) \frac{1}{x} \, dx$ | $\displaystyle\int f(\ln x) \, d(\ln x)$ | $u = \ln x$ | +| $\int f(\arcsin x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\displaystyle\int f(\arcsin x) \, d(\arcsin x)$ | $u = \arcsin x$ | +| $\int f(\arctan x) \frac{dx}{1+x^2}$ | $\displaystyle\int f(\arctan x) \, d(\arctan x)$ | $u = \arctan x$ | + +**示例**： + +$$ +\int \frac{dx}{x \ln x} = \int \frac{d(\ln x)}{\ln x} = \ln|\ln x| + C +$$ + +--- + +#### 第二类换元法（变量代换法） + +令 $x = \psi(t)$，其中 $\psi(t)$ 单调可导且 $\psi'(t) \neq 0$，则： + +$$ +\int f(x) \, dx = \int f[\psi(t)] \, \psi'(t) \, dt +$$ + +**常用代换类型**： + +##### 1. 三角代换 + +| 被积函数含 | 代换 | 适用区间 | 微元 | +|-----------|------|---------|------| +| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a \sin t$ | $\displaystyle[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ | $dx = a \cos t \, dt$ | +| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a \tan t$ | $\displaystyle(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ | $dx = a \sec^2 t \, dt$ | +| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a \sec t$ | $\displaystyle[0, \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}, \pi]$ | $dx = a \sec t \tan t \, dt$ | + +##### 2. 双曲函数代换 + +| 被积函数含 | 代换 | 微元 | +|-----------|------|------| +| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a \sinh t$ | $dx = a \cosh t \, dt$ | +| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a \cosh t$ | $dx = a \sinh t \, dt$ | + +双曲函数代换优势：无需分类讨论符号，计算更简洁。 + +##### 3. 根式代换 + +令 $t = \sqrt[n]{ax + b}$，则 $x = \dfrac{t^n - b}{a}$，$dx = \dfrac{n t^{n-1}}{a} \, dt$ + +适用类型：$\displaystyle\int R(x, \sqrt[n]{ax+b}) \, dx$ + +##### 4. 倒代换 + +令 $x = \dfrac{1}{t}$，则 $dx = -\dfrac{1}{t^2} \, dt$ + +适用类型：分母次数比分子次数高较多时（通常差 $2$ 次以上） + +##### 5. 指数代换 + +令 $t = e^x$，则 $x = \ln t$，$dx = \dfrac{dt}{t}$ + +适用类型：$\displaystyle\int R(e^x) \, dx$ + +##### 6. 万能代换 + +令 $t = \tan\dfrac{x}{2}$，则： + +$$ +\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2}{1+t^2} \, dt +$$ + +适用类型：$R(\sin x, \cos x)$ 有理函数形式（已在要点 05 中列出） + +--- + +#### 两类换元法对比 + +| 对比项 | 第一类换元法（凑微分） | 第二类换元法（变量代换） | +|-------|----------------------|----------------------| +| 本质 | $u = \varphi(x)$，从 $x$ 到 $u$ | $x = \psi(t)$，从 $x$ 到 $t$ | +| 适用场景 | 被积函数中有"导数因子" | 被积函数含根式、复杂表达式 | +| 操作难度 | 较简单，需观察导数关系 | 较复杂，需选择合适的代换 | +| 常见类型 | 凑微分表 | 三角/双曲/根式/倒代换 | + +--- + +### 要点 07 - 分部积分法 + +#### 基本公式 + +由乘法求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 两边积分得： + +$$ +\int u \, dv = uv - \int v \, du +$$ + +或写作： + +$$ +\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) \, dx +$$ + +**核心思想**：将被积函数分为两部分 $u$ 和 $dv$，通过公式将不易直接积分的部分转化为更易积分的形式。 + +--- + +#### 选择 $u$ 和 $dv$ 的原则 + +**关键**：$u$ 应使导数变简单，$dv$ 应易于积分。 + +##### LIATE 优先序（反-对-幂-三-指） + +按以下顺序选择 $u$（优先级从高到低）： + +| 类别 | 英文 | 示例 | +|-----|------|------| +| **L** - 反三角函数 | **L**ogarithmic inverse | $\arcsin x, \arctan x$ | +| **I** - 对数函数 | **I**nverse trigonometric | $\ln x, \log_a x$ | +| **A** - 幂函数 | **A**lgebraic | $x^n, ax+b$ | +| **T** - 三角函数 | **T**rigonometric | $\sin x, \cos x, \sec^2 x$ | +| **E** - 指数函数 | **E**xponential | $e^x, a^x$ | + +**规则**：排名靠前的选为 $u$，靠后的选为 $dv$。 + +**示例**： + +$$ +\int x e^x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = x,\; dv = e^x \, dx +$$ + +$$ +\int x \ln x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = \ln x,\; dv = x \, dx +$$ + +$$ +\int e^x \sin x \, dx \quad \Longrightarrow \quad u = \sin x,\; dv = e^x \, dx \text{（指数和三角函数任选其一）} +$$ + +--- + +#### 常见类型与技巧 + +##### 类型 1：幂函数 $\times$ 指数/三角函数（$u$ 取幂函数） + +$$ +\int x^n e^{ax} \, dx,\quad \int x^n \sin(ax) \, dx,\quad \int x^n \cos(ax) \, dx +$$ + +令 $u = x^n$，$dv = e^{ax} \, dx$（或 $\sin(ax) \, dx$、$\cos(ax) \, dx$），**需多次分部**直至幂次降为 $0$。 + +##### 类型 2：幂函数 $\times$ 对数/反三角（$u$ 取对数/反三角） + +$$ +\int x^n \ln x \, dx,\quad \int x^n \arcsin x \, dx,\quad \int x^n \arctan x \, dx +$$ + +令 $u = \ln x$（或 $\arcsin x$、$\arctan x$），$dv = x^n \, dx$，一次分部即可消去对数/反三角。 + +##### 类型 3：指数 $\times$ 三角函数（循环分部） + +$$ +\int e^{ax} \sin(bx) \, dx,\quad \int e^{ax} \cos(bx) \, dx +$$ + +任选其一为 $u$，两次分部后出现原积分，**移项求解**。 + +**示例**： + +$$ +\begin{align} +I &= \int e^{ax} \sin(bx) \, dx \\ + &= -\frac{e^{ax} \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b} \int e^{ax} \cos(bx) \, dx \\ + &= -\frac{e^{ax} \cos(bx)}{b} + \frac{a}{b}\left(\frac{e^{ax} \sin(bx)}{b} - \frac{a}{b} I\right) \\ + &\Rightarrow I = \frac{e^{ax}(a \sin(bx) - b \cos(bx))}{a^2 + b^2} + C +\end{align} +$$ + +##### 类型 4：单独一个函数 + +$$ +\int \ln x \, dx,\quad \int \arcsin x \, dx,\quad \int \arctan x \, dx +$$ + +令 $u = \ln x$（或 $\arcsin x$、$\arctan x$），**$dv = dx$**（凑出 $1$ 作为 $dv$）。 + +**示例**： + +$$ +\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - x + C +$$ + +##### 类型 5：分部与换元结合 + +先换元化简，再分部积分。常见于被积函数含复合结构时。 + +--- + +#### 分部积分法推广公式 + +反复应用分部积分法则可得： + +$$ +\int u v^{(n+1)} \, dx = u v^{(n)} - u' v^{(n-1)} + u'' v^{(n-2)} - \cdots + (-1)^{n+1} \int u^{(n+1)} v \, dx +$$ + +--- diff --git a/subjects/math/04_积分_有理分式.md b/subjects/math/04_积分_有理分式.md new file mode 100644 index 0000000..1c88e63 --- /dev/null +++ b/subjects/math/04_积分_有理分式.md @@ -0,0 +1,98 @@ +## 笔记记录 + +### 要点 08 - 有理分式积分 + +#### 基本概念 + +**有理分式**：两个多项式的比 $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ + +**真分式**：分子次数 $<$ 分母次数 + +**假分式**：分子次数 $\geq$ 分母次数，需先化为多项式 + 真分式 + +#### 部分分式分解法 + +将真分式分解为若干简单分式之和： + +##### 1. 分母仅有线性因子 + +若分母可分解为 $(x-a_1)^{m_1}(x-a_2)^{m_2}\cdots$，则： + +$$ +\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{A_1}{x-a_1} + \frac{A_2}{(x-a_1)^2} + \cdots + \frac{A_{m_1}}{(x-a_1)^{m_1}} + \frac{B_1}{x-a_2} + \cdots +$$ + +##### 2. 