From 2a92798bda86e83d2990607b8e206f8128bd907e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: ViperEkura <3081035982@qq.com> Date: Thu, 7 May 2026 20:39:51 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?feat:=20=E5=A2=9E=E5=8A=A0=E6=95=B0=E5=AD=A6?= =?UTF-8?q?=E6=9D=82=E9=A1=B9=E7=9F=A5=E8=AF=86=EF=BC=88=E5=B8=B8=E7=94=A8?= =?UTF-8?q?=E5=85=AC=E5=BC=8F=E9=80=9F=E6=9F=A5=E4=B8=8E=E4=B8=89=E8=A7=92?= =?UTF-8?q?=E5=87=BD=E6=95=B0=E5=8F=A3=E8=AF=80=EF=BC=89?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- subjects/math/README.md | 15 +++++- subjects/math/e01-常用公式速查.md | 78 +++++++++++++++++++++++++++++++ subjects/math/e02-三角函数口诀.md | 64 +++++++++++++++++++++++++ 3 files changed, 156 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 subjects/math/e01-常用公式速查.md create mode 100644 subjects/math/e02-三角函数口诀.md diff --git a/subjects/math/README.md b/subjects/math/README.md index fdfa164..c9b7f90 100644 --- a/subjects/math/README.md +++ b/subjects/math/README.md @@ -40,6 +40,17 @@ ### [09_级数.md](./09_级数.md) - [要点 01 - 数列不动点问题](./09_级数.md#要点-01---数列不动点问题) +### [e01-常用公式速查.md](./e01-常用公式速查.md) +- 乘法公式 / 指数运算 / 对数运算 +- 数列（等差/等比）/ 不等式 +- 一元二次方程求根公式 & 韦达定理 + +### [e02-三角函数口诀.md](./e02-三角函数口诀.md) +- 奇变偶不变，符号看象限 +- 特殊角三角函数值 +- 和差化积 & 积化和差 +- 六种三角函数关系（sec、csc、cot） + --- ## 快速跳转 @@ -52,5 +63,7 @@ | 04 积分 | 各类积分公式、三角函数、换元、分部 | 7 | | 05 微分方程 | 一阶/高阶方程、常系数、欧拉方程 | 8 | | 09 级数 | 数列不动点 | 1 | +| e01 常用公式速查 | 乘/指/对/数列/不等式/韦达定理 | — | +| e02 三角函数 | 奇变偶不变、和差化积、sec/csc/cot | — | -**总计：26 个要点** +**总计：26 个要点 + 2 篇杂项** diff --git a/subjects/math/e01-常用公式速查.md b/subjects/math/e01-常用公式速查.md new file mode 100644 index 0000000..e0e4b40 --- /dev/null +++ b/subjects/math/e01-常用公式速查.md @@ -0,0 +1,78 @@ +# 常用公式速查 + +## 乘法公式 + +- $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ +- $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ +- $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$ +- $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ +- $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ + +## 指数运算 + +- $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ +- $(a^m)^n = a^{mn}$ +- $(ab)^n = a^n b^n$ +- $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$（$a \neq 0$） +- $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ +- $a^0 = 1$（$a \neq 0$） + +## 对数运算 + +- $\log_a (MN) = \log_a M + \log_a N$ +- $\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ +- $\log_a M^n = n \log_a M$ +- $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$（换底公式） +- $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ +- $a^{\log_a N} = N$ +- $\log_a a = 1,\; \log_a 1 = 0$ + +## 数列 + +### 等差数列 +- 通项：$a_n = a_1 + (n-1)d$ +- 求和：$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d$ + +### 等比数列 +- 通项：$a_n = a_1 q^{n-1}$ +- 求和：$S_n = \begin{cases} na_1, & q=1 \\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}, & q \neq 1 \end{cases}$ + +## 不等式 + +- $a^2 + b^2 \geq 2ab$（当且仅当 $a=b$ 取等） +- $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$（均值不等式，$a,b \geq 0$） +- $a + \frac{1}{a} \geq 2$（$a > 0$） +- $|a| - |b| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b|$（三角不等式） + +## 一元二次方程 & 韦达定理 + +### 求根公式 + +对于 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）： + +$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ + +判别式：$\Delta = b^2 - 4ac$ +- $\Delta > 0$：两个不等实根 +- $\Delta = 0$：两个相等实根 +- $\Delta < 0$：无实根（共轭复根） + +### 韦达定理 + +$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}$$ + +#### 常见变形 +- $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ +- $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$ +- $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$ + +### 根的分布 + +设 $f(x) = ax^2 + bx + c$： + +| 条件 | 结论 | +|------|------| +| $f(k) < 0$ 且 $a > 0$ | 一根在 $k$ 左侧，一根在 $k$ 右侧 | +| $f(k_1) \cdot f(k_2) < 0$ | 在 $(k_1, k_2)$ 内有且仅有一个根 | +| $\Delta \geq 0,\; x_0 < k,\; af(k) > 0$ | 两根均小于 $k$ | +| $\Delta \geq 0,\; x_0 > k,\; af(k) > 0$ | 两根均大于 $k$ | diff --git a/subjects/math/e02-三角函数口诀.md b/subjects/math/e02-三角函数口诀.md new file mode 100644 index 0000000..fa7da55 --- /dev/null +++ b/subjects/math/e02-三角函数口诀.md @@ -0,0 +1,64 @@ +# 三角函数记忆口诀 + +## 奇变偶不变，符号看象限 + +用于三角函数诱导公式的记忆： + +- **奇变偶不变**：若 $k \cdot \frac{\pi}{2} \pm \alpha$ 中的 $k$ 为奇数，则函数名改变（sin ↔ cos, tan ↔ cot）；若 $k$ 为偶数，则函数名不变。 +- **符号看象限**：将 $\alpha$ 视为锐角，判断原函数在对应象限的符号。 + +### 示例 + +| 公式 | k | 变/不变 | 象限 | 符号 | 结果 | +|------|---|---------|------|------|------| +| $\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ | 1(奇) | sin→cos | 第二象限 sin>0 | + | $\cos\alpha$ | +| $\cos(\pi + \alpha)$ | 2(偶) | cos→cos | 第三象限 cos<0 | - | $-\cos\alpha$ | + +## 常用特殊角三角函数值 + +| 角度 | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | +|------|----|-----|-----|-----|-----| +| sin | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | +| cos | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | +| tan | 0 | √3/3 | 1 | √3 | ∞ | + +## 和差化积 & 积化和差 + +### 和差化积 +- $\sin A + \sin B = 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ +- $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ +- $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ +- $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ + +### 积化和差 +- $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ +- $\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$ +- $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)]$ +- $\sin A \sin B = -\frac{1}{2}[\cos(A+B) - \cos(A-B)]$ + +## 六种三角函数关系 + +### 基本定义 +| 函数 | 定义 | 值域 | +|------|------|------| +| $\sin x$ | 对边/斜边 | $[-1, 1]$ | +| $\cos x$ | 邻边/斜边 | $[-1, 1]$ | +| $\tan x$ | $\sin x / \cos x$ | $\mathbb{R}$ | +| $\cot x$ | $\cos x / \sin x = 1/\tan x$ | $\mathbb{R}$ | +| $\sec x$ | $1/\cos x$ | $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ | +| $\csc x$ | $1/\sin x$ | $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ | + +### 倒数关系 +- $\sin x \cdot \csc x = 1$ +- $\cos x \cdot \sec x = 1$ +- $\tan x \cdot \cot x = 1$ + +### 平方关系 +- $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ +- $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ +- $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ + +### 商数关系 +- $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ +- $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ +