feat: 增加错题 1/(1+√((1+x)/x)) 积分（有理化分母+配平方）

mistakes/math/04_积分.md

@@ -238,3 +238,61 @@ $$\int \frac{dx}{a + b\cos x} = \frac{1}{\sqrt{b^2 - a^2}} \ln\left| \frac{\sqrt
 - 万能代换 $t = \tan\frac{x}{2}$ 化三角有理式为有理分式
 - 判别式 $\Delta = a^2 - b^2$ 决定被积函数结构和结果形式
 - $\arctan$ vs $\ln$ 的转换本质：$\displaystyle\int \frac{dt}{\alpha^2 + t^2}$ vs $\displaystyle\int \frac{dt}{t^2 - \alpha^2}$
+
+---
+
+### 题目 03
+
+求不定积分
+
+$$\int \frac{dx}{1 + \sqrt{\dfrac{1+x}{x}}}$$
+
+### 错误原因
+
+看到根号含 $\dfrac{1+x}{x}$ 就直接尝试三角代换 $x = \tan^2\theta$ 或令 $t = \sqrt{\dfrac{1+x}{x}}$ 换元为有理分式，但后者会导出 $\dfrac{t^2}{(t+1)^3(t-1)^2}$ 的复杂部分分式。**正确路径是先有理化分母**，根号项被吸收到多项式积分中，仅剩 $\int\sqrt{x^2+x}\,dx$ 一个标准型。
+
+### 正确答案
+
+**有理化分母**：分子分母同乘 $1 - \sqrt{\dfrac{1+x}{x}}$
+
+$$
+\begin{aligned}
+\frac{1}{1 + \sqrt{\frac{1+x}{x}}}
+&= \frac{1 - \sqrt{\frac{1+x}{x}}}{1 - \frac{1+x}{x}} \\
+&= \frac{1 - \sqrt{\frac{1+x}{x}}}{\frac{x - 1 - x}{x}} \\
+&= -x\left(1 - \sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \\
+&= -x + \sqrt{x(1+x)} \\
+&= -x + \sqrt{x^2 + x}
+\end{aligned}
+$$
+
+于是
+
+$$I = \int (-x + \sqrt{x^2 + x})\,dx = -\frac{x^2}{2} + \int \sqrt{x^2 + x}\,dx$$
+
+---
+
+**处理 $\displaystyle\int\sqrt{x^2 + x}\,dx$**：配平方
+
+$$x^2 + x = \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}$$
+
+令 $u = x + \dfrac{1}{2}$，利用标准公式 $\displaystyle\int\sqrt{u^2 - a^2}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{u^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|u + \sqrt{u^2-a^2}\right| + C$：
+
+$$\int\sqrt{x^2 + x}\,dx = \frac{x + \frac{1}{2}}{2}\sqrt{x^2+x} - \frac{1}{8}\ln\left|x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^2+x}\right| + C$$
+
+---
+
+**合并且简化**：
+
+$$\boxed{
+\begin{aligned}
+\int \frac{dx}{1 + \sqrt{\dfrac{1+x}{x}}}
+= -\frac{x^2}{2} &+ \frac{2x+1}{4}\sqrt{x^2+x} \\
+&- \frac{1}{8}\ln\left| x + \frac{1}{2} + \sqrt{x^2+x} \right| + C
+\end{aligned}
+}$$
+
+### 知识点
+- **分母有理化优先**：含 $\sqrt{A} \pm \sqrt{B}$ 型，同乘共轭将分母化为有理式
+- $\displaystyle\int\sqrt{x^2 \pm a^2}\,dx$、$\displaystyle\int\sqrt{x^2 \pm a x}\,dx$ 的标准公式（配平方后套用）
+- 复杂根式换元前先观察能否有理化简化——有理化往往比暴力换元省 80% 的计算量

mistakes/math/README.md

@@ -100,6 +100,7 @@ mistakes/math/
 | 03_中值定理 | [题目02 - 拉格朗日中值定理](03_中值定理.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
 | 04_积分 | [题目01 - 反常积分敛散性判别](04_积分.md#题目-01) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
 | 04_积分 | [题目02 - 1/(a+bcosx) 积分讨论](04_积分.md#题目-02) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
+| 04_积分 | [题目03 - 1+√((1+x)/x) 积分](04_积分.md#题目-03) | [方法] | ⭐⭐⭐ |
 
 ### 杂项
 | 文件 | 说明 |