分母含二次因子 + +若分母含不可约二次因子 $x^2+px+q$，则对应项为： + +$$ +\frac{Ax+B}{x^2+px+q}, \quad \frac{Ax+B}{(x^2+px+q)^n} +$$ + +#### 常见积分类型 + +##### 类型 1：一次因子 + +$$ +\int \frac{dx}{x-a} = \ln|x-a| + C +$$ + +$$ +\int \frac{dx}{(x-a)^n} = -\frac{1}{(n-1)(x-a)^{n-1}} + C \quad (n \neq 1) +$$ + +##### 类型 2：二次质因子 + +配方后分项积分： + +$$ +\int \frac{x}{x^2+px+q} \, dx = \frac{1}{2}\ln(x^2+px+q) - \frac{p}{2}\int \frac{dx}{x^2+px+q} +$$ + +对于 $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2+px+q}$，配方： + +$$ +x^2+px+q = \left(x+\frac{p}{2}\right)^2 + \left(q-\frac{p^2}{4}\right) +$$ + +则： + +$$ +\int \frac{dx}{x^2+px+q} = \frac{2}{\sqrt{4q-p^2}} \arctan \frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}} + C \quad (4q > p^2) +$$ + +##### 类型 3：二次因子幂次 + +$$ +\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^n} = \frac{x}{2a^2(n-1)(x^2+a^2)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2a^2(n-1)}\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^{n-1}} +$$ + +特别地，当 $n=2$ 时： + +$$ +\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^2} = \frac{x}{2a^2(x^2+a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\frac{x}{a} + C +$$ + +#### 积分步骤总结 + +1. **化简**：假分式化为多项式 + 真分式 +2. **分解**：对分母因式分解，写出部分分式形式 +3. **待定系数**：比较系数或代值法求系数 +4. **积分**：逐项积分 + +#### 示例 + +**例**：求 $\displaystyle\int \frac{x+3}{x^2-5x+6} \, dx$ + +解：分母因式分解 $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$ + +设 $\displaystyle\frac{x+3}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$ + +则 $x+3 = A(x-3) + B(x-2) = (A+B)x - (3A+2B)$ + +比较系数：$\begin{cases} A+B=1 \\ 3A+2B=-3 \end{cases} \Rightarrow A=-5, B=6$ + +故 $\displaystyle\int \frac{x+3}{x^2-5x+6} \, dx = \int\left(\frac{-5}{x-2} + \frac{6}{x-3}\right)dx = -5\ln|x-2| + 6\ln|x-3| + C$ + +--- diff --git a/subjects/math/README.md b/subjects/math/README.md index 15f6633..0ad510d 100644 --- a/subjects/math/README.md +++ b/subjects/math/README.md @@ -18,14 +18,12 @@ - [要点 05 - 积分中值定理](./03_中值定理.md#要点-05---积分中值定理) - [要点 06 - 辅助函数构造法](./03_中值定理.md#要点-06---辅助函数构造法) -### [04_积分.md](./04_积分.md) +### [04_积分.md](./04_积分.md)（子章节） - [要点 01 - 积分与极限求和式的转化](./04_积分.md#要点-01---积分与极限求和式的转化) -- [要点 02 - 分式型积分](./04_积分.md#要点-02---分式型积分) -- [要点 03 - 根号分式型积分](./04_积分.md#要点-03---根号分式型积分) -- [要点 04 - 根号二次型积分](./04_积分.md#要点-04---根号二次型积分) -- [要点 05 - 三角函数积分](./04_积分.md#要点-05---三角函数积分) -- [要点 06 - 换元积分法](./04_积分.md#要点-06---换元积分法) -- [要点 07 - 分部积分法](./04_积分.md#要点-07---分部积分法) +- [**04_积分_分式与根号型.md**](./04_积分_分式与根号型.md) — 要点 02: 分式型 / 要点 03: 根号分式型 / 要点 04: 根号二次型 +- [**04_积分_三角函数.md**](./04_积分_三角函数.md) — 要点 05: 三角函数积分（降幂、万能代换、递推、Wallis） +- [**04_积分_换元与分部.md**](./04_积分_换元与分部.md) — 要点 06: 换元积分法 / 要点 07: 分部积分法 +- [**04_积分_有理分式.md**](./04_积分_有理分式.md) — 要点 08: 有理分式积分（部分分式分解法） ### [05_微分方程.md](./05_微分方程.md) - [要点 01 - 一阶可分离变量方程](./05_微分方程.md#要点-01---一阶可分离变量方程) @@ -61,10 +59,10 @@ | 01 极限 | 等价无穷小、泰勒展开 | 1 | | 02 导数与微分 | 莱布尼兹公式、隐函数求导、曲率 | 3 | | 03 中值定理 | 罗尔/拉格朗日/柯西中值定理、泰勒公式、辅助函数构造 | 6 | -| 04 积分 | 各类积分公式、三角函数、换元、分部 | 7 | +| 04 积分 | 分式/根号/三角/换元/分部/有理分式 | 8（分 4 子章节） | | 05 微分方程 | 一阶/高阶方程、常系数、欧拉方程 | 8 | | 09 级数 | 数列不动点 | 1 | | e01 常用公式速查 | 乘/指/对/数列/不等式/韦达定理 | — | | e02 三角函数 | 奇变偶不变、和差化积、sec/csc/cot、积分递推 | — | -**总计：26 个要点 + 2 篇杂项** +**总计：27 个要点（04 积分拆为 4 子章节）+ 2 篇杂项**